भूगोल, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, बीजगणित, ज्यामिति... स्कूली बच्चों को विभिन्न प्रकार के विज्ञानों से बहुत सारी जानकारी से निपटना पड़ता है। हालांकि, ज्ञान के ऐसे क्षेत्र हैं जिनमें अपने बुनियादी कानूनों से परिचित होने के बाद इसे समझना काफी आसान है। ज्यामिति उनमें से एक है। इस विज्ञान की सभी सूक्ष्मताओं को जानने के लिए, आपको निश्चित रूप से इसके मूल सिद्धांतों, स्वयंसिद्धों से परिचित होना चाहिए। आखिरकार, ज्यामिति में नींव के बिना, कहीं नहीं।

एक आयत की परिभाषा

एक आयत एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार समकोण होते हैं। परिभाषा काफी सरल है, लेकिन आपको यह नहीं सोचना चाहिए कि छात्र को ऐसे विषय का अध्ययन करने में समस्या नहीं होगी, क्योंकि यहां कई विशेषताएं हैं। एक आयत के आयाम उसके पक्षों की लंबाई पर निर्भर करते हैं, जिन्हें अक्सर लैटिन अक्षरों ए और बी द्वारा दर्शाया जाता है।

आयत गुण

• एक दूसरे के विपरीत स्थित भुजाएँ समान और समानांतर हैं;
• आकृति के विकर्ण बराबर हैं;
• विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें समद्विभाजित करता है;
• एक आयत को दो बराबर में विभाजित किया जा सकता है

आयत विशेषताएं

एक आयत में केवल तीन विशेषताएँ होती हैं। वे यहाँ हैं:

• समान विकर्णों वाला एक समांतर चतुर्भुज एक आयत है;
• एक समकोण वाला समांतर चतुर्भुज एक आयत है;
• तीन समकोण वाला चतुर्भुज एक आयत है।

थोड़ा और दिलचस्प

तो, एक आयत क्या है यह अब स्पष्ट है, लेकिन यह ज्यामितीय समस्याओं और व्यावहारिक माप में क्या भूमिका निभाता है, यह अभी तक पता नहीं चल पाया है। तो, सबसे पहले, यह कहा जाना चाहिए कि यह सबसे सुविधाजनक ज्यामितीय आकृति है, जिसके साथ आप क्षेत्र को खुले क्षेत्रों और घर के अंदर दोनों वर्गों में विभाजित कर सकते हैं।

एक आयत क्या है? जैसा कि आप जानते हैं, यह एक चतुर्भुज है। उत्तरार्द्ध की कई किस्में हैं, जिनमें से एक ट्रेपेज़ॉइड (केवल दो भुजाएँ समान हैं), एक समांतर चतुर्भुज (विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं), एक वर्ग (सभी कोण और भुजाएँ समान हैं), एक समचतुर्भुज (एक समांतर चतुर्भुज) कह सकते हैं। समान पक्ष) और अन्य। आयत का एक विशेष मामला एक वर्ग होता है, जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं, और भुजाएँ समान होती हैं।

इसके आयामों का निर्धारण कैसे किया जाए, इसका उल्लेख किए बिना एक आयत क्या है, इसके बारे में बात करना असंभव है। इस क्षेत्र को इसकी चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल माना जाता है, और परिधि, किसी भी आकृति की तरह, सभी पक्षों की लंबाई के योग के बराबर होती है। इस मामले में, यह लंबाई और चौड़ाई के योग के दोगुने के बराबर भी है, क्योंकि आयत के विपरीत पक्ष समान हैं। अब आप जानते हैं कि एक आयत क्या है और इसके साथ क्या करना है, समस्याओं को हल करना और ज्यामिति जैसे रहस्यमय और रहस्यमय विज्ञान के रहस्यों को समझना।

आयत अपनी सादगी में अद्वितीय है। इस आंकड़े के आधार पर, छात्र ज्यामिति की मूल बातें सीखना शुरू करते हैं। इसलिए, वरिष्ठ वर्गों में वे एक आयत के मूल गुणों और विशेषताओं को न जानते हुए, इस आंकड़े को बहुत सरल मानकर व्यर्थ में खो जाते हैं।

आयत

एक आयत की परिभाषा प्राथमिक विद्यालय से जानी जाती है: यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण 90 डिग्री के बराबर होते हैं। प्रश्न उठता है: समांतर चतुर्भुज क्या है?

आकर्षक नाम के बावजूद, यह आकार एक आयत की तरह सरल है। एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज होता है जिसकी भुजाएँ समान होती हैं और जोड़े में समानांतर होती हैं।

परिभाषा में उत्तल शब्द को उजागर करना अनिवार्य है। क्योंकि ज्यामिति में उत्तल और गैर-उत्तल चतुर्भुज स्पष्ट रूप से अलग होते हैं। इसके अलावा, गैर-उत्तल आंकड़ों का स्कूली गणित पाठ्यक्रम में बिल्कुल भी अध्ययन नहीं किया जाता है, क्योंकि वे अपने गुणों में बहुत अधिक अप्रत्याशित होते हैं।

चावल। 1. उत्तल चतुर्भुज

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। साथ ही, समांतर चतुर्भुज के अन्य विशेष मामले भी हैं, उदाहरण के लिए, एक समचतुर्भुज; और एक आयत के अन्य विशेष मामले - एक वर्ग। इसलिए, यह साबित करने से पहले कि एक आकृति एक आयत है, यह साबित करना आवश्यक है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है।

आयत गुण

आयत गुणों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: समांतर चतुर्भुज गुण और आयत गुण।

समांतर चतुर्भुज गुण:

• सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार बराबर और समानांतर होती हैं।
• विपरीत कोण बराबर होते हैं।

चावल। 2. एक समांतर चतुर्भुज के गुण

आयत गुण:

• सभी कोण 90 डिग्री हैं, जो आकृति की परिभाषा से उपजा है।
• एक आयत का विकर्ण आकृति को दो छोटे समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इस संपत्ति को साबित करना आसान है। त्रिभुज आयताकार होंगे, क्योंकि उनमें एक 90 डिग्री का कोण शामिल होगा। इस मामले में, विकर्ण आम पक्ष होगा, और पैर बराबर होंगे, क्योंकि आयत के विपरीत पक्ष जोड़ीदार समान और समानांतर हैं।
• एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

चावल। 3. बीम

आयत विशेषताएं

एक आयत में केवल तीन मुख्य विशेषताएं होती हैं:

• कोने से। यदि समांतर चतुर्भुज का एक कोण 90 डिग्री है, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत है।
• यदि एक चतुर्भुज के तीन कोण 90 डिग्री हैं, तो चतुर्भुज एक आयत है। कृपया ध्यान दें कि इस मामले में यह साबित करने की आवश्यकता नहीं है कि हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज है। चतुर्भुज के कोणों का मान जानने के लिए पर्याप्त है।
• विकर्ण रूप से: यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत है।

ध्यान दें कि चिन्ह किस आकृति पर लगाया गया है, यह प्रमाण में मायने रखता है।

गुण और संपत्ति में क्या अंतर है? एक चिन्ह एक अंतर है जिसके द्वारा एक आकृति को दूसरों से अलग किया जा सकता है। एक व्यक्ति के नाम की तरह। आप एक दोस्त को देखते हैं, उसका नाम याद करते हैं और तुरंत जानते हैं कि उससे क्या उम्मीद की जाए। लेकिन किसी व्यक्ति से अपेक्षाएं पहले से ही गुण हैं। गुणों को तभी लागू किया जा सकता है जब आप यह साबित कर दें कि यह या वह आंकड़ा आपके सामने है। और इस प्रमाण के लिए हमें चिन्हों की आवश्यकता है।

हमने क्या सीखा?

हमने सीखा कि समांतर चतुर्भुज क्या होता है। हमने समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों के बारे में बात की, जिसमें सबसे आम एक - एक आयत शामिल है। आयत के गुणों और विशेषताओं का चयन किया। हमने इस तथ्य पर ध्यान दिया कि कुछ विशेषताएं किसी भी चतुर्भुज के लिए मान्य हैं, और कुछ केवल समांतर चतुर्भुज के लिए मान्य हैं।

विषय प्रश्नोत्तरी

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पाठ मकसद

आयत के विषय पर छात्रों के ज्ञान को समेकित करना;
छात्रों को एक आयत की परिभाषाओं और गुणों से परिचित कराना जारी रखें;
स्कूली बच्चों को समस्याओं को हल करते समय इस विषय पर अर्जित ज्ञान का उपयोग करना सिखाना;
गणित, ध्यान, तार्किक सोच के विषय में रुचि विकसित करना;
आत्मनिरीक्षण और अनुशासन की क्षमता विकसित करें।

पाठ मकसद

पिछली कक्षाओं में प्राप्त ज्ञान से शुरू होकर, एक आयत के रूप में इस तरह की अवधारणा के बारे में स्कूली बच्चों के ज्ञान को दोहराने और समेकित करने के लिए;
आयतों के गुणों और विशेषताओं के बारे में स्कूली बच्चों के ज्ञान में सुधार करना जारी रखें;
कार्यों को हल करने की प्रक्रिया में कौशल विकसित करना जारी रखें;
गणित के पाठों में रुचि पैदा करना;
सटीक विज्ञान में रुचि पैदा करना और गणित के पाठों के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण रखना।

शिक्षण योजना

1. सैद्धांतिक भाग, सामान्य जानकारी, परिभाषाएँ।
2. "आयत" विषय की पुनरावृत्ति।
3. एक आयत के गुण।
4. एक आयत के चिन्ह।
5. त्रिभुजों के जीवन के रोचक तथ्य।
6. स्वर्ण आयत, सामान्य अवधारणाएँ।
7. प्रश्न और कार्य।

एक आयत क्या है

पिछली कक्षाओं में, आप आयतों के विषय में पहले ही सीख चुके हैं। आइए अब अपनी याददाश्त को ताज़ा करें और याद रखें कि यह किस तरह की आकृति है, जिसे आयत कहते हैं।

आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसके चारों कोण समकोण और 90 डिग्री के बराबर होते हैं।

एक आयत एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है, जिसमें 4 भुजाएँ और चार समकोण होते हैं।

एक आयत की सम्मुख भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं।

यदि हम यूक्लिडियन ज्यामिति में एक आयत की परिभाषा पर विचार करें, तो एक चतुर्भुज को एक आयत माना जाए, इसके लिए यह आवश्यक है कि इस ज्यामितीय आकृति में कम से कम तीन कोण समकोण हों। इससे यह पता चलता है कि चौथा कोण भी नब्बे डिग्री होगा।

हालांकि यह स्पष्ट है कि जब एक चतुर्भुज के कोणों का योग 360 डिग्री नहीं होता है, तो यह आंकड़ा आयत नहीं होता है।

उस स्थिति में जब एक नियमित आयत की सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, तो ऐसे आयत को वर्ग कहा जाता है।

कुछ मामलों में, एक वर्ग एक समचतुर्भुज के रूप में कार्य कर सकता है यदि ऐसा समचतुर्भुज, समान भुजाओं को छोड़कर, सभी समकोण हों।

एक आयत में किसी भी ज्यामितीय आकृति की भागीदारी को साबित करने के लिए, यह पर्याप्त है कि यह ज्यामितीय आकृति इनमें से कम से कम एक आवश्यकता को पूरा करती है:

1. इस आकृति के विकर्ण का वर्ग एक उभयनिष्ठ बिंदु वाली 2 भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होना चाहिए;
2. ज्यामितीय आकृति के विकर्णों की लंबाई समान होनी चाहिए;
3. एक ज्यामितीय आकृति के सभी कोण नब्बे डिग्री होने चाहिए।

यदि ये शर्तें कम से कम एक आवश्यकता को पूरा करती हैं, तो आपके पास एक आयत है।

ज्यामिति में एक आयत मुख्य बुनियादी आकृति है, जिसमें कई उप-प्रजातियां हैं, जिनके अपने विशेष गुण और विशेषताएं हैं।

व्यायाम:आयतों से संबंधित ज्यामितीय आकृतियों के नाम लिखिए।

आयत और उसके गुण

अब आइए एक आयत के गुणों को याद करें:

एक आयत के सभी विकर्ण बराबर होते हैं;
एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें समानांतर विपरीत भुजाएँ होती हैं;
आयत की भुजाएँ भी उसकी ऊँचाइयाँ होंगी;
एक आयत में समान विपरीत भुजाएँ और कोण होते हैं;
किसी भी आयत के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, इसके अलावा आयत का विकर्ण परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होगा।
एक आयत के विकर्ण इसे 2 बराबर त्रिभुजों में विभाजित करते हैं;
पायथागॉरियन प्रमेय के बाद, एक आयत के विकर्ण का वर्ग उसकी 2 गैर-विपरीत भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है;

व्यायाम:

1. एक आयत की दो संभावनाएँ होती हैं जिसमें इसे 2 बराबर आयतों में विभाजित किया जा सकता है। अपनी नोटबुक में दो आयत बनाएं और उन्हें विभाजित करें ताकि आपको एक दूसरे के बराबर 2 आयतें मिलें।

2. आयत के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कीजिए, जिसका व्यास आयत के विकर्ण के बराबर होगा।

3. क्या किसी वृत्त को एक आयत में इस प्रकार अंकित किया जा सकता है कि वह उसकी सभी भुजाओं को स्पर्श करे, लेकिन इस शर्त पर कि यह आयत एक वर्ग नहीं है?

आयत विशेषताएं

एक समांतर चतुर्भुज एक आयत होगा यदि:

1. यदि इसमें कम से कम एक समकोण हो;
2. यदि इसके चारों कोण समकोण हैं;
3. यदि सम्मुख भुजाएँ समान हों;
4. यदि कम से कम तीन कोण समकोण हों;
5. यदि इसके विकर्ण बराबर हों;
6. यदि विकर्ण का वर्ग विषम भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।

यह जानना दिलचस्प है

क्या आप जानते हैं कि यदि आप असमान आसन्न भुजाओं वाले आयत में कोण द्विभाजक खींचते हैं, तो जब वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो आप एक आयत के साथ समाप्त होंगे।

लेकिन यदि किसी आयत का खींचा गया समद्विभाजक उसकी किसी एक भुजा को काटता है, तो वह इस आयत से एक समद्विबाहु त्रिभुज को काट देता है।

क्या आप जानते हैं कि मालेविच ने अपने उत्कृष्ट "ब्लैक स्क्वायर" को चित्रित करने से पहले, 1882 में, पेरिस में एक प्रदर्शनी में, पॉल बिलो की एक पेंटिंग प्रस्तुत की थी, जिसके कैनवास पर एक काले आयत को अजीबोगरीब नाम "बैटल ऑफ द बैटल" के साथ चित्रित किया गया था। सुरंग में नीग्रो ”।

एक काले आयत के साथ इस तरह के विचार ने अन्य सांस्कृतिक हस्तियों को प्रेरित किया। फ्रांसीसी हास्यकार अल्फोंस एलायस ने अपने कार्यों की एक पूरी श्रृंखला प्रकाशित की और समय के साथ एक आयताकार परिदृश्य रेडिकल रेड में दिखाई दिया, जिसे "एपोप्लेक्टिक कार्डिनल्स द्वारा लाल सागर तट पर कटाई टमाटर" कहा जाता है, जिसकी कोई छवि भी नहीं थी।

व्यायाम

1. उस संपत्ति का नाम बताइए जो एक आयत के लिए अद्वितीय है?
2. एक स्वेच्छ समांतर चतुर्भुज और एक आयत में क्या अंतर है?
3. क्या यह सच है कि कोई भी आयत एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है? यदि हां, तो कृपया सिद्ध करें कि क्यों ?
4. उन चतुर्भुजों की सूची बनाइए जो आयत हैं।
5. आयत के गुणों का निरूपण कीजिए।

ऐतिहासिक तथ्य

यूक्लिड का आयत

क्या आप जानते हैं कि यूक्लिड का आयत, जिसे स्वर्ण अनुपात कहा जाता है, लंबे समय तक धार्मिक महत्व के किसी भी भवन के लिए, उन दिनों निर्माण का सही और आनुपातिक आधार था। उनकी मदद से, प्राचीन ग्रीस में पुनर्जागरण और शास्त्रीय मंदिरों की अधिकांश इमारतों का निर्माण किया गया था।

एक "सुनहरी" आयत को आमतौर पर ऐसा ज्यामितीय आयत कहा जाता है, जिसकी बड़ी भुजा और छोटी भुजा का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

इस आयत की भुजाओं का यह अनुपात 382 से 618 या लगभग 19 से 31 था। यूक्लिड का आयत, उस समय, सभी ज्यामितीय आकृतियों का सबसे समीचीन, सुविधाजनक, सुरक्षित और नियमित आयत था। इस विशेषता के कारण, यूक्लिड के आयत, या इसके एक सन्निकटन का उपयोग पूरे समय किया गया है। इसका उपयोग घरों, पेंटिंग्स, फर्नीचर, खिड़कियों, दरवाजों और यहां तक ​​कि किताबों में भी किया जाता था।

नवाजो भारतीयों के बीच, आयत की तुलना महिला रूप से की जाती थी, क्योंकि इसे घर का सामान्य, मानक रूप माना जाता था, जो इस घर की मालिक महिला का प्रतीक था।

विषय > गणित > गणित ग्रेड 8

आयत है सबसे पहलेज्यामितीय सपाट आकृति। इसमें चार बिंदु होते हैं, जो समान खंडों के दो जोड़े द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं जो केवल इन बिंदुओं पर लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज के माध्यम से एक आयत को परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसके सभी कोण समकोण होते हैं, यानी 90 डिग्री के बराबर। यूक्लिडियन ज्यामिति में, यदि एक ज्यामितीय आकृति में 4 में से 3 कोण 90 डिग्री के बराबर होते हैं, तो चौथा कोण स्वचालित रूप से 90 डिग्री के बराबर होता है और ऐसी आकृति को आयत कहा जा सकता है। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि एक आयत एक समतल पर इस आकृति की किस्मों का एक समूह है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समांतर चतुर्भुज के गुण एक आयत पर भी लागू होते हैं। उदाहरण के लिए: एक आयत में, विपरीत भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। एक आयत में एक विकर्ण की रचना करते समय, यह आकृति को दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित कर देगा। पाइथागोरस प्रमेय इसी पर आधारित है, जिसमें कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग उसके पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि एक नियमित आयत की सभी भुजाएँ समान हों, तो ऐसे आयत को वर्ग कहा जाता है। एक वर्ग को एक समचतुर्भुज के रूप में भी परिभाषित किया जाता है, जिसमें इसकी सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और सभी कोण समकोण होते हैं।

वर्ग आयतसूत्र द्वारा पाया जाता है: S=a*b, जहाँ a दिए गए आयत की लंबाई है, b चौड़ाई है। उदाहरण के लिए: 4 और 6 सेमी भुजा वाले आयत का क्षेत्रफल 4 * 6 = 24 सेंटीमीटर वर्ग के बराबर होगा।

परिमाप आदिगड्ढासूत्र द्वारा गणना की जाती है: P= (a+b)*2, जहां a आयतों की लंबाई है, b दिए गए की चौड़ाई है आयत. उदाहरण के लिए: 4 और 8 सेमी की भुजाओं वाले एक आयत का परिमाप 24 सेमी है। एक वृत्त में अंकित आयत के विकर्ण इस वृत्त के व्यास के साथ मेल खाते हैं। इन विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र होगा।

एक आयत में एक ज्यामितीय आकृति की भागीदारी को साबित करते समय, किसी भी स्थिति के लिए आकृति की जाँच की जाती है: 1 - विकर्ण का वर्ग आंकड़ोंएक उभयनिष्ठ बिंदु वाली दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर; 2 - विकर्ण आंकड़ोंसमान लंबाई के हैं; 3 - सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं। यदि कम से कम एक शर्त पूरी होती है, तो आकृति को आयत कहा जा सकता है।

"आयत और उसके गुण" विषय पर पाठ

पाठ मकसद:

कक्षा 1 - 6 में गणित के पाठ्यक्रम में छात्रों द्वारा प्राप्त ज्ञान के आधार पर आयत की अवधारणा को दोहराएं।

एक विशेष प्रकार के समांतर चतुर्भुज के रूप में एक आयत के गुणों पर विचार करें।

एक आयत के एक विशेष गुण पर विचार कीजिए।

समस्या समाधान के लिए गुणों का अनुप्रयोग दिखाएँ।

कक्षाओं के दौरान.

मैं हे आयोजन का क्षण।

पाठ के उद्देश्य, पाठ के विषय को सूचित करें।

द्वितीय नई सामग्री सीखना.

दोहराना:

1. किस आकृति को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है?

2. समांतर चतुर्भुज में क्या गुण होते हैं?

● एक आयत की अवधारणा का परिचय दें।

किस समांतर चतुर्भुज को आयत कहा जा सकता है?

परिभाषा: एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी समकोण होते हैं।(स्लाइड 3)

अत: चूँकि एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है, तो उसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं। चूंकि आयत का एक अलग नाम है, इसलिए इसकी अपनी संपत्ति होनी चाहिए (स्लाइड 4)।

● छात्रों के लिए कार्य (स्वतंत्र रूप से): एक समांतर चतुर्भुज और एक आयत के पक्षों, कोणों और विकर्णों का पता लगाएं, परिणामों को एक तालिका में लिखें।

चतुर्भुज

आयत

दलों

कोने

विकर्णों

निष्कर्ष निकालें: आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

● यह आउटपुट आयत की एक निजी संपत्ति है:

प्रमेय। डी एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

दिया गया: ABCD - आयत,

एयू और बीडी विकर्ण।

सिद्ध करना: एसी = बीडी

सबूत:

1) ACD और ABD पर विचार करें:

एक)
एडी सी =
डीएबी = 90°,

बी ० ए डी- सामान्य,

सी) एबी = सी डी - आयत के विपरीत पक्ष,

इसलिए त्रिभुज दो पैरों पर सर्वांगसम होते हैं।

2) चूँकि त्रिभुज बराबर हैं, तो AC \u003d BD।

● एक आयत के गुणों पर विचार करें, यह जानते हुए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है।

संपत्ति 1: एक आयत के कोणों का योग 360° होता है।

सबूत: a) चूँकि एक आयत में चार 90° कोण होते हैं, उनका योग 360° होता है।

ख) चूंकि एक आयत एक चतुर्भुज है, चतुर्भुज के कोणों का योग (n - 2) 180° = (4 - 2) ∙180° = 2∙180° = 360° है।

संपत्ति 2: आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

सबूत: a) चूँकि एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, तो आयत की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी।

आप इस तथ्य को और कैसे साबित कर सकते हैं?

b) यदि हम विकर्ण AC खींचते हैं, तो समकोण त्रिभुज ABC और C की समानता सेडीऔर (कर्ण और न्यून कोण के साथ) आयत के विपरीत पक्षों की समानता का पालन करेंगे।

संपत्ति 3: आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होता है।

सबूत: ए) चूंकि एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज में विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होते हैं, तो आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होते हैं।

क्या इस संपत्ति का कोई और प्रमाण है?

b) हाँ, त्रिभुज AOB और D OS की समानता के माध्यम से (भुजा के साथ और दो कोणों से सटे हुए)

संपत्ति 4: एक आयत का कोण समद्विभाजक उसमें से एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है।

सबूत: a) चूंकि एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज में एक न्यून कोण का समद्विभाजक एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है, तो एक आयत में किसी भी कोण का द्विभाजक उसमें से एक समद्विबाहु त्रिभुज को काट देता है।

क्या इस संपत्ति को साबित करने का कोई और तरीका है?

बी) आप कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज ABK पर विचार कीजिए और सिद्ध कीजिए कि कोण BAK और BKA बराबर हैं। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि भुजाएँ AB और BK बराबर हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुणों का उपयोग करके सभी गुणों को सिद्ध किया जाता है।

हमने पाया कि एक आयत में पाँच गुण होते हैं:

III अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

कक्षा असाइनमेंट: 1. आयत की परिधि ज्ञात कीजिए (मौखिक रूप से)

ए) बी)

समाधान:

ए) पी \u003d (6 + 4) 2, पी \u003d 20 (डीएम) (आयत के विपरीत पक्ष बराबर हैं)

बी) क्योंकि आयत के विकर्ण बराबर हैं, तो M OK और ∆ M ON समद्विबाहु हैं, OB और OA माध्यिकाएँ हैं, इसलिए वे ऊँचाई भी हैं। तब 2BO = MN = 8, 2AO = MK = 4।

= (8 + 4)∙2, = 24 (डीएम)

2. एक आयत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसका परिमाप 24 सेमी है।

हल: 1) ABM समद्विबाहु है, क्योंकि AM एक समद्विभाजक है,

तो एबी = बीएम।

2) 24 = (एबी + बीएम + एमएस) 2,

12 = एबी + वीएम + एमएस,

12 = वीएम + वीएम + एमएस,

12 = एमएस + 2∙VM।

3)

3 एमबी = 9, एमबी = 3, एमएस = 6

4) एबी = सीडी = 3, एडी = बीसी = 3 +6 = 9

उत्तर: 3 सेमी, 9 सेमी, 3 सेमी, 9 सेमी।

№ 403 (पाठ्यपुस्तक)

दिया गया: एबीएसओ -आयत,डी = 30°

मतलब सी डी \u003d 0.5AC \u003d 6 सेमी।

2) एबी = सी डी = 6 सेमी।

3) एक आयत में, विकर्ण बराबर होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है, अर्थात AO \u003d VO \u003d 6 सेमी।

4) पी(एओओ) =एओ + वीओ + एबी \u003d 6 + 6 + 6 \u003d 18 सेमी।

उत्तर : 18 सेमी.

चतुर्थ पाठ को सारांशित करना।

आयत में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. एक आयत के कोणों का योग 360° होता है।

2. एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

3. आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेद बिंदु आधे में विभाजित होते हैं।

4. एक आयत का कोण समद्विभाजक एक समद्विबाहु त्रिभुज को उसमें से काटता है।

5. आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

वी होमवर्क।

पी. 45, प्रश्न 12,13. नंबर 399, 401 ए), 404

घर पर, एक आयत के चिन्ह पर स्वयं विचार करें।