लक्ष्य:

1. प्रतिअवकलन की परिभाषा, प्रतिअवकलन का मुख्य गुण, प्रतिअवकलन खोजने के नियम जानें;
2. प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजने में सक्षम हो;
3. विषय में आत्म-नियंत्रण कौशल और रुचि विकसित करना;
4. कार्यों को पूरा करते समय अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. अध्ययन की गई सामग्री के आत्मसात की जाँच करना।

1. कार्ड का उपयोग करके सर्वेक्षण:

ए) प्रतिअवकलन की परिभाषा तैयार करें?
बी) कार्य निरंतरता का संकेत तैयार करें?
प्र) प्रतिअवकलन का मुख्य गुण बताइये?
डी) वाक्यांश "विभेदीकरण है ..." जारी रखें
डी) एकीकरण है...
ई) फ़ंक्शन f के लिए किन्हीं दो प्रतिअवकलजों के ग्राफ़ एक दूसरे से प्राप्त किए जाते हैं…….
जी) यह क्या है?...

2. फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजें:

ए) एफ(एक्स) = 1
बी) जी(एक्स) = एक्स +1
बी) एफ (एक्स) = कॉस (3x + 4)
डी) जी (एक्स) = 2 कोएक्स + 4
डी) जी (एक्स) = पाप एक्स + कॉस एक्स
ई) एफ (एक्स) = (एक्स + 1)³

3. दिए गए फलनों में से फलन y = - 7x ³ के लिए प्रतिअवकलन का चयन करें

तृतीय. सामूहिक कार्य

पहला समूह - त्यागी खेलता है। मेज़ों पर कटे हुए कार्ड हैं। वे सभी सूत्र बनाएं जो आप जानते हैं। आप कितनी बार भाग्यशाली रहे हैं?

दूसरा और तीसरा समूह - लोट्टो के साथ काम करें। परिणामी कीवर्ड लिखें.

		एफ (एक्स) = (एक्स + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
एफ(एक्स) = (7एक्स – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(मुख्य शब्द - प्रतिव्युत्पन्न)

चौथा समूह - एक क्रॉसवर्ड पहेली के साथ काम करता है।

क्रॉसवर्ड।

प्रशन:

2. फलन y = ax + b का ग्राफ क्या है?

4. परीक्षण से पहले आमतौर पर कौन सा पाठ होता है।

5. दर्जन शब्द का पर्यायवाची।

6. यह हर शब्द में है, समीकरणों में है और समीकरणों में भी हो सकता है।

7. सूत्र ए बी का उपयोग करके क्या गणना की जा सकती है।

8. गणित की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक।

9. पाठ का रूप जिसमें ज्ञान परीक्षण किया जाता है।

10. जर्मन वैज्ञानिक जिन्होंने इंटीग्रल कैलकुलस की शुरुआत की।

11. निर्देशांक (x; y) के साथ विमान के बिंदुओं का सेट, जहां x फ़ंक्शन f की परिभाषा के क्षेत्र से होकर गुजरता है।

12. समुच्चय X और Y के बीच का पत्राचार, जिसमें समुच्चय

लंबवत संख्या 1 के अंतर्गत क्रॉसवर्ड पहेली को सही ढंग से हल करते समय, कीवर्ड पढ़ें।

चतुर्थ. पिछले वर्षों से इस विषय पर एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंट का विश्लेषण।

फ़ंक्शन f(x) = 3sin x का प्रतिअवकलन F इंगित करें यदि यह ज्ञात है कि F(П) = 1.

वी. स्वतंत्र कार्य.

समूह 1 और 2 - परीक्षण करें।

भाग ए

ए1. इन फलनों में से वह फलन चुनें जिसका अवकलज f(x) = 20x4 है।

1). एफ(एक्स) = 4x5
2). एफ(एक्स) =5x5
3).F(x) = x5
4). एफ(एक्स) = 80x3

ए2. फलन f(x) = 4x3 – 6 के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप ज्ञात कीजिए

1). एफ(एक्स) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). एफ(एक्स) = 12x2 – 6

A3.फ़ंक्शन f(x) =8x – 3 के लिए, वह प्रतिअवकलन ज्ञात करें जिसका ग्राफ़ बिंदु M (1; 4) से होकर गुजरता है।

1) एफ(एक्स) = 4x2 – 3एक्स
2) एफ(एक्स) = 4x2 - 3x -51
3) एफ(एक्स) = 4x2 – 3x + 4
4) एफ(एक्स) = 4x2 - 3x +3

ए4. फलन f(x) = 2/x3 के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप ज्ञात कीजिए

1) एफ(एक्स) = 1/एक्स +सी
2) एफ(एक्स) = - 2/एक्स + सी
3) एफ(एक्स) = - 1/x2 + सी
4) एफ(एक्स) = 2/x2+ सी

ए5. फ़ंक्शन f(x) = syn x + 3x2 के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

1) एफ(एक्स) = पाप एक्स +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

ए6. फ़ंक्शन f(x) = 3sin x के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

1) एफ(एक्स) = - 3xcos 3x
2) एफ(एक्स) = - कॉस 3एक्स
3) एफ(एक्स) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

ए7. फ़ंक्शन f(x) = cos 2x के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

1) एफ(एक्स) = 0.5सिन 2एक्स
2) एफ(एक्स) = 0.5सिन एक्स
3) एफ(एक्स) = 2 पाप 2x
4) एफ(एक्स) = 2सिन एक्स

ए8. फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन f(x) = फ़ंक्शन के लिए 2 synx cosx

1) एफ(एक्स) = 0.5 सिन2एक्स
2) एफ(x) = 0.5sinx
3) एफ(एक्स) = 2 सिन2एक्स
4) एफ(एक्स) = 2 पाप एक्स

ए9. फलन f(x) = 6/cos23x + 1 के लिए, एक प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए जिसका ग्राफ बिंदु M (P/3; P/3) से होकर गुजरता है।

1) एफ(एक्स) = 2 टैन 3एक्स + एक्स +पी/3
2) एफ(एक्स) = 2 टैन 3एक्स + एक्स
3) एफ(एक्स) = - 6tg 3x + x + P/3
4) एफ(एक्स) = 6 टैन 3एक्स + एक्स

भाग बी

पहले में। फलन F(x) फलन f(x) = x5 – 3x2 – 2 का प्रतिअवकलज है। यदि F(- 1) = 0 है तो F(1) ज्ञात कीजिए।

तीसरा और चौथा समूह - गलती सुधारें।

a) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
बी) एफ(एक्स) = 4एक्स - एक्स3, ए एफ(एक्स) = 1/6एक्स6
सी) एफ(एक्स) = पाप एक्स, ए एफ(एक्स) = - कॉस एक्स
डी) एफ(एक्स) = 15 कॉस एक्स, ए एफ(एक्स) = - 15 कॉस एक्स
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 पर (0 ; +)
जी) फ़ंक्शन एफ (एक्स) = 10 पाप 2x के लिए, एंटीडेरिवेटिव ढूंढें जिसका ग्राफ बिंदु एम (-3/2P; 0) से गुजरता है

VI. पाठ सारांश.

डी/जेड नंबर 348, व्यक्तिगत असाइनमेंट: विषय पर एक प्रस्तुति बनाएं।

प्रतिव्युत्पन्न कार्य एफ(एक्स)बीच में (ए; बी)इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स), वह समानता किसी के लिए भी है एक्सकिसी दिए गए अंतराल से.

यदि हम इस तथ्य को ध्यान में रखें कि एक स्थिरांक का व्युत्पन्न साथशून्य के बराबर है, तो समानता सत्य है। तो समारोह एफ(एक्स)कई आदिम हैं एफ(एक्स)+सी, एक मनमाना स्थिरांक के लिए साथ, और ये प्रतिअवकलज मनमाने स्थिरांक मान द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा.

प्रतिअवकलन कार्यों का संपूर्ण सेट एफ(एक्स)इस फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है .

अभिव्यक्ति कहलाती है एकीकृत, ए एफ(एक्स) – इंटीग्रैंड फ़ंक्शन. इंटीग्रैंड फ़ंक्शन के अंतर का प्रतिनिधित्व करता है एफ(एक्स).

किसी अज्ञात फ़ंक्शन को उसके अंतर को देखते हुए खोजने की क्रिया को कहा जाता है ढुलमुलएकीकरण, क्योंकि एकीकरण का परिणाम एक से अधिक कार्य होता है एफ(एक्स), और इसके आदिमों का सेट एफ(एक्स)+सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ. प्रतिअवकलन D(x) के ग्राफ को पूर्णांक वक्र कहा जाता है। x0y समन्वय प्रणाली में, किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव के ग्राफ़ वक्रों के एक परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं जो स्थिरांक C के मान पर निर्भर करते हैं और 0y अक्ष के साथ समानांतर बदलाव द्वारा एक दूसरे से प्राप्त होते हैं। ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के लिए, हमारे पास है:

जे 2 एक्स^एक्स = एक्स2 + सी.

प्रतिअवकलज (x + C) के परिवार की ज्यामितीय व्याख्या परवलयों के एक सेट द्वारा की जाती है।

यदि आपको एंटीडेरिवेटिव्स के परिवार से किसी एक को खोजने की आवश्यकता है, तो अतिरिक्त शर्तें निर्धारित की जाती हैं जो आपको स्थिरांक सी निर्धारित करने की अनुमति देती हैं। आमतौर पर, इस उद्देश्य के लिए, प्रारंभिक शर्तें निर्धारित की जाती हैं: जब तर्क x = x0 होता है, तो फ़ंक्शन का मान D होता है (x0) = y0.

उदाहरण। यह ज्ञात करना आवश्यक है कि फ़ंक्शन y = 2 x का एक प्रतिअवकलज जो x0 = 1 पर मान 3 लेता है।

आवश्यक प्रतिअवकलन: D(x) = x2 + 2.

समाधान। ^2x^x = x2 + C; 12 + सी = 3; सी = 2.

2. अनिश्चितकालीन अभिन्न के मूल गुण

1. अनिश्चितकालीन समाकलन का व्युत्पन्न समाकलन फलन के बराबर है:

2. अनिश्चित समाकलन का अंतर समाकलन व्यंजक के बराबर है:

3. एक निश्चित फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग इस फ़ंक्शन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर है:

4. अचर गुणनखंड को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है:

5. योग का अभिन्न अंग (अंतर) अभिन्नों के योग (अंतर) के बराबर है:

6. संपत्ति गुण 4 और 5 का संयोजन है:

7. अनिश्चितकालीन अभिन्न की अपरिवर्तनशील संपत्ति:

अगर , वह

8. संपत्ति:

अगर , वह

वास्तव में, यह संपत्ति परिवर्तनीय परिवर्तन विधि का उपयोग करके एकीकरण का एक विशेष मामला है, जिस पर अगले भाग में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

आइए एक उदाहरण देखें:

3. एकीकरण विधिजिसमें किसी दिए गए इंटीग्रल को इंटीग्रैंड (या अभिव्यक्ति) के समान परिवर्तनों और अनिश्चित इंटीग्रल के गुणों के अनुप्रयोग के माध्यम से एक या अधिक तालिका इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, कहा जाता है प्रत्यक्ष एकीकरण. इस अभिन्न अंग को सारणीबद्ध रूप में कम करते समय, निम्नलिखित अंतर परिवर्तनों का अक्सर उपयोग किया जाता है (ऑपरेशन " विभेदक चिन्ह की सदस्यता लेना»):

बिल्कुल भी, f'(u)du = d(f(u)).इंटीग्रल्स की गणना करते समय यह (सूत्र) अक्सर उपयोग किया जाता है।

अभिन्न खोजें

समाधान।आइए अभिन्न के गुणों का उपयोग करें और इस अभिन्न को कई सारणीबद्ध में कम करें।

4. प्रतिस्थापन विधि द्वारा एकीकरण.

विधि का सार यह है कि हम एक नया चर पेश करते हैं, इस चर के माध्यम से इंटीग्रैंड को व्यक्त करते हैं, और परिणामस्वरूप हम इंटीग्रल के एक सारणीबद्ध (या सरल) रूप पर पहुंचते हैं।

बहुत बार, त्रिकोणमितीय कार्यों और कार्यों को रेडिकल के साथ एकीकृत करते समय प्रतिस्थापन विधि बचाव में आती है।

उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें .

समाधान।

आइए एक नया वेरिएबल पेश करें। आइए व्यक्त करें एक्सके माध्यम से जेड:

हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं:

हमारे पास प्रतिअवकलन की तालिका है .

मूल चर पर लौटना बाकी है एक्स:

उत्तर:

इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण को प्राचीन मिस्र में जाना जाता था। बेशक, अपने आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन फिर भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण की बुनियादी बातों के बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होगी। हमारे ब्लॉग पर इंटीग्रल को समझने के लिए आवश्यक के बारे में पहले से ही जानकारी है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .

दूसरे शब्दों में, समाकलन विपरीत या प्रतिअवकलन में व्युत्पन्न है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।

सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में रखना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

छात्रों के लिए अभिन्नों की पूरी तालिका

समाकलन परिभाषित करें

अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। इंटीग्रल एक आकृति के क्षेत्रफल, एक गैर-समान पिंड का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान तय की गई दूरी और बहुत कुछ की गणना करने में मदद करेगा। यह याद रखना चाहिए कि एक पूर्णांक एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या में अतिसूक्ष्म पदों का योग है।

उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।

बारी अलीबासोव और समूह "इंटीग्रल"

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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।

• इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

• स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:

• योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है। यह अंतर के लिए भी सत्य है:

एक निश्चित अभिन्न के गुण

• रैखिकता:

• यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:

• पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हमारा सुझाव है कि आप स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाएं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। छात्रों के लिए एक पेशेवर सेवा से संपर्क करें, और एक बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपके अधिकार में होगा।

विषय: एक चर के कार्यों को एकीकृत करना

व्याख्यान संख्या 1

योजना:

1. प्रतिव्युत्पन्न कार्य।

2. परिभाषाएँ और सरलतम गुण।

परिभाषा।किसी फ़ंक्शन F(x) को दिए गए अंतराल J पर किसी फ़ंक्शन f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि इस अंतराल से सभी x के लिए F`(x)= f(x)। अतः फलन F(x)=x 3 (- ∞ ; ∞) पर f(x)=3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है।
चूँकि सभी x ~R के लिए समानता सत्य है: F`(x)=(x 3)`=3x 2

उदाहरण 1।आइए संपूर्ण संख्या रेखा पर - अंतराल पर फ़ंक्शन पर विचार करें। तब फ़ंक्शन ऑन के लिए एक प्रतिअवकलन है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए इसका व्युत्पन्न खोजें:

चूँकि समानता सभी के लिए सत्य है, तो यह पर के लिए प्रतिअवकलन है।

उदाहरण 2.फ़ंक्शन F(x)=x अंतराल (0; +) पर सभी f(x)= 1/x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि इस अंतराल से सभी x के लिए, समानता कायम है।
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

उदाहरण 3.फ़ंक्शन F(x)=tg3x अंतराल (-n/) पर f(x)=3/cos3x के लिए एक प्रतिअवकलन है 2; पी/ 2),
क्योंकि F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

उदाहरण 4.फ़ंक्शन F(x)=3sin4x+1/x-2 अंतराल पर f(x)=12cos4x-1/x 2 के लिए प्रतिअवकलन है (0;∞)
क्योंकि F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. मान लीजिए कि कार्यों के लिए प्रतिअवकलन हैं और, तदनुसार, ए, बी,क- स्थायी, । तब: - फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन; - किसी फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न; -किसी फ़ंक्शन के लिए एक प्रतिअवकलन।

2. स्थिर गुणांक को एकीकरण चिह्न से निकाला जा सकता है:

फ़ंक्शन एक एंटीडेरिवेटिव से मेल खाता है।

3. कार्यों के योग का प्रतिअवकलन इन कार्यों के प्रतिअवकलन के योग के बराबर है:

कार्यों का योग प्रतिअवकलजों के योग से मेल खाता है।

प्रमेय: (प्रतिअवकलन फलन का मुख्य गुण)

यदि F(x) अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है, तो इस फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट का रूप है: F(x)+C, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।

सबूत:

मान लीजिए F`(x) = f (x), तो (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J के लिए।
मान लीजिए कि अंतराल J पर Φ(x) मौजूद है - f (x) के लिए एक और प्रतिअवकलन, यानी। Φ`(x) = f (x),
तब (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J के लिए।
इसका मतलब है कि Φ(x) - F(x) अंतराल J पर स्थिर है।
इसलिए, Φ(x) - F(x) = C.
जहां से Φ(x)= F(x)+C.
इसका मतलब यह है कि यदि F(x) अंतराल J पर किसी फ़ंक्शन f (x) के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो इस फ़ंक्शन के सभी प्रतिअवकलन के सेट का रूप होगा: F(x)+C, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।
परिणामस्वरूप, किसी दिए गए फलन के कोई भी दो प्रतिअवकलज एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं।

उदाहरण 6:फलन f (x) = cos x के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। पहले तीन के ग्राफ़ बनाएं।

समाधान:फ़ंक्शन f (x) = cos x के लिए पाप x प्रतिअवकलन में से एक है
एफ(х) = सिनх+С - सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय।

एफ 1 (एक्स) = पाप एक्स-1
एफ 2 (एक्स) = पाप एक्स
एफ 3 (एक्स) = पाप एक्स+1

ज्यामितीय चित्रण:किसी भी प्रतिअवकलन F(x)+C का ग्राफ r (0;c) के समानांतर स्थानांतरण का उपयोग करके प्रतिअवकलन F(x) के ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण 7:फ़ंक्शन f (x) = 2x के लिए, एक प्रतिअवकलन खोजें जिसका ग्राफ t.M (1;4) से होकर गुजरता है

समाधान: F(x)=x 2 +C - सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय, F(1)=4 - समस्या की स्थितियों के अनुसार।
इसलिए, 4 = 1 2 +C
सी = 3
एफ(एक्स) = एक्स 2 +3

प्रमेय 1. मान लीजिए कि अंतराल पर कुछ प्रतिअवकलन हैं और मान लीजिए कि यह एक मनमाना स्थिरांक है। तब फलन ऑन के लिए प्रतिअवकलन भी है।

सबूत. आइए हम दिखाते हैं कि व्युत्पन्न का व्युत्पन्न:

सबके सामने। इस प्रकार, के लिए एक प्रतिअवकलन है।

इसलिए, यदि ऑन के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो किसी भी स्थिति में, सभी प्रतिअवकलन के सेट में फॉर्म के सभी कार्य शामिल होते हैं। आइए हम दिखाएं कि सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट में कोई अन्य फ़ंक्शन शामिल नहीं है, यानी, एक निश्चित फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव्स केवल एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं।

प्रमेय 2 आज्ञा देना पर के लिए एक प्रतिअवकलन हो और कुछ अन्य प्रतिअवकलन हो। तब

कुछ स्थिरांक पर.

सबूत. आइए अंतर पर विचार करें. तब से और, तब से। आइए हम दिखाएं कि एक फ़ंक्शन ऐसा है जो सभी के लिए स्थिर है। ऐसा करने के लिए, दो मनमाने बिंदुओं पर विचार करें और, और (इसे) के बीच के खंड से संबंधित करें परिमित वृद्धि सूत्र

कहाँ। (याद रखें कि यह सूत्र इसका परिणाम है लैग्रेंज के प्रमेय, जिसे हमने पहले सेमेस्टर में देखा था)। चूंकि सभी बिंदुओं पर, और, फिर भी शामिल है। नतीजतन, एक मनमाने बिंदु पर फ़ंक्शन उस बिंदु के समान ही मान लेता है, अर्थात।

एक प्रतिअवकलन के लिए, इसका मतलब है कि किसी के लिए, अर्थात्,

पहले, किसी दिए गए फ़ंक्शन को देखते हुए, विभिन्न सूत्रों और नियमों द्वारा निर्देशित होकर, हमने उसका व्युत्पन्न पाया था। व्युत्पन्न के कई उपयोग हैं: यह गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

लेकिन गति के ज्ञात नियम के अनुसार गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ एक विपरीत समस्या भी है - ज्ञात गति के अनुसार गति के नियम को बहाल करने की समस्या। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 1।एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है, समय t पर इसकी गति सूत्र v=gt द्वारा दी जाती है। गति का नियम खोजें.
समाधान। मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = v(t)। इसका मतलब है कि समस्या को हल करने के लिए आपको एक फ़ंक्शन s = s(t) का चयन करना होगा, जिसका व्युत्पन्न gt के बराबर है। इसका अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है वह \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).वास्तव में
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
उत्तर: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

आइए तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अधूरा। हमें \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) मिला। वास्तव में, समस्या के असीमित रूप से कई समाधान हैं: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, एक नियम के रूप में कार्य कर सकता है गति, क्योंकि \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

समस्या को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करना था: किसी समय में एक गतिशील बिंदु के निर्देशांक को इंगित करना, उदाहरण के लिए t = 0 पर। यदि, मान लीजिए, s(0) = s 0, तो से समानता s(t) = (gt 2)/2 + C हमें मिलता है: s(0) = 0 + C, यानी C = s 0. अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है: s(t) = (gt 2)/2 + s 0।

गणित में, परस्पर व्युत्क्रम संक्रियाओं को अलग-अलग नाम दिए जाते हैं, विशेष संकेतन का आविष्कार किया जाता है, उदाहरण के लिए: वर्ग (x 2) और वर्गमूल (\(\sqrt(x) \)), साइन (sin x) और आर्कसाइन (arcsin x) और आदि किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभाव, और व्युत्क्रम ऑपरेशन, यानी किसी दिए गए व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है एकीकरण.

शब्द "व्युत्पन्न" को स्वयं "रोज़मर्रा के संदर्भ में" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y = f(x) एक नए फ़ंक्शन y" = f"(x) को "जन्म देता है"। फ़ंक्शन y = f(x) एक "जनक" के रूप में कार्य करता है, लेकिन गणितज्ञ, स्वाभाविक रूप से, इसे "जनक" या "निर्माता" नहीं कहते हैं; वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y" = f"( के संबंध में है) x) , प्राथमिक छवि, या आदिम।

परिभाषा।फ़ंक्शन y = F(x) को अंतराल X पर फ़ंक्शन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि समानता F"(x) = f(x) \(x \in

व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (फ़ंक्शन की परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।

चलिए उदाहरण देते हैं.
1) फ़ंक्शन y = x 2, फ़ंक्शन y = 2x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 2)" = 2x सत्य है
2) फ़ंक्शन y = x 3, फ़ंक्शन y = 3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य है
3) फ़ंक्शन y = syn(x) फ़ंक्शन y = cos(x) के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (sin(x))" = cos(x) सत्य है

प्रतिअवकलज, साथ ही व्युत्पन्न ढूँढते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है, बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।

हम जानते हैं कि किसी राशि का अवकलज उसके अवकलजों के योग के बराबर होता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।

नियम 1।किसी योग का प्रतिअवकलन, प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है।

हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।

नियम 2.यदि F(x) f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो kF(x) kf(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।

प्रमेय 1.यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन y = f(kx + m) के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन \(y=\frac(1)(k)F है (kx+m) \)

प्रमेय 2.यदि y = F(x) अंतराल + सी.

एकीकरण के तरीके

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि में एक नया एकीकरण चर (अर्थात् प्रतिस्थापन) शामिल करना शामिल है। इस मामले में, दिए गए इंटीग्रल को एक नए इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, जो सारणीबद्ध या इसके लिए कम करने योग्य होता है। प्रतिस्थापनों के चयन के लिए कोई सामान्य विधियाँ नहीं हैं। प्रतिस्थापन को सही ढंग से निर्धारित करने की क्षमता अभ्यास के माध्यम से प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए कि अभिन्न \(\textstyle \int F(x)dx \) की गणना करना आवश्यक है। आइए प्रतिस्थापन करें \(x= \varphi(t) \) जहां \(\varphi(t) \) एक फ़ंक्शन है जिसमें निरंतर व्युत्पन्न है।
फिर \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के आधार पर, हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) फॉर्म के भावों का एकीकरण

यदि m विषम है, m > 0, तो प्रतिस्थापन पाप x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n विषम है, n > 0, तो प्रतिस्थापन cos x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n और m सम हैं, तो प्रतिस्थापन tg x = t करना अधिक सुविधाजनक है।

भागों द्वारा एकीकरण

भागों द्वारा एकीकरण - एकीकरण के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करना:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
या:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

कुछ फलनों के अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलन) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) एक्स +सी $$