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ऐतिहासिक जानकारी इंटीग्रल कैलकुलस गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्रों, आयतनों और केंद्रों को खोजने के लिए एक सामान्य विधि बनाने की आवश्यकता से उत्पन्न हुआ। अपने भ्रूण रूप में, इस पद्धति का उपयोग आर्किमिडीज द्वारा किया गया था। उन्होंने 17 वीं शताब्दी में कैवलियरी, टोरिसेली, फर्मम, पास्कल के कार्यों में व्यवस्थित विकास प्राप्त किया। 1659 में, आई. बैरो ने एक क्षेत्र खोजने की समस्या और एक स्पर्शरेखा खोजने की समस्या के बीच एक संबंध स्थापित किया। 17वीं शताब्दी के 70 के दशक में न्यूटन और लीब-निट्ज़ ने इस संबंध को उपर्युक्त विशेष ज्यामितीय समस्याओं से हटा दिया। उसी समय, इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस के बीच एक कनेक्शन स्थापित किया गया था। इस संबंध का उपयोग न्यूटन, लाइबनिज और उनके छात्रों ने एकीकरण की तकनीक विकसित करने के लिए किया था। एल। यूलर के कार्यों में एकीकरण के तरीके मूल रूप से अपनी वर्तमान स्थिति में पहुंच गए। एमवी ओस्ट्रोग्रैडस्को-गो और पीएल चेबीशेव के कार्यों ने इन विधियों के विकास को पूरा किया।

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अभिन्न अवधारणा। मान लीजिए कि रेखा MN समीकरण द्वारा दी गई है और वक्रीय समलम्बाकार aABb का क्षेत्रफल F" ज्ञात करना आवश्यक है। हम खंड ab को n भागों (बराबर या असमान) में विभाजित करते हैं और अंजीर में छायांकन द्वारा दिखाए गए एक चरणबद्ध आकृति का निर्माण करते हैं। इसका क्षेत्रफल, इसका क्षेत्रफल है (1) यदि हम पदनामों को दर्ज करते हैं तो सूत्र (1) रूप लेगा (3 ) वांछित क्षेत्र असीमित रूप से बड़े n के लिए योग (3) की सीमा है। लाइबनिज़ ने इस सीमा के लिए संकेतन प्रस्तुत किया (4) जिसमें (इटैलिक एस) शब्द सुम्मा (योग) का प्रारंभिक अक्षर है, ई अभिव्यक्ति व्यक्तिगत शब्दों के विशिष्ट रूप को इंगित करती है - सुश्री। लाइबनिज की अभिव्यक्ति को इंटीग्रल कहा जाने लगा - लैटिन शब्द इंटीग्रलिस - इंटीग्रल से। जेबी फूरियर ने लाइबनिज़ के अंकन में सुधार किया, इसे रूप दिया। यहाँ, x के प्रारंभिक और अंतिम मान स्पष्ट रूप से इंगित किए गए हैं।

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एकीकरण और भेदभाव के बीच संबंध। हम मानेंगे कि a स्थिर है और b एक चर है। तब समाकल b का फलन होगा। इस फ़ंक्शन का अंतर है

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एंटीडेरिवेटिव फंक्शन। फ़ंक्शन को फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होने दें, T.S. फ़ंक्शन का अंतर होता है: तब फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है

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एंटीडेरिवेटिव खोजने का एक उदाहरण। यह फलन TS का व्युत्पन्नी है। फ़ंक्शन का अंतर होता है फ़ंक्शन फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी होता है

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अनिश्चितकालीन अभिन्न। इस व्यंजक का अनिश्चित समाकलन इसके व्युत्पन्न फलन का सबसे सामान्य रूप है। व्यंजक का अनिश्चित समाकल निरूपित किया जाता है। व्यंजक को समाकलन कहते हैं, फलन समाकलन फलन है, चर x समाकलन का चर है। किसी दिए गए फलन का अनिश्चित समाकल ज्ञात करना समाकलन कहलाता है।अनोशिना ओ.वी.

मुख्य साहित्य

1. शिपाचेव बनाम उच्च गणित। मूल पाठ्यक्रम: पाठ्यपुस्तक और
स्नातक के लिए कार्यशाला [रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय का टिकट] / वी.एस.
शिपाचेव; ईडी। ए एन तिखोनोव। - 8 वां संस्करण।, रेव। और जोड़। मॉस्को: यूरेत, 2015 .-- 447 पी।
2. शिपाचेव बनाम उच्च गणित। पूरा कोर्स: ट्यूटोरियल
एकेड के लिए। स्नातक की डिग्री [ग्रिफ यूएमओ] / वी.एस. शिपाचेव; ईडी। ए।
एन तिखोनोवा। - चौथा संस्करण।, रेव। और जोड़। - मॉस्को: यूरेत, 2015 ।-- 608
साथ
3. डैंको पी.ई., पोपोव ए.जी., कोज़ेवनिकोवा टी.वाईए। उच्च गणित
व्यायाम और कार्यों में। [पाठ] / पी.ई. डैंको, ए.जी. पोपोव, टी। वाई।
कोज़ेवनिकोव. दोपहर 2 बजे - एम।: हायर स्कूल, 2007।-- 304 + 415 सी।

रिपोर्टिंग

1.
परीक्षण। के अनुसार प्रदर्शन किया:
परीक्षणों के कार्यान्वयन के लिए कार्य और दिशानिर्देश
अनुशासन में "एप्लाइड मैथमैटिक्स", येकातेरिनबर्ग, FGAOU
VO "रूसी राज्य पेशेवर और शैक्षणिक
विश्वविद्यालय ", 2016 - 30 एस।
संख्या के अंतिम अंक द्वारा परीक्षण विकल्प का चयन करें
ग्रेड बुक।
2.
परीक्षा

अनिश्चितकालीन समाकल, इसके गुण और परिकलन

परिभाषा। फलन F x कहलाता है
प्रतिअवकलन फलन f x पर परिभाषित है
कुछ अंतराल अगर एफ एक्स एफ एक्स के लिए
इस अंतराल से प्रत्येक x.
उदाहरण के लिए, फलन cos x है
sin x फलन का प्रतिअवकलज, चूँकि
कॉस एक्स पाप एक्स।

स्पष्ट रूप से, यदि F x प्रतिअवकलज है
फलन f x, तो F x C, जहां C कुछ अचर है, भी है
प्रतिअवकलन फलन f x.
यदि F x कोई अवकलज है
फलन f x, तो रूप का कोई फलन
एक्स एफ एक्स सी भी है
प्रतिअवकलन फलन f x और कोई भी
इस रूप में प्रतिपक्षी का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

परिभाषा। सभी की समग्रता
फलन के प्रतिअवकलज f x,
कुछ में पहचाना
अंतराल कहा जाता है
का अनिश्चितकालीन समाकलन
इस अंतराल पर फलन f x और
f x dx द्वारा निरूपित किया जाता है।

यदि F x फलन का कुछ अवकलज है
एफ एक्स, फिर वे एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी लिखते हैं, हालांकि
f x dx F x C लिखना अधिक सही होगा।
स्थापित परंपरा के अनुसार हम लिखेंगे
एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी।
इस प्रकार, एक ही प्रतीक
f x dx सभी के रूप में निरूपित करेगा
फलन f x के प्रतिअवकलजों का समुच्चय,
और इस सेट का कोई भी तत्व।

अभिन्न गुण

अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न है
इंटीग्रैंड, और इसका अंतर सबइंटीग्रल एक्सप्रेशन है। सचमुच:
1. (एफ (एक्स) डीएक्स) (एफ (एक्स) सी) एफ (एक्स) एफ (एक्स);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx।

अभिन्न गुण

3. का अनिश्चित समाकलन
लगातार अंतर (एक्स)
अवकलनीय फलन के बराबर है
यह कार्य स्थिरांक तक:
डी (एक्स) (एक्स) डीएक्स (एक्स) सी,
चूँकि (x) (x) के लिए प्रतिअवकलन है।

अभिन्न गुण

4. यदि फलन f1 x और f 2 x में हैं
विरोधी अवकलज, तो फलन f1 x f 2 x
एक व्युत्पन्नी भी है, और
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. केएफ एक्स डीएक्स के एफ एक्स डीएक्स;
6. एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी;
7.एफ एक्स एक्स डीएक्स एफ एक्स सी।

1. डीएक्स एक्स सी।
एक 1
एक्स
2.x एक डीएक्स
सी, (ए 1)।
एक 1
डीएक्स
3. एलएन एक्स सी।
एक्स
एक्स
ए
4.ए एक्स डीएक्स
सी।
एलएन ए
5.ई एक्स डीएक्स ई एक्स सी।
6.sin xdx cos x C.
7.cos xdx sin x C.
डीएक्स
8.2 सीटीजीएक्स सी.
पाप x
डीएक्स
9.2 टीजीएक्स सी।
क्योंकि x
डीएक्स
आर्कटीजीएक्स सी.
10.
2
1 एक्स

अनिश्चितकालीन अभिन्न तालिका

11.
डीएक्स
आर्क्सिन एक्स सी।
1 एक्स 2
डीएक्स
1
एक्स
12.2 2 आर्कटन सी।
ए
ए
एक एक्स
13.
14.
15.
डीएक्स
a2 x2
एक्स
आर्कसिन सी ..
ए
डीएक्स
1
एक्स ए
एलएन
सी
2
2
2ए एक्स ए
एक्स ए
डीएक्स
1
एक एक्स
ए 2 एक्स 2 2ए एलएन एक्स सी।
डीएक्स
16.
x2 ए
एलएन एक्स एक्स 2 ए सी।
17.shxdx chx सी।
18.chxdx shx सी।
19.
20.
डीएक्स
सी 2 एक्स टीएचएक्स सी।
डीएक्स
सीटीएचएक्स सी.
2
श x

विभेदक गुण

एकीकृत करते समय, इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है
गुण: 1
1. डीएक्स डी (कुल्हाड़ी)
ए
1
2. डीएक्स डी (कुल्हाड़ी बी),
ए
1 2
3.एक्सडीएक्स डीएक्स,
2
1 3
2
4.एक्स डीएक्स डीएक्स।
3

के उदाहरण

उदाहरण। मूल्यांकन करें क्योंकि 5xdx.
समाधान। समाकलकों की तालिका में हम पाते हैं
कॉस xdx पाप x C.
हम इस समाकलन को सारणीबद्ध में बदलते हैं,
इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि d ax adx.
फिर:
घ 5 x 1
= क्योंकि 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= पाप 5 एक्स सी।
5

के उदाहरण

उदाहरण। एक्स की गणना करें
3x x 1 डीएक्स।
समाधान। चूंकि अभिन्न चिन्ह के तहत
चार पदों का योग पाया जाता है, तो
इंटीग्रल को चार के योग में विस्तारित करें
अभिन्न:
2
3
2
3
2
3
एक्स
3
एक्स
एक्स
1
डीएक्स
एक्स
डीएक्स
3
एक्स
डीएक्स एक्सडीएक्स डीएक्स।
x3
x4 x2
3
एक्स सी
3
4
2

चर के प्रकार से स्वतंत्र

इंटीग्रल की गणना करते समय, यह सुविधाजनक है
निम्नलिखित गुणों का उपयोग करें
अभिन्न:
अगर एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी, तो
एफ एक्स बी डीएक्स एफ एक्स बी सी।
अगर एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी, तो
1
एफ कुल्हाड़ी बी डीएक्स एफ कुल्हाड़ी बी सी।
ए

उदाहरण

आइए गणना करें
1
6
2
3
एक्स
डीएक्स
2
3
एक्स
सी
.
3 6
5

एकीकरण के तरीके भागों द्वारा एकीकरण

यह विधि udv uv vdu सूत्र पर आधारित है।
निम्नलिखित समाकलों को भागों द्वारा समाकलन की विधि द्वारा लिया जाता है:
ए) एक्स एन पाप एक्सडीएक्स, जहां एन 1,2 ... के;
बी) एक्स एन ई एक्स डीएक्स, जहां एन 1,2 ... के;
सी) एक्स एन आर्कटीजीएक्सडीएक्स, जहां एन 0, 1, 2, ... के। ;
डी) एक्स एन एलएन एक्सडीएक्स, जहां एन 0, 1, 2, ... के।
इंटीग्रल की गणना करते समय a) और b), परिचय
एन 1
संकेतन: एक्स एन यू, फिर डु एनएक्स डीएक्स, और, उदाहरण के लिए
पाप एक्सडीएक्स डीवी, फिर वी कॉस एक्स।
इंटीग्रल की गणना करते समय c), d) u फंक्शन द्वारा निरूपित करें
arctgx, ln x, और DV के लिए x n dx लें।

के उदाहरण

उदाहरण। मूल्यांकन करें x cos xdx.
समाधान।
यू एक्स, डु डीएक्स
=
एक्स कॉस एक्सडीएक्स
डीवी कॉस एक्सडीएक्स, वी पाप एक्स
x sin x sin xdx x sin x cos x C.

के उदाहरण

उदाहरण। गणना
एक्स एलएन एक्सडीएक्स
डीएक्स
आप एलएन एक्स, डु
एक्स
x2
डीवी एक्सडीएक्स, वी
2
x2
एक्स 2 डीएक्स
एलएन एक्स
=
2
2 एक्स
x2
1
x2
1 x2
एलएन एक्स एक्सडीएक्स
एलएन एक्स
सी।
=
2
2
2
2 2

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

मान लीजिए कि f x dx, और . ज्ञात करना आवश्यक है
सीधे एंटीडेरिवेटिव चुनें
f x के लिए हम नहीं कर सकते, लेकिन हम जानते हैं कि
वह मौजूद है। अक्सर मिल जाता है
एंटीडेरिवेटिव, एक नए चर का परिचय,
सूत्र के अनुसार
एफ एक्स डीएक्स एफ टी टी टी डीटी, जहां एक्स टी, और टी - नया
चर

एक वर्ग ट्रिनोमियल युक्त कार्यों का एकीकरण

अभिन्न पर विचार करें
कुल्हाड़ी बी
डीएक्स,
एक्स पीएक्स क्यू
एक वर्ग ट्रिनोमियल in . युक्त
समाकलन का भाजक
भाव। ऐसा अभिन्न भी लिया जाता है
परिवर्तनशील परिवर्तन विधि,
पहले में हाइलाइट किया गया
भाजक पूर्ण वर्ग है।
2

उदाहरण

गणना
डीएक्स
.
एक्स 4x 5
समाधान। कन्वर्ट x 2 4 x 5,
2
सूत्र a b 2 a 2 2ab b 2 के अनुसार पूर्ण वर्ग का चयन करना।
तब हमें मिलता है:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
एक्स 2 2 2 एक्स 4 1 एक्स 2 2 1
एक्स 2 टी
डीएक्स
डीएक्स
डीटी
एक्स टी 2
2
2
2
एक्स 2 1 डीएक्स डीटी
एक्स 4x 5
टी 1
आर्कटीजीटी सी आर्कटीजी एक्स 2 सी।

उदाहरण

पाना
1 एक्स
1 एक्स
2
डीएक्स
टीडीटी
1 टी
2
एक्स टी, एक्स टी 2,
डीएक्स 2टीडीटी
2
t2
1 टी
2
डीटी
1 टी
1 टी
घ (टी 2 1)
टी
2
1
2
2tdt
2
डीटी
एलएन (टी 1) 2 डीटी 2
2
1 टी
एलएन (टी 2 1) 2t 2arctgt सी
2
एलएन (एक्स 1) 2 एक्स 2आरक्टजी एक्स सी।
1 टी 2 1
1 टी
2
डीटी

एक निश्चित अभिन्न, इसके मूल गुण। न्यूटन-लीबनिज सूत्र। कुछ अभिन्न अनुप्रयोग।

एक निश्चित समाकलन की अवधारणा किसके नेतृत्व में है
एक वक्रता का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या
समलंब।
चलो कुछ अंतराल पर दिया जाता है
सतत फलन y f (x) 0
कार्य:
इसका ग्राफ बनाइए और आकृति का F क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
इस वक्र से दो सीधी रेखाओं x = a और x . से घिरा हुआ है
= बी, और नीचे से - बिंदुओं के बीच भुज अक्ष का एक खंड
एक्स = ए और एक्स = बी।

आकृति aABb कहलाती है
घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज

परिभाषा

बी
एफ (एक्स) डीएक्स
एक निश्चित अभिन्न के तहत
ए
दिए गए निरंतर फलन f (x) पर
इस खंड को समझा जाता है
इसके अनुरूप वृद्धि
विरोधी व्युत्पन्न, अर्थात्
एफ (बी) एफ (ए) एफ (एक्स) /
बी
ए
संख्याएँ a और b एकीकरण की सीमाएँ हैं,
- एकीकरण का अंतराल।

नियम:

निश्चित समाकल अंतर के बराबर है
एंटीडेरिवेटिव इंटीग्रैंड के मूल्य
ऊपरी और निचली सीमाओं के लिए कार्य
एकीकरण।
अंतर के लिए संकेतन का परिचय
बी
एफ (बी) एफ (ए) एफ (एक्स) / ए
बी
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (बी) एफ (ए)
ए
न्यूटन-लीबनिज सूत्र।

एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण।

1) निश्चित समाकल का मान निर्भर नहीं करता है
एकीकरण के चर का पदनाम, अर्थात।
बी
बी
ए
ए
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (टी) डीटी
जहाँ x और t कोई अक्षर हैं।
2) उसी के साथ एक निश्चित समाकलन
बाहर
एकीकरण शून्य के बराबर है
ए
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (ए) एफ (ए) 0
ए

3) एकीकरण की सीमाओं को बदलते समय
निश्चित इंटीग्रल रिवर्स साइन
बी
ए
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (बी) एफ (ए) एफ (ए) एफ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स
ए
बी
(एडिटिविटी प्रॉपर्टी)
4) यदि अंतराल को एक परिमित संख्या में विभाजित किया जाता है
आंशिक अंतराल, फिर एक निश्चित अभिन्न,
अंतराल पर लिया गया निश्चित योग के बराबर है
इसके सभी आंशिक अंतरालों को समाकलित कर लिया है।
बी
सी
बी
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (एक्स) डीएक्स
सी
ए
ए
एफ (एक्स) डीएक्स

5) लगातार गुणक निकाला जा सकता है
निश्चित अभिन्न के संकेत के लिए।
6) बीजीय का निश्चित समाकलन
निरंतर की एक सीमित संख्या का योग
फलन एक ही बीजीय के बराबर है
इनके निश्चित समाकलों का योग
कार्य।

3. एक निश्चित समाकल में चर का परिवर्तन।

3. एक चर को एक विशिष्ट . में बदलना
अभिन्न।
बी
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (टी) (टी) डीटी
ए
ए (), बी (), (टी)
कहां
टी के लिए [; ], फ़ंक्शन (टी) और (टी) निरंतर चालू हैं;
5
उदाहरण:
1
=
एक्स 1डीएक्स
=
एक्स 1 5
टी 0 4
एक्स 1 टी
डीटी डीएक्स
4
0
3
2
टी डीटी टी 2
3
4
0
2
2
16
1
टी टी 40 4 2 0
5
3
3
3
3

अनुचित अभिन्न।

अनुचित अभिन्न।
परिभाषा। मान लें कि फलन f (x) को पर परिभाषित किया गया है
अनंत अंतराल, जहां बी< + . Если
मौजूद
बी
लिम
एफ (एक्स) डीएक्स,
बी
ए
तो इस सीमा को अनुचित कहा जाता है
अंतराल पर फलन f (x) का समाकलन
}