एक समांतर चतुर्भुज में, एक बिंदु किनारे पर स्थित होता है। सदिश को सदिशों के पदों में व्यक्त कीजिए तथा ।

समस्या का समाधान

यह पाठ दिखाता है कि मूल वैक्टर की संरचना के रूप में एक समांतर चतुर्भुज के पक्षों के रूप में ज्ञात वैक्टर के माध्यम से एक मनमाना खंड कैसे व्यक्त किया जाए। यह समस्या हल नहीं हो सकती थी यदि हम यह नहीं जानते थे कि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं में से एक को वांछित खंड से संबंधित बिंदु से किस अनुपात में विभाजित किया जाता है। दिए गए वैक्टर और वैक्टर की शुरुआत और अंत का निर्धारण करने के लिए आगे की क्रियाएं कम हो जाती हैं, जिसमें पक्ष विभाजित होता है। वैक्टर को मिलाते समय संकेतों का सही उपयोग करने के लिए यह सब आवश्यक है। आखिरकार, वेक्टर जोड़ के नियमों को याद रखना आवश्यक है: वैक्टर का योग एक तीसरा वेक्टर देता है, जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ होती है, और अंत दूसरे के अंत के साथ होता है; और सदिश घटाव नियम: दो सदिशों का अंतर तीसरा सदिश है, जिसकी शुरुआत दूसरे सदिश के सिरों से मेल खाती है, और अंत पहले सदिश के अंत से होता है। इन सरल नियमों के आधार पर, हमें वह संयोजन मिल सकता है जिसकी हमें आवश्यकता है।

अंत में, मुझे एक व्यापक और लंबे समय से प्रतीक्षित विषय पर हाथ मिला विश्लेषणात्मक ज्यामिति. सबसे पहले, उच्च गणित के इस खंड के बारे में थोड़ा…। निश्चित रूप से अब आपको कई प्रमेयों, उनके प्रमाणों, रेखाचित्रों आदि के साथ स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम याद आ गया होगा। क्या छिपाना है, छात्रों के एक महत्वपूर्ण अनुपात के लिए एक अप्रिय और अक्सर अस्पष्ट विषय। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, विचित्र रूप से पर्याप्त, अधिक रोचक और सुलभ लग सकती है। विशेषण "विश्लेषणात्मक" का क्या अर्थ है? दो मुद्रांकित गणितीय मोड़ तुरंत दिमाग में आते हैं: "समाधान की ग्राफिक विधि" और "समाधान की विश्लेषणात्मक विधि"। ग्राफिक विधि, निश्चित रूप से, रेखांकन, रेखाचित्रों के निर्माण से जुड़ा है। विश्लेषणात्मकवही तरीकासमस्या समाधान शामिल है मुख्य रूप सेबीजगणितीय संचालन के माध्यम से। इस संबंध में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म सरल और पारदर्शी है, अक्सर यह आवश्यक सूत्रों को सटीक रूप से लागू करने के लिए पर्याप्त है - और उत्तर तैयार है! नहीं, निश्चित रूप से, यह चित्र के बिना बिल्कुल भी नहीं चलेगा, इसके अलावा, सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मैं उन्हें आवश्यकता से अधिक लाने की कोशिश करूंगा।

ज्यामिति में पाठों का खुला पाठ्यक्रम सैद्धांतिक पूर्णता होने का दावा नहीं करता है, यह व्यावहारिक समस्याओं को हल करने पर केंद्रित है। मैं अपने व्याख्यानों में केवल वही शामिल करूंगा जो मेरे दृष्टिकोण से व्यावहारिक दृष्टि से महत्वपूर्ण है। यदि आपको किसी उपखंड पर अधिक संपूर्ण संदर्भ की आवश्यकता है, तो मैं निम्नलिखित काफी सुलभ साहित्य की अनुशंसा करता हूं:

1) एक बात, जो कोई मज़ाक नहीं, कई पीढ़ियों से परिचित है: ज्यामिति पर स्कूल की पाठ्यपुस्तक, लेखक - एल.एस. अतानासियन एंड कंपनी. यह स्कूल लॉकर रूम हैंगर पहले से ही 20 (!) पुन: जारी कर चुका है, जो निश्चित रूप से सीमा नहीं है।

2) 2 खंडों में ज्यामिति. लेखक एल.एस. अतानासियन, बाज़िलेव वी.टी.. यह उच्च शिक्षा के लिए साहित्य है, आपको इसकी आवश्यकता होगी पहला खंड. बार-बार होने वाले कार्य मेरी दृष्टि के क्षेत्र से बाहर हो सकते हैं, और ट्यूटोरियल अमूल्य मदद का होगा।

दोनों पुस्तकें ऑनलाइन डाउनलोड करने के लिए स्वतंत्र हैं। इसके अलावा, आप मेरे संग्रह का उपयोग तैयार समाधानों के साथ कर सकते हैं, जो पृष्ठ पर पाया जा सकता है उच्च गणित के उदाहरण डाउनलोड करें.

उपकरणों में से, मैं फिर से अपना विकास प्रस्तुत करता हूं - सॉफ़्टवेयर पैकेजविश्लेषणात्मक ज्यामिति पर, जो जीवन को बहुत सरल करेगा और बहुत समय बचाएगा।

यह माना जाता है कि पाठक बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं और आंकड़ों से परिचित है: बिंदु, रेखा, विमान, त्रिकोण, समांतर चतुर्भुज, समानांतर चतुर्भुज, घन, आदि। कुछ प्रमेयों को याद रखना उचित है, कम से कम पाइथागोरस प्रमेय, हैलो रिपीटर्स)

और अब हम क्रमिक रूप से विचार करेंगे: एक वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक। इसके अलावा मैं पढ़ने की सलाह देता हूं सबसे महत्वपूर्ण लेख वैक्टर का डॉट उत्पाद, साथ ही वेक्टर और वैक्टर के मिश्रित उत्पाद. स्थानीय कार्य अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा - इस संबंध में खंड का विभाजन। उपरोक्त जानकारी के आधार पर, आप कर सकते हैं समतल में एक सीधी रेखा का समीकरणसाथ समाधान के सबसे सरल उदाहरण, जो अनुमति देगा ज्यामिति में समस्याओं को हल करना सीखें. निम्नलिखित लेख भी सहायक हैं: अंतरिक्ष में एक विमान का समीकरण, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण, लाइन और प्लेन पर बुनियादी समस्याएं, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य खंड। स्वाभाविक रूप से, रास्ते में मानक कार्यों पर विचार किया जाएगा।

वेक्टर की अवधारणा। मुक्त वेक्टर

सबसे पहले, आइए एक वेक्टर की स्कूल परिभाषा को दोहराएं। वेक्टरबुलाया निर्देशितएक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत का संकेत दिया गया है:

इस मामले में, खंड की शुरुआत बिंदु है, खंड का अंत बिंदु है। वेक्टर स्वयं द्वारा निरूपित किया जाता है। दिशाआवश्यक है, यदि आप खंड के दूसरे छोर पर तीर को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो आपको एक वेक्टर मिलता है, और यह पहले से ही है पूरी तरह से अलग वेक्टर. भौतिक शरीर की गति के साथ वेक्टर की अवधारणा की पहचान करना सुविधाजनक है: आपको यह स्वीकार करना होगा कि किसी संस्थान के दरवाजे में प्रवेश करना या संस्थान के दरवाजे छोड़ना पूरी तरह से अलग चीजें हैं।

एक विमान, अंतरिक्ष के अलग-अलग बिंदुओं को तथाकथित . के रूप में मानना ​​सुविधाजनक है शून्य वेक्टर. ऐसे वेक्टर का एक ही अंत और शुरुआत होती है।

!!! टिप्पणी: यहां और नीचे, आप मान सकते हैं कि वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं या आप मान सकते हैं कि वे अंतरिक्ष में स्थित हैं - प्रस्तुत सामग्री का सार विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए मान्य है।

पदनाम:बहुतों ने तुरंत पदनाम में एक तीर के बिना एक छड़ी की ओर ध्यान आकर्षित किया और कहा कि वे भी शीर्ष पर एक तीर लगाते हैं! यह सही है, आप एक तीर से लिख सकते हैं: , लेकिन स्वीकार्य और रिकॉर्ड जो मैं बाद में उपयोग करूंगा. क्यों? जाहिर है, इस तरह की आदत व्यावहारिक विचारों से विकसित हुई है, स्कूल और विश्वविद्यालय में मेरे निशानेबाज बहुत विविध और झबरा निकले। शैक्षिक साहित्य में, कभी-कभी वे क्यूनिफॉर्म से बिल्कुल भी परेशान नहीं होते हैं, लेकिन अक्षरों को बोल्ड: हाइलाइट करते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि यह एक वेक्टर है।

वह शैली थी, और अब वैक्टर लिखने के तरीकों के बारे में:

1) सदिशों को दो बड़े लैटिन अक्षरों में लिखा जा सकता है:
और इसी तरह। जबकि पहला अक्षर आवश्यक रूप सेवेक्टर के प्रारंभ बिंदु को दर्शाता है, और दूसरा अक्षर वेक्टर के अंतिम बिंदु को दर्शाता है।

2) सदिश छोटे लैटिन अक्षरों में भी लिखे जाते हैं:
विशेष रूप से, हमारे वेक्टर को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा संक्षिप्तता के लिए पुन: डिज़ाइन किया जा सकता है।

लंबाईया मापांकशून्येतर सदिश खंड की लंबाई कहलाती है। शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य है। तर्क में।

एक सदिश की लंबाई को मापांक चिह्न द्वारा निरूपित किया जाता है: ,

वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें, हम थोड़ी देर बाद सीखेंगे (या किसी के लिए दोहराएं)।

यह सभी स्कूली बच्चों से परिचित वेक्टर के बारे में प्राथमिक जानकारी थी। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, तथाकथित मुक्त वेक्टर.

अगर यह काफी सरल है - वेक्टर को किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है:

हम ऐसे सदिशों को समान कहते थे (समान सदिशों की परिभाषा नीचे दी जाएगी), लेकिन विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, यह वही सदिश है या मुक्त वेक्टर. मुक्त क्यों? क्योंकि समस्याओं को हल करने के दौरान आप एक या दूसरे "स्कूल" वेक्टर को उस विमान या स्थान के किसी भी बिंदु पर "संलग्न" कर सकते हैं जिसकी आपको आवश्यकता है। यह बहुत बढ़िया संपत्ति है! मनमाना लंबाई और दिशा के एक निर्देशित खंड की कल्पना करें - इसे अनंत बार "क्लोन" किया जा सकता है और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर, वास्तव में, यह हर जगह मौजूद है। ऐसी एक छात्र की कहावत है: प्रत्येक व्याख्याता f ** u वेक्टर में। आखिरकार, यह सिर्फ एक मजाकिया कविता नहीं है, सब कुछ लगभग सही है - एक निर्देशित खंड भी वहां संलग्न किया जा सकता है। लेकिन आनन्दित होने में जल्दबाजी न करें, छात्र स्वयं अधिक बार पीड़ित होते हैं =)

इसलिए, मुक्त वेक्टर- ये है बहुत सारे समान दिशात्मक खंड। एक वेक्टर की स्कूल परिभाषा, पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई है: "एक निर्देशित खंड को एक वेक्टर कहा जाता है ...", का अर्थ है विशिष्टकिसी दिए गए सेट से लिया गया एक निर्देशित खंड, जो विमान या अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से जुड़ा होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भौतिकी के दृष्टिकोण से, एक मुक्त वेक्टर की अवधारणा आम तौर पर गलत है, और आवेदन का बिंदु मायने रखता है। वास्तव में, नाक पर या माथे पर एक ही बल का सीधा प्रहार मेरे मूर्ख उदाहरण को विकसित करने के लिए पर्याप्त है, जिसके विभिन्न परिणाम होते हैं। हालांकि, खाली नहींविषमत के दौरान वैक्टर भी मिलते हैं (वहां मत जाओ :))।

वैक्टर के साथ क्रिया। वैक्टर की संरेखता

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, वैक्टर के साथ कई क्रियाओं और नियमों पर विचार किया जाता है: त्रिभुज नियम के अनुसार योग, समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार योग, सदिशों के अंतर का नियम, किसी संख्या से सदिश का गुणन, सदिशों का अदिश गुणन आदि।एक बीज के रूप में, हम दो नियमों को दोहराते हैं जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हैं।

त्रिभुजों के नियम के अनुसार सदिशों के योग का नियम

दो स्वेच्छ अशून्य सदिशों पर विचार कीजिए और :

इन सदिशों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। इस तथ्य के कारण कि सभी वैक्टर मुक्त माने जाते हैं, हम वेक्टर को स्थगित कर देते हैं समाप्तवेक्टर :

सदिशों का योग सदिश होता है। नियम की बेहतर समझ के लिए, इसमें भौतिक अर्थ डालने की सलाह दी जाती है: कुछ शरीर को वेक्टर के साथ और फिर वेक्टर के साथ पथ बनाने दें। फिर वैक्टर का योग प्रस्थान के बिंदु से शुरू होने वाले और आगमन के बिंदु पर समाप्त होने वाले परिणामी पथ का वेक्टर है। वैक्टर की किसी भी संख्या के योग के लिए एक समान नियम तैयार किया जाता है। जैसा कि वे कहते हैं, शरीर अपने तरीके से जोरदार ज़िगज़ैग, या शायद ऑटोपायलट पर जा सकता है - परिणामी योग वेक्टर के साथ।

वैसे, अगर वेक्टर को स्थगित कर दिया गया है प्रारंभवेक्टर , तो हम समतुल्य प्राप्त करते हैं समांतर चतुर्भुज नियमवैक्टर का जोड़।

सबसे पहले, वैक्टर की संपार्श्विकता के बारे में। दो वैक्टर को कहा जाता है समरेखयदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। मोटे तौर पर, हम समानांतर वैक्टर के बारे में बात कर रहे हैं। लेकिन उनके संबंध में, विशेषण "कोलाइनियर" हमेशा प्रयोग किया जाता है।

दो संरेखीय सदिशों की कल्पना कीजिए। यदि इन सदिशों के तीरों को एक ही दिशा में निर्देशित किया जाता है, तो ऐसे सदिश कहलाते हैं सह-दिशात्मक. यदि तीर अलग-अलग दिशाओं में देखते हैं, तो सदिश होंगे विपरीत दिशा में निर्देशित.

पदनाम:वैक्टर की समरूपता सामान्य समानता आइकन के साथ लिखी जाती है: , जबकि विवरण संभव है: (वैक्टर सह-निर्देशित होते हैं) या (वैक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं)।

कामएक संख्या से एक गैर-शून्य वेक्टर का एक वेक्टर होता है जिसकी लंबाई बराबर होती है, और वैक्टर और सह-निर्देशित होते हैं और विपरीत रूप से निर्देशित होते हैं।

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के नियम को चित्र द्वारा समझना आसान है:

हम और अधिक विस्तार से समझते हैं:

1 दिशा। यदि गुणक ऋणात्मक है, तो सदिश दिशा बदलता हैविपरीत करने के लिए।

2) लंबाई। यदि गुणनखंड या के भीतर समाहित है, तो सदिश की लंबाई कम हो जाती है. तो, वेक्टर की लंबाई वेक्टर की लंबाई से दोगुनी कम है। यदि मॉड्यूलो गुणक एक से अधिक है, तो वेक्टर की लंबाई बढ़ती हैसमय के भीतर।

3) कृपया ध्यान दें कि सभी सदिश संरेख हैं, जबकि एक वेक्टर दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, . विपरीत भी सही है: यदि एक सदिश को दूसरे के पदों में व्यक्त किया जा सकता है, तो ऐसे सदिश अनिवार्य रूप से संरेखीय होते हैं। इस तरह: यदि हम किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें संरेख प्राप्त होता है(मूल के सापेक्ष) वेक्टर.

4) सदिश कूटदिशायी होते हैं। सदिश और सह-दिशा भी हैं। पहले समूह का कोई भी वेक्टर दूसरे समूह के किसी भी वेक्टर के विपरीत होता है।

क्या वैक्टर बराबर हैं?

दो सदिश समान हैं यदि वे कूटदिशा में हैं और उनकी लंबाई समान है. ध्यान दें कि सह-दिशा का अर्थ है कि वेक्टर संरेख हैं। परिभाषा गलत (अनावश्यक) होगी यदि आप कहते हैं: "दो वैक्टर समान हैं यदि वे समरेखीय हैं, सह-निर्देशित हैं और उनकी लंबाई समान है।"

मुक्त सदिश की अवधारणा के दृष्टिकोण से, समान सदिश वही सदिश हैं, जिसकी चर्चा पिछले पैराग्राफ में की जा चुकी है।

वेक्टर विमान पर और अंतरिक्ष में निर्देशांक करता है

पहला बिंदु एक विमान पर वैक्टर पर विचार करना है। एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली बनाएं और मूल बिंदु से अलग रखें एकवैक्टर और:

वेक्टर और ओर्थोगोनल. ओर्थोगोनल = लंबवत। मैं धीरे-धीरे शर्तों के अभ्यस्त होने की सलाह देता हूं: समानांतरवाद और लंबवतता के बजाय, हम क्रमशः शब्दों का उपयोग करते हैं समरैखिकतातथा ओर्थोगोनालिटी.

पद:सदिशों की ओर्थोगोनैलिटी को सामान्य लम्बवत चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए: .

माना वैक्टर कहा जाता है निर्देशांक वैक्टरया orts. ये वैक्टर बनते हैं आधारसतह पर। आधार क्या है, मुझे लगता है, कई लोगों के लिए सहज रूप से स्पष्ट है, लेख में अधिक विस्तृत जानकारी मिल सकती है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधारसरल शब्दों में, निर्देशांक का आधार और उत्पत्ति संपूर्ण प्रणाली को परिभाषित करती है - यह एक प्रकार की नींव है जिस पर एक पूर्ण और समृद्ध ज्यामितीय जीवन उबलता है।

कभी-कभी निर्मित आधार कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मलविमान का आधार: "ऑर्थो" - क्योंकि निर्देशांक वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं, विशेषण "सामान्यीकृत" का अर्थ है इकाई, अर्थात। आधार वैक्टर की लंबाई एक के बराबर होती है।

पद:आधार आमतौर पर कोष्ठक में लिखा जाता है, जिसके अंदर सख्त क्रम मेंआधार वैक्टर सूचीबद्ध हैं, उदाहरण के लिए: . निर्देशांक वैक्टर यह निषिद्ध हैस्थानों की अदला-बदली करें।

कोईविमान वेक्टर एक ही रास्ताइसके रूप में बताया गया:
, कहाँ पे - नंबर, जिन्हें कहा जाता है वेक्टर निर्देशांकइस आधार में। लेकिन अभिव्यक्ति ही बुलाया वेक्टर अपघटनआधार .

रात का खाना परोसा गया:

आइए वर्णमाला के पहले अक्षर से शुरू करते हैं:। चित्र स्पष्ट रूप से दिखाता है कि आधार के संदर्भ में वेक्टर को विघटित करते समय, जिन पर विचार किया जाता है, उनका उपयोग किया जाता है:
1) किसी संख्या से सदिश के गुणन का नियम: तथा ;
2) त्रिभुज नियम के अनुसार सदिशों का योग: .

अब मानसिक रूप से वेक्टर को विमान के किसी अन्य बिंदु से अलग रखें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उनका भ्रष्टाचार "निरंतर उनका पीछा करेगा।" यहाँ यह है, वेक्टर की स्वतंत्रता - वेक्टर "सब कुछ अपने साथ ले जाता है।" यह गुण, निश्चित रूप से, किसी भी वेक्टर के लिए सही है। यह मज़ेदार है कि आधार (मुक्त) वैक्टर को खुद को मूल से अलग करने की ज़रूरत नहीं है, एक को खींचा जा सकता है, उदाहरण के लिए, नीचे बाईं ओर, और दूसरा ऊपर दाईं ओर, और इससे कुछ भी नहीं बदलेगा! सच है, आपको ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि शिक्षक भी मौलिकता दिखाएगा और आपको अप्रत्याशित स्थान पर "पास" देगा।

वेक्टर, एक संख्या से एक वेक्टर को गुणा करने के लिए बिल्कुल नियम का वर्णन करते हैं, वेक्टर को आधार वेक्टर के साथ सह-निर्देशित किया जाता है, वेक्टर को आधार वेक्टर के विपरीत निर्देशित किया जाता है। इन सदिशों के लिए, निर्देशांकों में से एक शून्य के बराबर है, इसे सावधानीपूर्वक इस प्रकार लिखा जा सकता है:


और आधार वैक्टर, वैसे, इस तरह हैं: (वास्तव में, वे स्वयं के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं)।

और अंत में: , । वैसे, वेक्टर घटाव क्या है, और मैंने आपको घटाव नियम के बारे में क्यों नहीं बताया? कहीं रैखिक बीजगणित में, मुझे याद नहीं है कि कहाँ, मैंने देखा कि घटाव जोड़ का एक विशेष मामला है। तो, वैक्टर "डी" और "ई" के विस्तार को शांति से योग के रूप में लिखा जाता है: . इन स्थितियों में त्रिभुज नियम के अनुसार सदिशों का अच्छा पुराना जोड़ कितनी अच्छी तरह काम करता है, यह देखने के लिए चित्र का अनुसरण करें।

फॉर्म का अपघटन माना जाता है कभी-कभी एक वेक्टर अपघटन कहा जाता है प्रणाली में ort(यानी यूनिट वैक्टर की प्रणाली में)। लेकिन वेक्टर लिखने का यह एकमात्र तरीका नहीं है, निम्न विकल्प सामान्य है:

या बराबर चिह्न के साथ:

आधार सदिश स्वयं इस प्रकार लिखे गए हैं: तथा

अर्थात्, सदिश के निर्देशांक कोष्ठकों में दर्शाए गए हैं। व्यावहारिक कार्यों में, तीनों रिकॉर्डिंग विकल्पों का उपयोग किया जाता है।

मुझे संदेह था कि क्या बोलना है, लेकिन फिर भी मैं कहूंगा: सदिश निर्देशांकों को पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जा सकता. सख्ती से पहले स्थान परयूनिट वेक्टर से मेल खाने वाले निर्देशांक को लिखें, सख्ती से दूसरे स्थान परउस निर्देशांक को लिखिए जो इकाई सदिश के संगत है। दरअसल, और दो अलग-अलग वैक्टर हैं।

हमने विमान पर निर्देशांक का पता लगाया। अब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर पर विचार करें, यहाँ सब कुछ लगभग समान है! केवल एक और समन्वय जोड़ा जाएगा। त्रि-आयामी चित्र बनाना मुश्किल है, इसलिए मैं खुद को एक वेक्टर तक सीमित रखूंगा, जिसे सादगी के लिए मैं मूल से स्थगित कर दूंगा:

कोई 3 डी अंतरिक्ष वेक्टर एक ही रास्ताएक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर विस्तार करें:
, दिए गए आधार में सदिश (संख्या) के निर्देशांक कहां हैं।

चित्र से उदाहरण: . आइए देखें कि सदिश क्रिया नियम यहां कैसे कार्य करते हैं। सबसे पहले, एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना: (लाल तीर), (हरा तीर) और (मैजेंटा तीर)। दूसरे, यहाँ कई जोड़ने का एक उदाहरण है, इस मामले में तीन, वैक्टर: . योग वेक्टर प्रस्थान के शुरुआती बिंदु (वेक्टर की शुरुआत) से शुरू होता है और आगमन के अंतिम बिंदु (वेक्टर के अंत) पर समाप्त होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी वैक्टर, निश्चित रूप से, स्वतंत्र हैं, वेक्टर को किसी अन्य बिंदु से मानसिक रूप से स्थगित करने का प्रयास करें, और आप समझेंगे कि इसका विस्तार "इसके साथ रहता है।"

इसी तरह विमान के मामले में, लेखन के अलावा कोष्ठक वाले संस्करण व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: या तो .

यदि विस्तार में एक (या दो) निर्देशांक सदिश गायब हैं, तो इसके बजाय शून्य डाल दिए जाते हैं। उदाहरण:
वेक्टर (सावधानी से ) - लिखो ;
वेक्टर (सावधानीपूर्वक) - लिखो;
वेक्टर (सावधानी से ) - लिखो ।

आधार सदिशों को इस प्रकार लिखा जाता है:

यहाँ, शायद, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सभी न्यूनतम सैद्धांतिक ज्ञान है। शायद बहुत सारे नियम और परिभाषाएँ हैं, इसलिए मैं डमी को इस जानकारी को फिर से पढ़ने और समझने की सलाह देता हूँ। और किसी भी पाठक के लिए यह उपयोगी होगा कि वह सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए समय-समय पर मूल पाठ को देखें। कोलीनियरिटी, ऑर्थोगोनैलिटी, ऑर्थोनॉर्मल बेसिस, वेक्टर डीकंपोजिशन - इन और अन्य कॉन्सेप्ट्स का इस्तेमाल अक्सर निम्नलिखित में किया जाएगा। मैं ध्यान देता हूं कि साइट की सामग्री एक सैद्धांतिक परीक्षण, ज्यामिति पर एक बोलचाल को पारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि मैं सभी प्रमेयों (बिना प्रमाण के) को सावधानीपूर्वक एन्क्रिप्ट करता हूं - प्रस्तुति की वैज्ञानिक शैली की हानि के लिए, लेकिन आपकी समझ के लिए एक प्लस विषय का। विस्तृत सैद्धांतिक जानकारी के लिए, मैं आपसे प्रोफेसर अतानास्यान को नमन करने के लिए कहता हूं।

अब व्यावहारिक भाग पर चलते हैं:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में वैक्टर के साथ क्रिया

जिन कार्यों पर विचार किया जाएगा, यह सीखना अत्यधिक वांछनीय है कि उन्हें पूरी तरह से स्वचालित रूप से कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, इसे जानबूझ कर याद भी न रखें, वे इसे स्वयं याद रखेंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्राथमिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय बिताना कष्टप्रद होगा। आपको अपनी शर्ट के ऊपर के बटनों को बन्धन करने की आवश्यकता नहीं है, बहुत सी बातें आपको स्कूल से परिचित हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम का पालन करेगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। जिस वजह से सारे फॉर्मूले... आप खुद देख लीजिए.

दो अंक दिए गए वेक्टर को कैसे खोजें?

यदि समतल के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो सदिश के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं, तो वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

वह है, वेक्टर के अंत के निर्देशांक सेआपको संबंधित निर्देशांक घटाना होगा वेक्टर प्रारंभ.

व्यायाम:उन्हीं बिंदुओं के लिए, सदिश के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए सूत्र लिखिए। पाठ के अंत में सूत्र।

उदाहरण 1

विमान में दो बिंदु दिए गए हैं और . वेक्टर निर्देशांक खोजें

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

वैकल्पिक रूप से, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जा सकता है:

सौंदर्यशास्त्र इस तरह तय करेंगे:

व्यक्तिगत रूप से, मैं रिकॉर्ड के पहले संस्करण के लिए अभ्यस्त हूं।

उत्तर:

शर्त के अनुसार, एक चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं थी (जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के लिए विशिष्ट है), लेकिन कुछ बिंदुओं को डमी को समझाने के लिए, मैं बहुत आलसी नहीं होऊंगा:

समझना चाहिए बिंदु निर्देशांक और वेक्टर निर्देशांक के बीच अंतर:

बिंदु निर्देशांकएक आयताकार समन्वय प्रणाली में सामान्य निर्देशांक हैं। मुझे लगता है कि ग्रेड 5-6 के बाद से हर कोई जानता है कि समन्वय विमान पर बिंदुओं को कैसे प्लॉट करना है। प्रत्येक बिंदु का विमान पर एक सख्त स्थान होता है, और उन्हें कहीं भी नहीं ले जाया जा सकता है।

एक ही वेक्टर के निर्देशांकइस मामले में आधार के संबंध में इसका विस्तार है। कोई भी सदिश स्वतंत्र है, इसलिए यदि वांछित या आवश्यक हो, तो हम इसे विमान में किसी अन्य बिंदु से आसानी से स्थगित कर सकते हैं। दिलचस्प बात यह है कि वैक्टर के लिए, आप कुल्हाड़ियों का निर्माण बिल्कुल नहीं कर सकते, एक आयताकार समन्वय प्रणाली, आपको केवल एक आधार की आवश्यकता होती है, इस मामले में, विमान का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार।

बिंदु निर्देशांक और वेक्टर निर्देशांक के रिकॉर्ड समान प्रतीत होते हैं: , तथा निर्देशांक की भावनाबिल्कुल विभिन्न, और आपको इस अंतर के बारे में अच्छी तरह से पता होना चाहिए। बेशक, यह अंतर अंतरिक्ष के लिए भी सही है।

देवियो और सज्जनो, हम हाथ भरते हैं:

उदाहरण 2

ए) दिए गए अंक और। वैक्टर खोजें और .
बी) अंक दिए गए हैं तथा । वैक्टर खोजें और .
ग) दिए गए अंक और . वैक्टर खोजें और .
d) अंक दिए गए हैं। वेक्टर खोजें .

शायद काफी। ये एक स्वतंत्र निर्णय के लिए उदाहरण हैं, उनकी उपेक्षा न करने का प्रयास करें, यह भुगतान करेगा ;-)। चित्र की आवश्यकता नहीं है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने में क्या महत्वपूर्ण है?उत्कृष्ट "दो प्लस दो बराबर शून्य" त्रुटि से बचने के लिए अत्यधिक सावधान रहना महत्वपूर्ण है। अगर मुझसे कोई गलती हुई हो तो मैं पहले से माफी मांगता हूं =)

किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

लंबाई, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मापांक चिह्न द्वारा इंगित किया गया है।

यदि समतल के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

टिप्पणी: यदि संबंधित निर्देशांकों की अदला-बदली की जाती है तो सूत्र सही रहेंगे: और, लेकिन पहला विकल्प अधिक मानक है

उदाहरण 3

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

स्पष्टता के लिए, मैं एक चित्र बनाऊंगा

रेखा खंड - यह एक वेक्टर नहीं है, और आप इसे कहीं भी स्थानांतरित नहीं कर सकते, बिल्कुल। इसके अलावा, यदि आप ड्राइंग को स्केल करने के लिए पूरा करते हैं: 1 इकाई। \u003d 1 सेमी (दो टेट्राड कोशिकाएं), फिर खंड की लंबाई को सीधे मापकर एक नियमित शासक के साथ उत्तर की जांच की जा सकती है।

हां, समाधान छोटा है, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण बिंदु हैं जिन्हें मैं स्पष्ट करना चाहूंगा:

सबसे पहले, उत्तर में हम आयाम निर्धारित करते हैं: "इकाइयाँ"। स्थिति यह नहीं बताती कि यह क्या है, मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर या किलोमीटर। इसलिए, सामान्य सूत्रीकरण गणितीय रूप से सक्षम समाधान होगा: "इकाइयाँ" - "इकाइयाँ" के रूप में संक्षिप्त।

दूसरे, आइए स्कूल सामग्री को दोहराएं, जो न केवल विचार की गई समस्या के लिए उपयोगी है:

पर ध्यान दें महत्वपूर्ण तकनीकी ट्रिक – गुणक को जड़ के नीचे से निकालना. गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें परिणाम मिला और अच्छी गणितीय शैली में कारक को जड़ के नीचे से निकालना शामिल है (यदि संभव हो तो)। प्रक्रिया इस तरह अधिक विस्तार से दिखती है: . बेशक, उत्तर को फॉर्म में छोड़ना कोई गलती नहीं होगी - लेकिन यह निश्चित रूप से एक दोष है और शिक्षक की ओर से नाइटपिकिंग के लिए एक वजनदार तर्क है।

यहाँ अन्य सामान्य मामले हैं:

उदाहरण के लिए, अक्सर रूट के तहत पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या प्राप्त की जाती है। ऐसे मामलों में कैसे रहें? कैलकुलेटर पर, हम जांचते हैं कि संख्या 4 से विभाज्य है या नहीं। हाँ, पूरी तरह से विभाजित, इस प्रकार: . या हो सकता है कि संख्या को फिर से 4 से विभाजित किया जा सकता है? . इस तरह: . संख्या का अंतिम अंक विषम है, इसलिए तीसरी बार 4 से विभाजित करना स्पष्ट रूप से संभव नहीं है। नौ से विभाजित करने का प्रयास: . नतीजतन:
तैयार।

निष्कर्ष:यदि रूट के नीचे हमें एक पूर्ण संख्या मिलती है जिसे निकाला नहीं जा सकता है, तो हम कारक को रूट के नीचे से निकालने का प्रयास करते हैं - कैलकुलेटर पर हम जांचते हैं कि संख्या विभाज्य है या नहीं: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , आदि।

विभिन्न समस्याओं को हल करने के क्रम में, जड़ें अक्सर मिल जाती हैं, शिक्षक की टिप्पणी के अनुसार अपने समाधान को अंतिम रूप देने के साथ कम अंक और अनावश्यक परेशानियों से बचने के लिए हमेशा जड़ के नीचे से कारकों को निकालने का प्रयास करें।

आइए एक ही समय में जड़ों और अन्य शक्तियों के वर्ग को दोहराएं:

सामान्य रूप में डिग्री के साथ क्रियाओं के नियम बीजगणित पर एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि दिए गए उदाहरणों से सब कुछ या लगभग सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है।

अंतरिक्ष में एक खंड के साथ एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 4

दिए गए अंक और . खंड की लंबाई पाएं।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

यदि एक समतल सदिश दिया जाता है, तो इसकी लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि एक अंतरिक्ष सदिश दिया जाता है, तो इसकी लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है .

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

वेक्टर अवधारणा

इससे पहले कि आप वैक्टर और उन पर संचालन के बारे में जानें, एक साधारण समस्या को हल करने के लिए ट्यून करें। आपके उद्यम का एक वेक्टर है और आपकी नवीन क्षमताओं का एक वेक्टर है। उद्यमिता का वेक्टर आपको लक्ष्य 1 की ओर ले जाता है, और नवीन क्षमताओं के वेक्टर - लक्ष्य 2 तक। खेल के नियम ऐसे हैं कि आप एक ही बार में इन दो वैक्टरों की दिशा में आगे नहीं बढ़ सकते हैं और एक ही बार में दो लक्ष्य प्राप्त कर सकते हैं। वेक्टर इंटरैक्ट करते हैं, या, गणितीय रूप से बोलते हुए, वैक्टर पर कुछ ऑपरेशन किया जाता है। इस ऑपरेशन का परिणाम "परिणाम" वेक्टर है, जो आपको लक्ष्य 3 तक ले जाता है।

अब मुझे बताओ: वैक्टर "एंटरप्राइज" और "इनोवेटिव क्षमताओं" पर किस ऑपरेशन का परिणाम वेक्टर "परिणाम" है? यदि आप तुरंत नहीं कह सकते हैं, तो निराश न हों। जब आप इस पाठ का अध्ययन करेंगे तो आप इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम होंगे।

जैसा कि हमने ऊपर देखा, सदिश अनिवार्य रूप से किसी बिंदु से आता है एकिसी बिंदु पर एक सीधी रेखा में बी. नतीजतन, प्रत्येक वेक्टर का न केवल एक संख्यात्मक मान - लंबाई है, बल्कि एक भौतिक और ज्यामितीय - दिशा भी है। इससे सदिश की पहली, सरलतम परिभाषा प्राप्त होती है। तो, एक सदिश एक बिंदु से जाने वाला एक निर्देशित खंड है एमुद्दे पर बी. इसे इस तरह चिह्नित किया गया है:

और अलग शुरू करने के लिए वेक्टर संचालन , हमें वेक्टर की एक और परिभाषा से परिचित होने की आवश्यकता है।

एक वेक्टर एक बिंदु का एक प्रकार का प्रतिनिधित्व है जिस पर किसी प्रारंभिक बिंदु से पहुंचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक त्रि-आयामी वेक्टर को आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है (एक्स, वाई, जेड) . सीधे शब्दों में कहें, तो ये संख्याएं दर्शाती हैं कि बिंदु तक पहुंचने के लिए आपको तीन अलग-अलग दिशाओं में कितनी दूर जाना है।

एक वेक्टर दिया जाए। जिसमें एक्स = 3 (दाहिना हाथ दाईं ओर इशारा करता है) आप = 1 (बाएं हाथ आगे की ओर इशारा करता है) जेड = 5 (बिंदु के नीचे एक सीढ़ी ऊपर की ओर जाती है)। इस डेटा से, आप दाहिने हाथ द्वारा इंगित दिशा में 3 मीटर चलकर बिंदु पाएंगे, फिर बाएं हाथ द्वारा इंगित दिशा में 1 मीटर, और फिर एक सीढ़ी आपका इंतजार कर रही है और 5 मीटर चढ़ते हुए, आप अंत में पाएंगे अपने आप को अंतिम बिंदु पर।

अन्य सभी शर्तें ऊपर प्रस्तुत स्पष्टीकरण के परिशोधन हैं, जो वैक्टर पर विभिन्न कार्यों के लिए आवश्यक हैं, अर्थात व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए। आइए इन अधिक कठोर परिभाषाओं को देखें, जो विशिष्ट वेक्टर समस्याओं पर आधारित हैं।

भौतिक उदाहरणसदिश राशियां अंतरिक्ष में गतिमान किसी भौतिक बिंदु का विस्थापन, इस बिंदु की गति और त्वरण, साथ ही उस पर कार्य करने वाला बल भी हो सकती हैं।

ज्यामितीय वेक्टरद्वि-आयामी और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रूप में दर्शाया गया है निर्देशित खंड. यह एक ऐसा खंड है जिसकी शुरुआत और अंत है।

यदि एक एवेक्टर की शुरुआत है, और बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक या एकल लोअरकेस अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। आकृति में, सदिश का अंत एक तीर द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 1)

लंबाई(या मापांक) एक ज्यामितीय वेक्टर की लंबाई उस खंड की लंबाई है जो इसे उत्पन्न करता है

दो वैक्टर को कहा जाता है बराबर , यदि उन्हें समानांतर अनुवाद द्वारा जोड़ा जा सकता है (जब दिशाएं मिलती हैं), यानी। यदि वे समानांतर हैं, तो एक ही दिशा में इंगित करें और उनकी लंबाई समान है।

भौतिकी में, इसे अक्सर माना जाता है पिन किए गए वैक्टर, आवेदन बिंदु, लंबाई और दिशा द्वारा दिया गया। यदि सदिश के अनुप्रयोग का बिंदु कोई मायने नहीं रखता है, तो इसे अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर लंबाई और दिशा रखते हुए स्थानांतरित किया जा सकता है। इस मामले में, वेक्टर कहा जाता है नि: शुल्क. हम केवल विचार करने के लिए सहमत हैं मुक्त वैक्टर.

ज्यामितीय वैक्टर पर रैखिक संचालन

एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें

वेक्टर उत्पाद प्रति संख्याएक वेक्टर को एक वेक्टर कहा जाता है जो एक वेक्टर से खींचकर (एट) या सिकुड़ते (पर) बार प्राप्त किया जाता है, और वेक्टर की दिशा संरक्षित होती है, और अगर उलट जाती है। (रेखा चित्र नम्बर 2)

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि सदिश और = हमेशा एक या समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। ऐसे वैक्टर कहलाते हैं समरेख. (आप यह भी कह सकते हैं कि ये वैक्टर समानांतर हैं, लेकिन वेक्टर बीजगणित में इसे "कोलाइनियर" कहने की प्रथा है।) विलोम भी सत्य है: यदि वैक्टर और संरेख हैं, तो वे संबंध से संबंधित हैं

इसलिए, समानता (1) दो सदिशों की संरेखता की स्थिति को व्यक्त करती है।

वेक्टर जोड़ और घटाव

वैक्टर जोड़ते समय, आपको यह जानना होगा कि जोड़वैक्टर और एक वेक्टर कहा जाता है, जिसकी शुरुआत वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंत - वेक्टर के अंत के साथ, बशर्ते कि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हो। (चित्र 3)

यह परिभाषा किसी भी सीमित संख्या में वैक्टर पर वितरित की जा सकती है। लेट इन स्पेस दी गई एनमुक्त वैक्टर। कई वैक्टर जोड़ते समय, उनका योग समापन वेक्टर के रूप में लिया जाता है, जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ होती है, और अंत अंतिम वेक्टर के अंत के साथ होता है। यही है, अगर हम वेक्टर की शुरुआत को वेक्टर के अंत से जोड़ते हैं, और वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत तक करते हैं, आदि। और, अंत में, वेक्टर के अंत तक - वेक्टर की शुरुआत, फिर इन वैक्टरों का योग समापन वेक्टर है , जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और जिसका अंत अंतिम वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है। (चित्र 4)

शब्दों को सदिश के घटक कहा जाता है, और सूत्रबद्ध नियम है बहुभुज नियम. यह बहुभुज समतल नहीं हो सकता है।

जब एक सदिश को संख्या -1 से गुणा किया जाता है, तो विपरीत सदिश प्राप्त होता है। वैक्टर और समान लंबाई और विपरीत दिशाएं हैं। उनका योग देता है शून्य वेक्टर, जिसकी लंबाई शून्य है। शून्य वेक्टर की दिशा परिभाषित नहीं है।

सदिश बीजगणित में, घटाव के संचालन पर अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है: एक सदिश से एक सदिश को घटाने का अर्थ है सदिश में विपरीत सदिश जोड़ना, अर्थात्।

उदाहरण 1अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

.

,

अर्थात्, सदिशों को उसी तरह संख्याओं से जोड़ा और गुणा किया जा सकता है जैसे बहुपद (विशेषकर, व्यंजकों को सरल बनाने में भी समस्याएँ)। आमतौर पर, वैक्टर के उत्पादों की गणना करने से पहले वैक्टर के साथ रैखिक रूप से समान अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 2सदिश और समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्णों के रूप में कार्य करते हैं (चित्र 4a)। के पदों में व्यक्त करें तथा सदिश , , तथा , जो इस समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समाधान। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण को समद्विभाजित करता है। समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर की लंबाई या तो वैक्टर के आधे योग के रूप में पाई जाती है जो वांछित लोगों के साथ एक त्रिकोण बनाते हैं, या आधे अंतर के रूप में (एक विकर्ण के रूप में सेवारत वेक्टर की दिशा के आधार पर), या, जैसा कि बाद के मामले में है, आधी राशि ऋण चिह्न के साथ ली गई है। परिणाम समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर हैं:

यह मानने का हर कारण है कि अब आपने इस पाठ की शुरुआत में "एंटरप्राइज़" और "इनोवेटिव एबिलिटीज़" वैक्टर के बारे में प्रश्न का सही उत्तर दिया है। सही उत्तर: ये वैक्टर एक अतिरिक्त ऑपरेशन के अधीन हैं।

वैक्टर पर समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

वैक्टर के योग की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

यह समस्या वैक्टर के साथ संचालन में एक विशेष स्थान रखती है, क्योंकि इसमें त्रिकोणमितीय गुणों का उपयोग शामिल है। मान लें कि आपके पास निम्न जैसा कार्य है:

वैक्टर की लंबाई को देखते हुए और इन वैक्टरों के योग की लंबाई। इन सदिशों के अंतर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

इस और इसी तरह की अन्य समस्याओं के समाधान और उन्हें हल करने के तरीके के बारे में स्पष्टीकरण - पाठ में " वेक्टर जोड़: वैक्टर और कोसाइन प्रमेय के योग की लंबाई ".

और आप इस तरह की समस्याओं के समाधान की जांच कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर "एक त्रिभुज की अज्ञात भुजा (सदिश जोड़ और कोज्या प्रमेय)" .

वैक्टर के उत्पाद कहां हैं?

एक वेक्टर द्वारा एक वेक्टर के उत्पाद रैखिक संचालन नहीं होते हैं और उन्हें अलग से माना जाता है। और हमारे पास "वेक्टर के डॉट उत्पाद" और "वेक्टर के वेक्टर और मिश्रित उत्पाद" पाठ हैं।

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण प्रक्षेपित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर होता है:

जैसा कि ज्ञात है, एक बिंदु का प्रक्षेपण एरेखा (तल) पर इस बिंदु से रेखा (तल) पर गिराए गए लंब का आधार है।

चलो - एक मनमाना वेक्टर (चित्र 5), और - इसकी शुरुआत के अनुमान (अंक ए) और अंत (डॉट्स .) बी) प्रति धुरा मैं. (एक बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए ए) बिंदु के माध्यम से सीधे ड्रा करें एरेखा के लंबवत समतल। एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन आवश्यक प्रक्षेपण का निर्धारण करेगा।

वेक्टर का घटक एल अक्ष परइस अक्ष पर पड़ा हुआ ऐसा वेक्टर कहा जाता है, जिसकी शुरुआत शुरुआत के प्रक्षेपण के साथ मेल खाती है, और अंत - वेक्टर के अंत के प्रक्षेपण के साथ।

अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण मैंएक नंबर कहा जाता है

,

इस अक्ष पर घटक वेक्टर की लंबाई के बराबर, एक प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है मैं, और एक ऋण चिह्न के साथ यदि ये दिशाएं विपरीत हैं।

अक्ष पर वेक्टर अनुमानों के मुख्य गुण:

1. समान अक्ष पर समान सदिशों के प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके प्रक्षेपण को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

3. किसी भी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण, सदिशों के पदों के समान अक्ष पर प्रक्षेपों के योग के बराबर होता है।

4. एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण प्रक्षेपित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:

.

समाधान। आइए वैक्टर को अक्ष पर प्रोजेक्ट करें मैंजैसा कि ऊपर सैद्धांतिक संदर्भ में परिभाषित किया गया है। Fig.5a से यह स्पष्ट है कि वैक्टर के योग का प्रक्षेपण वैक्टर के अनुमानों के योग के बराबर है। हम इन अनुमानों की गणना करते हैं:

हम वैक्टर के योग का अंतिम प्रक्षेपण पाते हैं:

अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ एक वेक्टर का संबंध

साथ परिचित अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली इसी पाठ में हुई, अधिमानतः इसे एक नई विंडो में खोलें।

निर्देशांक अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली में 0xyzएक्सिस बैलबुलाया X- अक्ष, एक्सिस 0y – शाफ़्ट, और अक्ष 0z – अनुप्रयुक्त अक्ष.

मनमाना बिंदु के साथ एमअंतरिक्ष टाई वेक्टर

बुलाया त्रिज्या वेक्टरअंक एमऔर इसे प्रत्येक समन्वय अक्ष पर प्रोजेक्ट करें। आइए हम संबंधित अनुमानों के मूल्यों को निरूपित करें:

नंबर एक्स, वाई, जेडबुलाया बिंदु M . के निर्देशांक, क्रमश सूच्याकार आकृति का भुज, तालमेलतथा पिपली, और संख्याओं के एक क्रमबद्ध बिंदु के रूप में लिखे गए हैं: एम (एक्स; वाई; जेड)(चित्र 6)।

इकाई लंबाई का एक सदिश जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है, कहलाती है इकाई वेक्टर(या ओर्टोम) कुल्हाड़ियों। द्वारा निरूपित करें

तदनुसार, निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश बैल, ओए, आउंस

प्रमेय।किसी भी सदिश को निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिशों में विघटित किया जा सकता है:

(2)

समता (2) को निर्देशांक अक्षों के अनुदिश सदिश का प्रसार कहते हैं। इस विस्तार के गुणांक निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। इस प्रकार, निर्देशांक अक्षों के साथ वेक्टर के विस्तार गुणांक (2) वेक्टर के निर्देशांक हैं।

अंतरिक्ष में एक निश्चित समन्वय प्रणाली को चुनने के बाद, वेक्टर और उसके निर्देशांक के ट्रिपल एक दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं, इसलिए वेक्टर को फॉर्म में लिखा जा सकता है

(2) और (3) के रूप में सदिश निरूपण समान हैं।

निर्देशांक में संरेखीय सदिशों की स्थिति

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, सदिशों को संरेख कहा जाता है यदि वे संबंध से संबंधित हों

चलो वैक्टर . ये सदिश संरेख हैं यदि सदिशों के निर्देशांक संबंध द्वारा संबंधित हैं

,

अर्थात् सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं।

उदाहरण 6दिए गए वैक्टर . क्या ये सदिश संरेख हैं?

समाधान। आइए इन सदिशों के निर्देशांकों का अनुपात ज्ञात करें:

.

सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं, इसलिए सदिश संरेखी होते हैं, या, जो समान है, समांतर है।

सदिश लंबाई और दिशा कोज्या

निर्देशांक अक्षों की परस्पर लंबवतता के कारण, सदिश की लंबाई

सदिशों पर बने एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई के बराबर है

और समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है

(4)

एक वेक्टर पूरी तरह से दो बिंदुओं (शुरुआत और अंत) को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया गया है, इसलिए वेक्टर के निर्देशांक इन बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं।

मान लीजिए कि दिए गए निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर की शुरुआत बिंदु पर है

और अंत बिंदु पर है

समानता से

अनुसरण करता है कि

या समन्वय रूप में

फलस्वरूप, वेक्टर के निर्देशांक अंत और वेक्टर की शुरुआत के एक ही नाम के निर्देशांक के अंतर के बराबर हैं . सूत्र (4) इस मामले में रूप लेता है

वेक्टर की दिशा निर्धारित की जाती है दिशा कोज्या . ये उन कोणों की कोज्या हैं जो वेक्टर कुल्हाड़ियों के साथ बनाता है बैल, ओएतथा आउंस. आइए इन कोणों को क्रमशः नामित करें α , β तथा γ . तब इन कोणों की कोज्या सूत्रों द्वारा ज्ञात की जा सकती है

एक वेक्टर की दिशा कोसाइन भी वेक्टर के वेक्टर के निर्देशांक होते हैं और इस प्रकार वेक्टर के वेक्टर

.

यह मानते हुए कि वेक्टर वेक्टर की लंबाई एक इकाई के बराबर है, अर्थात,

,

हमें दिशा कोज्या के लिए निम्नलिखित समानता मिलती है:

उदाहरण 7वेक्टर की लंबाई पाएं एक्स = (3; 0; 4).

समाधान। वेक्टर की लंबाई है

उदाहरण 8दिए गए अंक:

ज्ञात कीजिए कि क्या इन बिन्दुओं पर बना त्रिभुज समद्विबाहु है।

समाधान। सदिश लंबाई सूत्र (6) का उपयोग करते हुए, हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं और पता लगाते हैं कि क्या उनमें से दो बराबर हैं:

दो समान भुजाएँ मिली हैं, इसलिए तीसरी भुजा की लंबाई देखने की कोई आवश्यकता नहीं है, और दिया गया त्रिभुज समद्विबाहु है।

उदाहरण 9एक सदिश की लंबाई और उसकी दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए यदि .

समाधान। वेक्टर निर्देशांक दिए गए हैं:

.

वेक्टर की लंबाई वेक्टर के निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है:

.

दिशा कोसाइन ढूँढना:

वैक्टर पर समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

निर्देशांक रूप में दिए गए वैक्टर पर संचालन

मान लीजिए कि दो सदिश और उनके अनुमानों द्वारा दिए गए हैं:

आइए हम इन वैक्टरों पर कार्रवाई का संकेत दें।