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के बीच प्रति मॉड्यूल उदाहरणअक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जहां आपको खोजने की आवश्यकता होती है एक मॉड्यूल में मॉड्यूल जड़ें, अर्थात्, रूप का एक समीकरण
||a*x-b|-c|=k*x+m .
यदि k=0, अर्थात दाहिना भाग एक स्थिरांक (m) के बराबर है, तो समाधान खोजना आसान है ग्राफिक रूप से मॉड्यूल के साथ समीकरण।नीचे विधि है दोहरे मॉड्यूल का उद्घाटनव्यवहार में सामान्य उदाहरणों का उपयोग करना। मॉड्यूल के साथ समीकरणों की गणना के लिए एल्गोरिदम को अच्छी तरह से समझें, ताकि आपको क्विज़, परीक्षण और केवल जानने में समस्या न हो।

उदाहरण 1। समीकरण मॉड्यूल को हल करें |3|x|-5|=-2x-2.
समाधान: समीकरणों को हमेशा आंतरिक मॉड्यूल से खोलना शुरू करें
|x|=0 <->एक्स=0.
बिंदु x=0 पर, मापांक वाला समीकरण 2 से विभाजित होता है।
एक्स पर< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
x>0 या बराबर के लिए, हमें जो मॉड्यूल मिलता है उसका विस्तार करें
|3x-5|=-2x-2 .
आइए समीकरण हल करेंनकारात्मक चर के लिए (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

पहले समीकरण से हमें पता चलता है कि समाधान (-1) से अधिक नहीं होना चाहिए, यानी।

यह सीमा पूरी तरह से उस क्षेत्र से संबंधित है जिसका हम समाधान कर रहे हैं। आइए पहले और दूसरे सिस्टम में चर और स्थिरांक को समानता के विपरीत पक्षों में ले जाएं

और एक समाधान खोजें


दोनों मान उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर विचार किया जा रहा है, यानी वे जड़ें हैं।
सकारात्मक चरों के लिए मापांक वाले एक समीकरण पर विचार करें
|3x-5|=-2x-2.
मॉड्यूल का विस्तार करने पर हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ मिलती हैं

पहले समीकरण से, जो दोनों प्रणालियों के लिए सामान्य है, हमें परिचित स्थिति प्राप्त होती है

जो, जिस सेट पर हम समाधान ढूंढ रहे हैं, उसके प्रतिच्छेदन में, एक खाली सेट देता है (कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं)। तो एक मॉड्यूल के साथ मॉड्यूल की एकमात्र जड़ें मान हैं
x=-3; x=-1.4.

उदाहरण 2. मापांक ||x-1|-2|=3x-4 के साथ समीकरण को हल करें।
समाधान: आइए आंतरिक मॉड्यूल खोलकर शुरुआत करें
|x-1|=0 <=>एक्स=1.
एक सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन एक पर संकेत बदलता है। छोटे मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है। इसके अनुसार, आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हमें मॉड्यूल के साथ दो समीकरण प्राप्त होते हैं
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
मापांक समीकरण के दाईं ओर की जाँच करना सुनिश्चित करें; यह शून्य से अधिक होना चाहिए।
3x-4>=0 ->x>=4/3.
इसका मतलब यह है कि पहले समीकरण को हल करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह x के लिए लिखा गया था< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4या x-3=4-3x;
4-3=3x-x या x+3x=4+3;
2x=1 या 4x=7;
x=1/2 या x=7/4.
हमें दो मान प्राप्त हुए, जिनमें से पहला अस्वीकार कर दिया गया है क्योंकि यह आवश्यक अंतराल से संबंधित नहीं है। अंततः, समीकरण का एक हल x=7/4 है।

उदाहरण 3. मापांक ||2x-5|-1|=x+3 के साथ समीकरण को हल करें।
समाधान: आइए आंतरिक मॉड्यूल खोलें
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5.
बिंदु x=2.5 संख्या रेखा को दो अंतरालों में विभाजित करता है। क्रमश, सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन 2.5 से गुजरने पर संकेत बदलता है। आइए मापांक वाले समीकरण के दाईं ओर समाधान के लिए शर्त लिखें।
x+3>=0 ->x>=-3.
तो समाधान (-3) से कम मान नहीं हो सकता है। आइए आंतरिक मॉड्यूल के नकारात्मक मान के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
विस्तारित होने पर यह मॉड्यूल 2 समीकरण भी देगा
-2x+4=x+3 या 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 या 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 या x=7 .
हम मान x=7 को अस्वीकार करते हैं, क्योंकि हम अंतराल [-3;2.5] में समाधान ढूंढ रहे थे। अब हम x>2.5 के लिए आंतरिक मॉड्यूल खोलते हैं। हमें एक मॉड्यूल से एक समीकरण मिलता है
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं
-2x+6=x+3 या 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 या 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 या x=9 .
पहला मान x=1 शर्त x>2.5 को संतुष्ट नहीं करता है। तो इस अंतराल पर हमारे पास मापांक x=9 वाले समीकरण का एक मूल है, और कुल मिलाकर दो हैं (x=1/3)। प्रतिस्थापन द्वारा आप की गई गणनाओं की शुद्धता की जांच कर सकते हैं
उत्तर: x=1/3; एक्स=9.

उदाहरण 4. दोहरे मॉड्यूल का समाधान खोजें ||3x-1|-5|=2x-3.
समाधान: आइए समीकरण के आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें
|3x-1|=0 <=>एक्स=1/3.
बिंदु x=2.5 संख्या रेखा को दो अंतरालों में और दिए गए समीकरण को दो मामलों में विभाजित करता है। हम दाहिनी ओर समीकरण के स्वरूप के आधार पर समाधान की शर्त लिखते हैं
2x-3>=0 ->x>=3/2=1.5.
इससे यह पता चलता है कि हम >=1.5 मूल्यों में रुचि रखते हैं। इस प्रकार मॉड्यूलर समीकरणदो अंतरालों पर विचार करें
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
परिणामी मॉड्यूल, विस्तारित होने पर, 2 समीकरणों में विभाजित हो जाता है
-3x-4=2x-3 या 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 या 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 या x=-7 .
दोनों मान अंतराल में नहीं आते हैं, यानी वे मॉड्यूलि वाले समीकरण के समाधान नहीं हैं। इसके बाद, हम x>2.5 के लिए मॉड्यूल का विस्तार करेंगे। हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
मॉड्यूल का विस्तार करने पर, हमें 2 रैखिक समीकरण मिलते हैं
3x-6=2x-3 या –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6या 2x+3x=6+3;
x=3 या 5x=9; x=9/5=1.8.
पाया गया दूसरा मान x>2.5 शर्त के अनुरूप नहीं है, हम इसे अस्वीकार करते हैं।
अंततः हमारे पास मॉड्यूल x=3 वाले समीकरण का एक मूल है।
जाँच करना
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
मापांक के साथ समीकरण के मूल की गणना सही ढंग से की गई थी।
उत्तर: x=1/3; एक्स=9.

मॉड्यूल उन चीजों में से एक है जिसके बारे में हर किसी ने सुना है, लेकिन वास्तव में कोई भी वास्तव में नहीं समझता है। इसलिए, आज मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित एक बड़ा पाठ होगा।

मैं तुरंत कहूंगा: पाठ कठिन नहीं होगा। और सामान्य तौर पर, मॉड्यूल एक अपेक्षाकृत सरल विषय है। “हाँ, बिल्कुल, यह जटिल नहीं है! यह मुझे हैरत में डाल देता है!" - कई छात्र कहेंगे, लेकिन ये सभी दिमागी दरारें इस तथ्य के कारण होती हैं कि ज्यादातर लोगों के दिमाग में ज्ञान नहीं, बल्कि किसी तरह की बकवास होती है। और इस पाठ का लक्ष्य बकवास को ज्ञान में बदलना है। :)

थोड़ा सिद्धांत

तो चलते हैं। आइए सबसे महत्वपूर्ण बात से शुरू करें: मॉड्यूल क्या है? मैं आपको याद दिला दूं कि किसी संख्या का मापांक बिल्कुल वही संख्या होता है, लेकिन ऋण चिह्न के बिना लिया जाता है। उदाहरण के लिए, $\left| -5 \दाएं|=5$. या $\left| -129.5 \दाएं|=$129.5.

क्या यह इतना आसान है? हाँ, सरल. तो फिर किसी धनात्मक संख्या का निरपेक्ष मान क्या है? यहां यह और भी सरल है: एक धनात्मक संख्या का मापांक स्वयं इस संख्या के बराबर होता है: $\left| 5 \दाएं|=5$; $\बाएं| 129.5 \right|=$129.5, आदि।

यह एक दिलचस्प बात सामने आती है: विभिन्न संख्याओं में एक ही मॉड्यूल हो सकता है। उदाहरण के लिए: $\left| -5 \दाएँ|=\बाएँ| 5 \दाएं|=5$; $\बाएं| -129.5 \दाएं|=\बाएं| 129.5\दाएं|=$129.5. यह देखना आसान है कि ये किस प्रकार की संख्याएँ हैं, जिनके मॉड्यूल समान हैं: ये संख्याएँ विपरीत हैं। इस प्रकार, हम स्वयं ध्यान दें कि विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल बराबर हैं:

\[\बाएं| -ए \दाएं|=\बाएं| ए\दाएं|\]

एक अन्य महत्वपूर्ण तथ्य: मापांक कभी ऋणात्मक नहीं होता. हम जो भी संख्या लेते हैं - चाहे वह धनात्मक हो या ऋणात्मक - उसका मापांक सदैव धनात्मक (या चरम मामलों में, शून्य) ही निकलता है। यही कारण है कि मापांक को अक्सर किसी संख्या का निरपेक्ष मान कहा जाता है।

इसके अलावा, यदि हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्या के लिए मापांक की परिभाषा को जोड़ते हैं, तो हमें सभी संख्याओं के लिए मापांक की एक वैश्विक परिभाषा प्राप्त होती है। अर्थात्: यदि संख्या धनात्मक (या शून्य) है तो किसी संख्या का मापांक स्वयं संख्या के बराबर होता है, या यदि संख्या ऋणात्मक है तो विपरीत संख्या के बराबर होता है। आप इसे सूत्र के रूप में लिख सकते हैं:

शून्य का भी एक मापांक होता है, लेकिन वह सदैव शून्य के बराबर होता है। इसके अलावा, शून्य ही एकमात्र ऐसी संख्या है जिसका कोई विपरीत नहीं है।

इस प्रकार, यदि हम फ़ंक्शन $y=\left| पर विचार करते हैं x \right|$ और इसका ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें, आपको कुछ इस तरह मिलेगा:

मापांक ग्राफ़ और समीकरण को हल करने का उदाहरण

इस चित्र से यह तुरंत स्पष्ट है कि $\left| -एम \दाएं|=\बाएं| m \right|$, और मापांक ग्राफ कभी भी x-अक्ष से नीचे नहीं आता है। लेकिन इतना ही नहीं: लाल रेखा सीधी रेखा $y=a$ को चिह्नित करती है, जो सकारात्मक $a$ के लिए, हमें एक साथ दो मूल देती है: $((x)_(1))$ और $((x) _(2)) $, लेकिन हम इसके बारे में बाद में बात करेंगे। :)

विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा के अलावा, एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। मान लीजिए कि संख्या रेखा पर दो बिंदु हैं: $((x)_(1))$ और $((x)_(2))$। इस मामले में, अभिव्यक्ति $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ केवल निर्दिष्ट बिंदुओं के बीच की दूरी है। या, यदि आप चाहें, तो इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई:

मापांक एक संख्या रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी है

इस परिभाषा का यह भी तात्पर्य है कि मापांक हमेशा गैर-नकारात्मक होता है। लेकिन पर्याप्त परिभाषाएँ और सिद्धांत - आइए वास्तविक समीकरणों की ओर बढ़ते हैं। :)

मूल सूत्र

ठीक है, हमने परिभाषा सुलझा ली है। लेकिन इससे यह आसान नहीं हुआ। इसी मॉड्यूल वाले समीकरणों को कैसे हल करें?

शांत, बिल्कुल शांत. आइए सबसे सरल चीज़ों से शुरुआत करें। कुछ इस तरह विचार करें:

\[\बाएं| x\दाएं|=3\]

तो $x$ का मापांक 3 है। $x$ किसके बराबर हो सकता है? खैर, परिभाषा को देखते हुए, हम $x=3$ से काफी खुश हैं। वास्तव में:

\[\बाएं| 3\दाएं|=3\]

क्या अन्य संख्याएँ हैं? ऐसा प्रतीत होता है कि कैप संकेत दे रहा है कि वहाँ है। उदाहरण के लिए, $x=-3$ भी $\left| है -3 \दाएं|=3$, अर्थात्। आवश्यक समानता संतुष्ट है.

तो शायद अगर हम खोजें और सोचें, तो हमें और संख्याएँ मिलेंगी? लेकिन आइए इसका सामना करें: अब और कोई संख्या नहीं है। समीकरण $\बाएँ| x \right|=3$ के केवल दो मूल हैं: $x=3$ और $x=-3$।

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। फ़ंक्शन $f\left(x \right)$ को वेरिएबल $x$ के बजाय मापांक चिह्न के नीचे लटकने दें, और दाईं ओर ट्रिपल के स्थान पर एक मनमाना संख्या $a$ डालें। हमें समीकरण मिलता है:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=a\]

तो हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? मैं आपको याद दिला दूं: $f\left(x \right)$ एक मनमाना फ़ंक्शन है, $a$ कोई भी संख्या है। वे। और कुछ भी! उदाहरण के लिए:

\[\बाएं| 2x+1 \दाएं|=5\]

\[\बाएं| 10x-5 \दाएं|=-65\]

आइए दूसरे समीकरण पर ध्यान दें. आप उसके बारे में तुरंत कह सकते हैं: उसकी कोई जड़ें नहीं हैं। क्यों? सब कुछ सही है: क्योंकि इसके लिए आवश्यक है कि मापांक एक ऋणात्मक संख्या के बराबर हो, जो कभी नहीं होता, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि मापांक हमेशा एक धनात्मक संख्या या चरम मामलों में शून्य होता है।

लेकिन पहले समीकरण के साथ सब कुछ अधिक मज़ेदार है। दो विकल्प हैं: या तो मापांक चिह्न के नीचे एक सकारात्मक अभिव्यक्ति है, और फिर $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, या यह अभिव्यक्ति अभी भी नकारात्मक है, और फिर $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. पहले मामले में, हमारा समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\बाएं| 2x+1 \दाएं|=5\दायां तीर 2x+1=5\]

और अचानक यह पता चला कि सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति $2x+1$ वास्तव में सकारात्मक है - यह संख्या 5 के बराबर है। हम इस समीकरण को सुरक्षित रूप से हल कर सकते हैं - परिणामी मूल उत्तर का एक भाग होगा:

जो लोग विशेष रूप से अविश्वासी हैं वे मूल समीकरण में पाए गए मूल को प्रतिस्थापित करने का प्रयास कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि मापांक के तहत वास्तव में एक सकारात्मक संख्या है।

आइए अब एक नकारात्मक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति के मामले को देखें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& \बाएं| 2x+1 \दाएं|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(संरेखित) \दाएं.\दायां तीर -2x-1=5 \दायाँ तीर 2x+1=-5\]

उफ़! फिर, सब कुछ स्पष्ट है: हमने मान लिया कि $2x+1 \lt 0$, और परिणामस्वरूप हमें वह $2x+1=-5$ मिला - वास्तव में, यह अभिव्यक्ति शून्य से कम है। हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं, जबकि पहले से ही यह जानते हुए कि पाया गया मूल हमारे लिए उपयुक्त होगा:

कुल मिलाकर, हमें फिर से दो उत्तर प्राप्त हुए: $x=2$ और $x=3$। हाँ, गणनाओं की मात्रा अत्यंत सरल समीकरण $\left| से थोड़ी अधिक निकली x \right|=3$, लेकिन बुनियादी तौर पर कुछ भी नहीं बदला है। तो शायद किसी प्रकार का सार्वभौमिक एल्गोरिदम है?

हां, ऐसा एल्गोरिदम मौजूद है। और अब हम इसका विश्लेषण करेंगे.

मापांक चिन्ह से छुटकारा पाना

आइए हमें समीकरण $\left| दिया जाए f\left(x \right) \right|=a$, और $a\ge 0$ (अन्यथा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, कोई जड़ें नहीं हैं)। फिर आप निम्नलिखित नियम का उपयोग करके मापांक चिह्न से छुटकारा पा सकते हैं:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=a\राइटएरो f\left(x \right)=\pm a\]

इस प्रकार, मापांक वाला हमारा समीकरण दो भागों में विभाजित हो जाता है, लेकिन मापांक के बिना। बस इतनी ही है तकनीक! आइए कुछ समीकरणों को हल करने का प्रयास करें। आइए इसी से शुरुआत करें

\[\बाएं| 5x+4 \दाएं|=10\दायां तीर 5x+4=\pm 10\]

आइए दाहिनी ओर दस प्लस होने पर अलग से और माइनस होने पर अलग से विचार करें। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें)& 5x+4=10\दायां तीर 5x=6\दायां तीर x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\दायां तीर 5x=-14\दायां तीर x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमें दो मूल मिले: $x=1.2$ और $x=-2.8$। संपूर्ण समाधान में वस्तुतः दो पंक्तियाँ थीं।

ठीक है, कोई सवाल नहीं, आइए कुछ और गंभीर बात पर गौर करें:

\[\बाएं| 7-5x\दाएं|=13\]

फिर से हम मॉड्यूल को प्लस और माइनस के साथ खोलते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& 7-5x=13\दायां तीर -5x=6\दायां तीर x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\राइटएरो -5x=-20\राइटएरो x=4. \\\end(संरेखित करें)\]

कुछ पंक्तियाँ फिर से - और उत्तर तैयार है! जैसा कि मैंने कहा, मॉड्यूल के बारे में कुछ भी जटिल नहीं है। आपको बस कुछ नियम याद रखने होंगे। इसलिए, हम आगे बढ़ते हैं और वास्तव में अधिक जटिल कार्यों से शुरुआत करते हैं।

दायीं ओर के चर का मामला

अब इस समीकरण पर विचार करें:

\[\बाएं| 3x-2 \दाएं|=2x\]

यह समीकरण पिछले सभी समीकरणों से मौलिक रूप से भिन्न है। कैसे? और तथ्य यह है कि समान चिह्न के दाईं ओर अभिव्यक्ति $2x$ है - और हम पहले से नहीं जान सकते कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक।

ऐसे में क्या करें? सबसे पहले, हमें इसे एक बार और पूरी तरह से समझ लेना चाहिए यदि समीकरण का दाहिना पक्ष नकारात्मक हो जाता है, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं होगी- हम पहले से ही जानते हैं कि मॉड्यूल ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

और दूसरी बात, यदि दाहिना भाग अभी भी सकारात्मक है (या शून्य के बराबर है), तो आप बिल्कुल पहले की तरह ही कार्य कर सकते हैं: बस मॉड्यूल को अलग से प्लस चिह्न के साथ और अलग से ऋण चिह्न के साथ खोलें।

इस प्रकार, हम मनमाने कार्यों $f\left(x \right)$ और $g\left(x \right)$ के लिए एक नियम बनाते हैं:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(संरेखित)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(संरेखित) \right.\]

हमारे समीकरण के संबंध में हमें मिलता है:

\[\बाएं| 3x-2 \दाएं|=2x\दायां तीर \बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(संरेखित) \दाएं.\]

खैर, हम किसी तरह $2x\ge 0$ की आवश्यकता का सामना करेंगे। अंत में, हम पहले समीकरण से प्राप्त जड़ों को मूर्खतापूर्ण ढंग से प्रतिस्थापित कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि असमानता कायम है या नहीं।

तो आइए समीकरण को स्वयं हल करें:

\[\begin(संरेखित करें)& 3x-2=2\दायां तीर 3x=4\दायां तीर x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\दायां तीर 3x=0\दायां तीर x=0. \\\end(संरेखित करें)\]

खैर, इन दोनों जड़ों में से कौन सी $2x\ge 0$ की आवश्यकता को पूरा करती है? हाँ दोनों! इसलिए, उत्तर दो संख्याएँ होंगी: $x=(4)/(3)\;$ और $x=0$। यही समाधान है। :)

मुझे संदेह है कि कुछ छात्र पहले से ही ऊबने लगे हैं? खैर, आइए एक और अधिक जटिल समीकरण देखें:

\[\बाएं| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

हालाँकि यह बुरा लगता है, वास्तव में यह अभी भी "मापांक बराबर फ़ंक्शन" के रूप का वही समीकरण है:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

और इसे ठीक उसी तरह हल किया जाता है:

\[\बाएं| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \दाएं|=x-((x)^(3))\दायां तीर \बाएं\( \begin(संरेखित करें)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(संरेखित) \right.\]

हम असमानता से बाद में निपटेंगे - यह किसी तरह बहुत बुरा है (वास्तव में, यह सरल है, लेकिन हम इसे हल नहीं करेंगे)। अभी के लिए, परिणामी समीकरणों से निपटना बेहतर है। आइए पहले मामले पर विचार करें - यह तब होता है जब मॉड्यूल को प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किया जाता है:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

खैर, यह कोई बड़ी बात नहीं है कि आपको बाईं ओर से सब कुछ इकट्ठा करना होगा, समान चीजें लानी होंगी और देखना होगा कि क्या होता है। और यही होता है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(संरेखित करें)\]

हम सामान्य गुणनखंड $((x)^(2))$ को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और एक बहुत ही सरल समीकरण प्राप्त करते हैं:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\दायां तीर \left[ \begin(संरेखित)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

यहां हमने उत्पाद की एक महत्वपूर्ण संपत्ति का लाभ उठाया, जिसके लिए हमने मूल बहुपद का गुणनखंड किया: उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

आइए अब दूसरे समीकरण से ठीक उसी तरह निपटें, जो मॉड्यूल को ऋण चिह्न के साथ विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(संरेखित करें)\]

फिर से वही बात: उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। हमारे पास है:

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

खैर, हमें तीन मूल मिले: $x=0$, $x=1.5$ और $x=(2)/(3)\;$। खैर, इनमें से कौन सा सेट अंतिम उत्तर में जाएगा? ऐसा करने के लिए, याद रखें कि हमारे पास असमानता के रूप में एक अतिरिक्त बाधा है:

इस आवश्यकता को कैसे ध्यान में रखा जाए? आइए बस पाए गए मूलों को प्रतिस्थापित करें और जांचें कि असमानता इन $x$ के लिए है या नहीं। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें)& x=0\दायां तीर x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\दायां तीर x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, मूल $x=1.5$ हमारे लिए उपयुक्त नहीं है। और प्रत्युत्तर में केवल दो जड़ें होंगी:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में भी कुछ भी जटिल नहीं था - मॉड्यूल वाले समीकरण हमेशा एक एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं। आपको बस बहुपदों और असमानताओं की अच्छी समझ होनी चाहिए। इसलिए, हम अधिक जटिल कार्यों की ओर बढ़ते हैं - वहां पहले से ही एक नहीं, बल्कि दो मॉड्यूल होंगे।

दो मॉड्यूल वाले समीकरण

अब तक, हमने केवल सबसे सरल समीकरणों का अध्ययन किया है - एक मॉड्यूल था और कुछ और। हमने इस "कुछ और" को मॉड्यूल से दूर, असमानता के दूसरे हिस्से में भेज दिया, ताकि अंत में सब कुछ $\left| फॉर्म के समीकरण में कम हो जाए। f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ या इससे भी सरल $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

लेकिन किंडरगार्टन खत्म हो गया है - अब कुछ और गंभीर बातों पर विचार करने का समय आ गया है। आइए इस तरह के समीकरणों से शुरुआत करें:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

यह "मापांक बराबर मापांक" के रूप का एक समीकरण है। मूल रूप से महत्वपूर्ण बिंदु अन्य नियमों और कारकों की अनुपस्थिति है: बाईं ओर केवल एक मॉड्यूल, दाईं ओर एक और मॉड्यूल - और कुछ नहीं।

अब कोई यह सोचेगा कि हमने अब तक जो अध्ययन किया है उसकी तुलना में ऐसे समीकरणों को हल करना अधिक कठिन है। लेकिन नहीं: इन समीकरणों को हल करना और भी आसान है। यहाँ सूत्र है:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\राइटएरो f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

सभी! हम बस उनमें से किसी एक के सामने प्लस या माइनस चिह्न लगाकर सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों को बराबर करते हैं। और फिर हम परिणामी दो समीकरणों को हल करते हैं - और जड़ें तैयार हैं! कोई अतिरिक्त प्रतिबंध, कोई असमानता आदि नहीं। सब कुछ बहुत सरल है.

आइए इस समस्या को हल करने का प्रयास करें:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं|=\बाएं| 2x-7 \दाएं|\]

प्राथमिक वाटसन! मॉड्यूल का विस्तार:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं|=\बाएं| 2x-7 \दाएं|\दायां तीर 2x+3=\pm \बाएं(2x-7 \दाएं)\]

आइए प्रत्येक मामले पर अलग से विचार करें:

\[\begin(संरेखित करें)& 2x+3=2x-7\दायां तीर 3=-7\दायां तीर \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\दायां तीर 2x+3=-2x+7. \\\end(संरेखित करें)\]

पहले समीकरण की कोई जड़ नहीं है. क्योंकि $3=-7$ कब है? $x$ के किस मान पर? “$x$ आख़िर क्या है? क्या तुम शराबी हो? वहाँ बिल्कुल भी $x$ नहीं है," आप कहते हैं। और आप सही होंगे. हमने एक समानता प्राप्त की है जो चर $x$ पर निर्भर नहीं करती है, और साथ ही समानता स्वयं गलत है। इसीलिए कोई जड़ें नहीं हैं। :)

दूसरे समीकरण के साथ, सब कुछ थोड़ा अधिक दिलचस्प है, लेकिन बहुत, बहुत सरल भी है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ शाब्दिक रूप से कुछ पंक्तियों में हल हो गया था - हमें रैखिक समीकरण से और कुछ की उम्मीद नहीं थी। :)

परिणामस्वरूप, अंतिम उत्तर है: $x=1$।

तो कैसे? कठिन? बिल्कुल नहीं। आइए कुछ और प्रयास करें:

\[\बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|\]

फिर से हमारे पास $\left| के रूप का एक समीकरण है f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. इसलिए, हम मापांक चिह्न को प्रकट करते हुए तुरंत इसे फिर से लिखते हैं:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

शायद अब कोई पूछेगा: “अरे, क्या बकवास है? "प्लस-माइनस" दाएँ हाथ की अभिव्यक्ति पर क्यों दिखाई देता है और बाईं ओर नहीं?" शांत हो जाओ, मैं अब सब कुछ समझाऊंगा। वास्तव में, अच्छे तरीके से हमें अपने समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखना चाहिए था:

फिर आपको कोष्ठक खोलने होंगे, सभी पदों को समान चिह्न के एक तरफ ले जाना होगा (चूंकि समीकरण, जाहिर है, दोनों मामलों में वर्ग होगा), और फिर मूल खोजें। लेकिन आपको यह स्वीकार करना होगा: जब "प्लस-माइनस" तीन शब्दों से पहले आता है (विशेषकर जब इनमें से एक शब्द एक द्विघात अभिव्यक्ति है), तो यह किसी तरह उस स्थिति से अधिक जटिल लगता है जब "प्लस-माइनस" केवल दो शब्दों से पहले आता है।

लेकिन कोई भी चीज़ हमें मूल समीकरण को इस प्रकार दोबारा लिखने से नहीं रोकती:

\[\बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|\दायां तीर \बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|=\बाएं| x-1 \दाएं|\]

क्या हुआ? कुछ खास नहीं: उन्होंने बस बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली की। एक छोटी सी चीज़ जो अंततः हमारे जीवन को थोड़ा आसान बना देगी। :)

सामान्य तौर पर, हम प्लस और माइनस वाले विकल्पों पर विचार करके इस समीकरण को हल करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\दायां तीर ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(संरेखित करें)\]

पहले समीकरण के मूल $x=3$ और $x=1$ हैं। दूसरा आम तौर पर एक सटीक वर्ग होता है:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

इसलिए, इसका केवल एक ही मूल है: $x=1$। परंतु यह मूल हमें पहले ही प्राप्त हो चुका है। इस प्रकार, अंतिम उत्तर में केवल दो संख्याएँ शामिल होंगी:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

मिशन पूरा! आप शेल्फ से एक पाई ले सकते हैं और खा सकते हैं। उनमें से 2 हैं, आपका बीच वाला है। :)

महत्वपूर्ण लेख. मॉड्यूल के विस्तार के विभिन्न प्रकारों के लिए समान जड़ों की उपस्थिति का मतलब है कि मूल बहुपद गुणनखंडित हैं, और इन कारकों के बीच निश्चित रूप से एक सामान्य होगा। वास्तव में:

\[\शुरू(संरेखित करें)& \बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|; \\& \बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| \बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x-2 \दाएं) \दाएं| \\\end(संरेखित करें)\]

मॉड्यूल गुणों में से एक: $\left| a\cdot b \दाएं|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| b \right|$ (अर्थात् उत्पाद का मापांक मापांक के गुणनफल के बराबर है), इसलिए मूल समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं| x-2 \दाएं|\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास वास्तव में एक सामान्य कारक है। अब, यदि आप सभी मॉड्यूल को एक तरफ इकट्ठा करते हैं, तो आप इस कारक को ब्रैकेट से बाहर निकाल सकते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें)& \बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं| x-2 \दाएँ|; \\& \बाएं| x-1 \दाएं|-\बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं| x-2 \दाएं|=0; \\& \बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं(1-\बाएं| x-2 \दाएं| \दाएं)=0. \\\end(संरेखित करें)\]

खैर, अब याद रखें कि उत्पाद शून्य के बराबर है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है:

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित करें)& \बाएं| x-1 \दाएं|=0, \\& \बाएं| x-2 \दाएं|=1. \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

इस प्रकार, दो मॉड्यूल वाले मूल समीकरण को दो सरलतम समीकरणों में बदल दिया गया है जिनके बारे में हमने पाठ की शुरुआत में बात की थी। ऐसे समीकरणों को वस्तुतः कुछ पंक्तियों में हल किया जा सकता है। :)

यह टिप्पणी व्यवहार में अनावश्यक रूप से जटिल और अनुपयुक्त लग सकती है। हालाँकि, वास्तव में, आप उन समस्याओं से कहीं अधिक जटिल समस्याओं का सामना कर सकते हैं जिन्हें हम आज देख रहे हैं। उनमें मॉड्यूल को बहुपद, अंकगणितीय मूल, लघुगणक आदि के साथ जोड़ा जा सकता है। और ऐसी स्थितियों में, कोष्ठक से कुछ निकालकर समीकरण की समग्र डिग्री को कम करने की क्षमता बहुत उपयोगी हो सकती है। :)

अब मैं एक और समीकरण देखना चाहूँगा, जो पहली नज़र में अजीब लग सकता है। कई छात्र इस पर अटक जाते हैं, यहां तक ​​कि वे भी जो सोचते हैं कि उन्हें मॉड्यूल की अच्छी समझ है।

हालाँकि, इस समीकरण को हल करना उससे भी आसान है जिसे हमने पहले देखा था। और यदि आप इसका कारण समझते हैं, तो आपको मॉड्यूली के साथ समीकरणों को शीघ्रता से हल करने के लिए एक और तरकीब मिल जाएगी।

तो समीकरण यह है:

\[\बाएं| x-((x)^(3)) \दाएं|+\बाएं| ((x)^(2))+x-2 \दाएं|=0\]

नहीं, यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है: यह मॉड्यूल के बीच एक प्लस है। और हमें यह पता लगाना होगा कि किस $x$ पर दो मॉड्यूल का योग शून्य के बराबर है। :)

आखिर समस्या क्या है? लेकिन समस्या यह है कि प्रत्येक मॉड्यूल एक सकारात्मक संख्या है, या चरम मामलों में, शून्य है। यदि आप दो धनात्मक संख्याएँ जोड़ दें तो क्या होगा? जाहिर है फिर से एक सकारात्मक संख्या:

\[\begin(संरेखित करें)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(संरेखित)\]

अंतिम पंक्ति आपको एक विचार दे सकती है: मॉड्यूल का योग केवल तभी शून्य होता है जब प्रत्येक मॉड्यूल शून्य होता है:

\[\बाएं| x-((x)^(3)) \दाएं|+\बाएं| ((x)^(2))+x-2 \दाएं|=0\दायां तीर \बाएं\( \begin(संरेखित)& \बाएं| x-((x)^(3)) \दाएं|=0, \\& \बाएं| ((x)^(2))+x-2 \दाएं|=0. \\\end(संरेखित) \दाएं.\]

और मॉड्यूल शून्य के बराबर कब है? केवल एक मामले में - जब सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है:

\[((x)^(2))+x-2=0\दायां तीर \बाएं(x+2 \दाएं)\बाएं(x-1 \दाएं)=0\दायां तीर \बाएं[ \शुरू(संरेखित)& x=-2 \\& x=1 \\\end(संरेखित) \दाएं.\]

इस प्रकार, हमारे पास तीन बिंदु हैं जिन पर पहला मॉड्यूल शून्य पर रीसेट हो गया है: 0, 1 और -1; साथ ही दो बिंदु जहां दूसरे मॉड्यूल को शून्य पर रीसेट किया जाता है: -2 और 1. हालांकि, हमें एक ही समय में दोनों मॉड्यूल को शून्य पर रीसेट करने की आवश्यकता है, इसलिए पाए गए नंबरों में से हमें उन लोगों को चुनना होगा जो इसमें शामिल हैं दोनों सेट. जाहिर है, ऐसी केवल एक ही संख्या है: $x=1$ - यह अंतिम उत्तर होगा।

विच्छेदन विधि

ख़ैर, हमने पहले ही ढेर सारी समस्याओं को कवर कर लिया है और बहुत सारी तकनीकें सीख ली हैं। क्या आपको लगता है कि बस इतना ही है? लेकिन कोई नहीं! अब हम अंतिम तकनीक को देखेंगे - और साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी। हम मापांक के साथ समीकरणों को विभाजित करने के बारे में बात करेंगे। हम बात भी क्या करेंगे? आइए थोड़ा पीछे जाएं और कुछ सरल समीकरण देखें। उदाहरण के लिए यह:

\[\बाएं| 3x-5 \दाएं|=5-3x\]

सिद्धांत रूप में, हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे समीकरण को कैसे हल किया जाए, क्योंकि यह $\left| फॉर्म का एक मानक निर्माण है f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. लेकिन आइए इस समीकरण को थोड़ा अलग कोण से देखने का प्रयास करें। अधिक सटीक रूप से, मापांक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति पर विचार करें। मैं आपको याद दिला दूं कि किसी भी संख्या का मापांक स्वयं उस संख्या के बराबर हो सकता है, या यह इस संख्या के विपरीत भी हो सकता है:

\[\बाएं| a \right|=\left\( \begin(संरेखित)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(संरेखित) \right.\]

दरअसल, यह अस्पष्टता ही पूरी समस्या है: चूंकि मापांक के तहत संख्या बदलती है (यह चर पर निर्भर करती है), यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक।

लेकिन क्या होगा यदि आपको प्रारंभ में यह आवश्यकता हो कि यह संख्या सकारात्मक हो? उदाहरण के लिए, हमें $3x-5 \gt 0$ की आवश्यकता है - इस मामले में हमें मापांक चिह्न के तहत एक सकारात्मक संख्या प्राप्त करने की गारंटी है, और हम इस मापांक से पूरी तरह से छुटकारा पा सकते हैं:

इस प्रकार, हमारा समीकरण एक रैखिक समीकरण में बदल जाएगा, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है:

सच है, ये सभी विचार केवल $3x-5 \gt 0$ की स्थिति के तहत ही समझ में आते हैं - मॉड्यूल को स्पष्ट रूप से प्रकट करने के लिए हमने स्वयं इस आवश्यकता को पेश किया है। इसलिए, आइए पाए गए $x=\frac(5)(3)$ को इस स्थिति में प्रतिस्थापित करें और जांचें:

यह पता चला है कि $x$ के निर्दिष्ट मूल्य के लिए हमारी आवश्यकता पूरी नहीं हुई है, क्योंकि अभिव्यक्ति शून्य के बराबर निकली, और हमें इसकी आवश्यकता शून्य से अधिक होनी चाहिए। उदास। :(

लेकिन कोई बात नहीं! आख़िरकार, एक और विकल्प भी है $3x-5 \lt 0$। इसके अलावा: $3x-5=0$ का मामला भी है - इस पर भी विचार करने की आवश्यकता है, अन्यथा समाधान अधूरा होगा। तो, मामले पर विचार करें $3x-5 \lt 0$:

जाहिर है, मॉड्यूल ऋण चिह्न के साथ खुलेगा। लेकिन फिर एक अजीब स्थिति पैदा होती है: मूल समीकरण में बाईं और दाईं ओर दोनों तरफ एक ही अभिव्यक्ति दिखाई देगी:

मुझे आश्चर्य है कि किस $x$ पर अभिव्यक्ति $5-3x$ अभिव्यक्ति $5-3x$ के बराबर होगी? ऐसे समीकरणों से कैप्टन ओब्विअसनेस का गला भी घुट जाएगा, लेकिन हम जानते हैं: यह समीकरण एक पहचान है, यानी। यह चर के किसी भी मान के लिए सत्य है!

इसका मतलब यह है कि कोई भी $x$ हमारे लिए उपयुक्त होगा। हालाँकि, हमारी एक सीमा है:

दूसरे शब्दों में, उत्तर एक संख्या नहीं, बल्कि एक संपूर्ण अंतराल होगा:

अंततः, विचार करने के लिए एक और मामला बचा है: $3x-5=0$। यहां सब कुछ सरल है: मापांक के अंतर्गत शून्य होगा, और शून्य का मापांक भी शून्य के बराबर है (यह सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है):

लेकिन फिर मूल समीकरण $\बाएं| 3x-5 \right|=5-3x$ को इस प्रकार पुनः लिखा जाएगा:

जब हमने $3x-5 \gt 0$ के मामले पर विचार किया तो हमने पहले ही यह मूल प्राप्त कर लिया था। इसके अलावा, यह रूट समीकरण $3x-5=0$ का एक समाधान है - यह वह प्रतिबंध है जिसे हमने स्वयं मॉड्यूल को रीसेट करने के लिए पेश किया था। :)

इस प्रकार, अंतराल के अतिरिक्त, हम इस अंतराल के बिल्कुल अंत में स्थित संख्या से भी संतुष्ट होंगे:

मॉड्यूलो समीकरणों में जड़ों का संयोजन

कुल अंतिम उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ मापांक के साथ काफी सरल (अनिवार्य रूप से रैखिक) समीकरण के उत्तर में ऐसी बकवास देखना बहुत आम नहीं है, वास्तव में? खैर, इसकी आदत डालें: मॉड्यूल की कठिनाई यह है कि ऐसे समीकरणों में उत्तर पूरी तरह से अप्रत्याशित हो सकते हैं।

कुछ और अधिक महत्वपूर्ण है: हमने एक मापांक के साथ समीकरण को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम का विश्लेषण किया है! और इस एल्गोरिदम में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. समीकरण में प्रत्येक मापांक को शून्य के बराबर करें। हमें कई समीकरण मिलते हैं;
2. इन सभी समीकरणों को हल करें और संख्या रेखा पर मूल अंकित करें। परिणामस्वरूप, सीधी रेखा को कई अंतरालों में विभाजित किया जाएगा, जिनमें से प्रत्येक पर सभी मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होंगे;
3. प्रत्येक अंतराल के लिए मूल समीकरण को हल करें और अपने उत्तरों को संयोजित करें।

बस इतना ही! केवल एक ही प्रश्न बचा है: चरण 1 में प्राप्त जड़ों का क्या करें? मान लीजिए कि हमारी दो जड़ें हैं: $x=1$ और $x=5$। वे संख्या रेखा को 3 टुकड़ों में विभाजित करेंगे:

बिंदुओं का उपयोग करके संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करना

तो अंतराल क्या हैं? यह स्पष्ट है कि उनमें से तीन हैं:

1. सबसे बाईं ओर वाला: $x \lt 1$ - इकाई स्वयं अंतराल में शामिल नहीं है;
2. सेंट्रल: $1\le x \lt 5$ - यहां एक को अंतराल में शामिल किया गया है, लेकिन पांच को शामिल नहीं किया गया है;
3. सबसे दाहिना: $x\ge 5$ - पाँच केवल यहाँ शामिल है!

मुझे लगता है कि आप पैटर्न को पहले से ही समझ गए हैं। प्रत्येक अंतराल में बायां छोर शामिल है और दायां शामिल नहीं है।

पहली नज़र में, ऐसी प्रविष्टि असुविधाजनक, अतार्किक और आम तौर पर किसी प्रकार की पागलपन भरी लग सकती है। लेकिन मेरा विश्वास करें: थोड़े अभ्यास के बाद, आप पाएंगे कि यह दृष्टिकोण सबसे विश्वसनीय है और मॉड्यूल को स्पष्ट रूप से खोलने में हस्तक्षेप नहीं करता है। हर बार सोचने की तुलना में ऐसी योजना का उपयोग करना बेहतर है: वर्तमान अंतराल को बाएँ/दाएँ छोर दें या इसे अगले में "फेंक" दें।

इससे पाठ समाप्त होता है। स्वयं हल करने के लिए समस्याओं को डाउनलोड करें, अभ्यास करें, उत्तरों से तुलना करें - और मिलते हैं अगले पाठ में, जो मॉड्यूलि के साथ असमानताओं के लिए समर्पित होगा। :)

संख्या मापांक एउद्गम से बिंदु तक की दूरी है ए(ए) .

इस परिभाषा को समझने के लिए, आइए वेरिएबल को प्रतिस्थापित करें एकोई भी संख्या, उदाहरण के लिए 3, और इसे दोबारा पढ़ें:

संख्या 3 का मापांक मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी है ए(3 ).

यानी मॉड्यूल एक सामान्य दूरी से ज्यादा कुछ नहीं है। आइए उद्गम से बिंदु तक की दूरी देखने का प्रयास करें ए(3)

उद्गम से बिंदु तक की दूरी ए(3) 3 (तीन इकाइयाँ या तीन चरण) है।

किसी संख्या का मापांक दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए:

संख्या 3 का मापांक इस प्रकार दर्शाया गया है: |3|

संख्या 4 का मापांक इस प्रकार दर्शाया गया है: |4|

संख्या 5 का मापांक इस प्रकार दर्शाया गया है: |5|

हमने संख्या 3 का मापांक खोजा और पाया कि यह 3 के बराबर है। तो हम इसे लिखते हैं:

|3| = 3

जैसे पढ़ता है "संख्या तीन का मापांक तीन है"

आइए अब संख्या -3 का मापांक ज्ञात करने का प्रयास करें। फिर से, हम परिभाषा पर लौटते हैं और इसमें संख्या −3 प्रतिस्थापित करते हैं। केवल एक बिंदु के स्थान पर एएक नये बिंदु का प्रयोग करें बी. पूर्ण विराम एहम पहले उदाहरण में पहले ही उपयोग कर चुके हैं।

संख्या −3 का मापांक मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी है बी(−3 ).

एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती. मापांक भी एक दूरी है, इसलिए यह भी ऋणात्मक नहीं हो सकता।

संख्या −3 का मापांक 3 है। उद्गम से बिंदु तक की दूरी बी(−3) तीन इकाइयों के बराबर है:

|−3| = 3

जैसे पढ़ता है "शून्य तीन का मापांक तीन है।"

संख्या 0 का मापांक 0 के बराबर है, क्योंकि निर्देशांक 0 वाला बिंदु मूल बिंदु से मेल खाता है। अर्थात् उद्गम से बिन्दु तक की दूरी हे(0) शून्य के बराबर है:

|0| = 0

"शून्य का मापांक शून्य है"

आइए निष्कर्ष निकालें:

• किसी संख्या का मापांक ऋणात्मक नहीं हो सकता;
• एक सकारात्मक संख्या और शून्य के लिए, मापांक स्वयं संख्या के बराबर है, और एक नकारात्मक संख्या के लिए - विपरीत संख्या;
• विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान होते हैं।

विपरीत संख्याएँ

वे संख्याएँ जो केवल चिन्हों में भिन्न होती हैं, कहलाती हैं विलोम.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ -2 और 2 विपरीत हैं। वे केवल संकेतों में भिन्न हैं। संख्या −2 में ऋण चिह्न है, और संख्या 2 में धन चिह्न है, लेकिन हम इसे नहीं देखते हैं, क्योंकि प्लस, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, लिखा नहीं गया है।

विपरीत संख्याओं के और उदाहरण:

−1 और 1

−3 और 3

−5 और 5

−9 और 9

विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान होते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्याओं -3 और 3 का मापांक ज्ञात करें

|−3| और |3|

3 = 3

चित्र से पता चलता है कि मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी ए(−3) और बी(3) दो चरणों के बराबर है।

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छात्रों के लिए सबसे कठिन विषयों में से एक मापांक चिह्न के तहत एक चर वाले समीकरणों को हल करना है। आइए सबसे पहले यह समझें कि इसका संबंध किससे है? उदाहरण के लिए, अधिकांश बच्चे द्विघात समीकरणों को पागलों की तरह क्यों तोड़ते हैं, लेकिन मॉड्यूल जैसी जटिल अवधारणा से इतनी दूर होने पर उन्हें इतनी सारी समस्याएं क्यों होती हैं?

मेरी राय में, ये सभी कठिनाइयाँ मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट रूप से तैयार किए गए नियमों की कमी से जुड़ी हैं। इसलिए, द्विघात समीकरण को हल करते समय, छात्र निश्चित रूप से जानता है कि उसे पहले विभेदक सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, और फिर द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता है। यदि समीकरण में मापांक पाया जाए तो क्या करें? हम उस मामले के लिए आवश्यक कार्य योजना का स्पष्ट रूप से वर्णन करने का प्रयास करेंगे जब समीकरण में मापांक चिह्न के नीचे कोई अज्ञात हो। हम प्रत्येक मामले के लिए कई उदाहरण देंगे।

लेकिन पहले, आइए याद रखें मॉड्यूल परिभाषा. तो, संख्या मॉड्यूलो एइस नंबर को ही if कहा जाता है एगैर-नकारात्मक और -ए, यदि संख्या एशून्य से भी कम. आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

|ए| = ए यदि ए ≥ 0 और |ए| = -ए यदि ए< 0

मॉड्यूल के ज्यामितीय अर्थ के बारे में बोलते हुए, यह याद रखना चाहिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या अक्ष पर एक निश्चित बिंदु से मेल खाती है - इसकी समन्वय करें. तो, किसी संख्या का मॉड्यूल या निरपेक्ष मान इस बिंदु से संख्यात्मक अक्ष की उत्पत्ति तक की दूरी है। दूरी को हमेशा एक सकारात्मक संख्या के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। इस प्रकार, किसी भी ऋणात्मक संख्या का मापांक एक धनात्मक संख्या है। वैसे, इस स्तर पर भी कई छात्र भ्रमित होने लगते हैं। मॉड्यूल में कोई भी संख्या हो सकती है, लेकिन मॉड्यूल का उपयोग करने का परिणाम हमेशा एक सकारात्मक संख्या होता है।

अब सीधे समीकरणों को हल करने की ओर बढ़ते हैं।

1. |x| के रूप के एक समीकरण पर विचार करें = c, जहाँ c एक वास्तविक संख्या है। इस समीकरण को मापांक परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

हम सभी वास्तविक संख्याओं को तीन समूहों में विभाजित करते हैं: वे जो शून्य से बड़ी हैं, वे जो शून्य से कम हैं, और तीसरा समूह संख्या 0 है। हम समाधान को आरेख के रूप में लिखते हैं:

(±c, यदि c > 0

यदि |x| = सी, तो एक्स = (0, अगर सी = 0

(यदि कोई जड़ नहीं है< 0

1) |एक्स| = 5, क्योंकि 5 > 0, तो x = ±5;

2) |एक्स| = -5, क्योंकि -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, तो x = 0.

2. फॉर्म का समीकरण |f(x)| = बी, जहां बी > 0. इस समीकरण को हल करने के लिए मॉड्यूल से छुटकारा पाना आवश्यक है। हम इसे इस प्रकार करते हैं: f(x) = b या f(x) = -b। अब आपको प्रत्येक परिणामी समीकरण को अलग-अलग हल करने की आवश्यकता है। यदि मूल समीकरण में बी< 0, решений не будет.

1) |एक्स + 2| = 4, क्योंकि 4 > 0, फिर

x + 2 = 4 या x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, क्योंकि 11 > 0, फिर

x 2 – 5 = 11 या x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 कोई मूल नहीं

3) |x 2 – 5x| = -8, क्योंकि -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| के रूप का एक समीकरण = जी(एक्स). मॉड्यूल के अर्थ के अनुसार, ऐसे समीकरण के समाधान होंगे यदि इसका दाहिना हाथ शून्य से अधिक या उसके बराबर है, अर्थात। g(x) ≥ 0. तब हमारे पास होगा:

एफ(एक्स) = जी(एक्स)या एफ(एक्स) = -जी(एक्स).

1) |2x – 1| = 5x – 10. इस समीकरण के मूल होंगे यदि 5x – 10 ≥ 0. यहीं से ऐसे समीकरणों का समाधान शुरू होता है।

1. ओ.डी.जेड. 5x – 10 ≥ 0

2. समाधान:

2x – 1 = 5x – 10 या 2x – 1 = -(5x – 10)

3. हम O.D.Z को जोड़ते हैं। और समाधान, हमें मिलता है:

मूल x = 11/7 O.D.Z. में फिट नहीं बैठता है, यह 2 से कम है, लेकिन x = 3 इस शर्त को पूरा करता है।

उत्तर: एक्स = 3

2) |एक्स – 1| = 1 – एक्स 2 .

1. ओ.डी.जेड. 1 - x 2 ≥ 0. आइए अंतराल विधि का उपयोग करके इस असमानता को हल करें:

(1 – एक्स)(1 + एक्स) ≥ 0

2. समाधान:

x – 1 = 1 – x 2 या x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 या x = 1 x = 0 या x = 1

3. हम समाधान और O.D.Z. को जोड़ते हैं:

केवल मूल x = 1 और x = 0 उपयुक्त हैं।

उत्तर: x = 0, x = 1.

4. फॉर्म का समीकरण |f(x)| = |जी(एक्स)| ऐसा समीकरण निम्नलिखित दो समीकरणों f(x) = g(x) या f(x) = -g(x) के समतुल्य है।

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5| यह समीकरण निम्नलिखित दो के बराबर है:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 या x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

एक्स = 3 या एक्स = 4 एक्स = 2 या एक्स = 1

उत्तर: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4।

5. प्रतिस्थापन विधि (चर प्रतिस्थापन) द्वारा हल किये गये समीकरण। इस समाधान विधि को एक विशिष्ट उदाहरण के साथ समझाना सबसे आसान है। तो, आइए हमें मापांक के साथ एक द्विघात समीकरण दिया जाए:

एक्स 2 – 6|एक्स| + 5 = 0. मापांक गुण x 2 = |x| द्वारा 2, इसलिए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. आइए प्रतिस्थापन करें |x| = t ≥ 0, तो हमारे पास होगा:

t 2 – 6t + 5 = 0. इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि t = 1 या t = 5. आइए प्रतिस्थापन पर वापस लौटें:

|x| = 1 या |x| = 5

एक्स = ±1 एक्स = ±5

उत्तर: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

आइए एक और उदाहरण देखें:

एक्स 2 + |एक्स| – 2 = 0. मापांक गुण x 2 = |x| द्वारा 2, इसलिए

|x| 2 + |x| – 2 = 0. आइए प्रतिस्थापन करें |x| = टी ≥ 0, तो:

t 2 + t – 2 = 0. इस समीकरण को हल करने पर, हमें t = -2 या t = 1 मिलता है। आइए प्रतिस्थापन पर वापस लौटें:

|x| = -2 या |x| = 1

कोई मूल नहीं x = ± 1

उत्तर: x = -1, x = 1.

6. एक अन्य प्रकार के समीकरण "जटिल" मापांक वाले समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों में वे समीकरण शामिल होते हैं जिनमें "एक मॉड्यूल के भीतर मॉड्यूल" होते हैं। इस प्रकार के समीकरणों को मॉड्यूल के गुणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

1) |3 – |x|| = 4. हम दूसरे प्रकार के समीकरणों की तरह ही कार्य करेंगे। क्योंकि 4 > 0, तो हमें दो समीकरण मिलते हैं:

3 - |x| = 4 या 3 – |x| = -4.

आइए अब हम प्रत्येक समीकरण में मापांक x को व्यक्त करें, फिर |x| = -1 या |x| = 7.

हम प्रत्येक परिणामी समीकरण को हल करते हैं। पहले समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि -1< 0, а во втором x = ±7.

उत्तर x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. हम इस समीकरण को इसी प्रकार हल करते हैं:

3 + |एक्स + 1| = 5 या 3 + |x + 1| = -5

|एक्स + 1| = 2 |एक्स + 1| = -8

x + 1 = 2 या x + 1 = -2. कोई जड़ नहीं.

उत्तर: x = -3, x = 1.

मापांक वाले समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि भी है। यह अंतराल विधि है. लेकिन हम इसे बाद में देखेंगे.

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