एकल समता और दोहरी समता के वर्ग बनाने की विभिन्न तकनीकें हैं।

जादू वर्ग

चीन को जादुई चौकों का जन्मस्थान माना जाता है। चीन में, फेंग शुई की शिक्षा है, जिसमें कहा गया है कि अंतरिक्ष में प्रत्येक तत्व का रंग, आकार और भौतिक स्थान क्यूई के प्रवाह को प्रभावित करता है, या तो इसे धीमा कर देता है, इसे पुनर्निर्देशित करता है या इसे तेज कर देता है, जो सीधे ऊर्जा स्तर को प्रभावित करता है। निवासियों का. दुनिया के रहस्यों को जानने के लिए देवताओं ने सम्राट यू को सबसे प्राचीन प्रतीक लो शू स्क्वायर (लो-नदी) भेजा।

मैजिक स्क्वायर लो शू

किंवदंती है कि लगभग चार हजार साल पहले, एक बड़ा कछुआ, शू, लुओ नदी के तूफानी पानी से निकला था। नदी में बलिदान देने वाले लोगों ने कछुए को देखा और तुरंत उसे देवता के रूप में पहचान लिया। प्राचीन ऋषियों के विचार सम्राट यू को इतने उचित लगे कि उन्होंने कछुए की छवि को कागज पर अमर करने का आदेश दिया और इसे अपनी शाही मुहर से सील कर दिया। अन्यथा, हमें इस घटना के बारे में कैसे पता चलता?

यह कछुआ वास्तव में विशेष था क्योंकि इसके खोल पर बिंदुओं का एक अजीब पैटर्न था। बिंदुओं को क्रमबद्ध तरीके से चिह्नित किया गया था, जिससे प्राचीन दार्शनिकों को यह विचार आया कि कछुए के खोल पर संख्याओं वाला वर्ग अंतरिक्ष के एक मॉडल के रूप में कार्य करता है - चीनी सभ्यता के पौराणिक संस्थापक हुआंग डि द्वारा संकलित दुनिया का एक नक्शा। वास्तव में, वर्ग के स्तंभों, पंक्तियों और दोनों विकर्णों की संख्याओं का योग समान M = 15 है और चीनी सौर वर्ष के 24 चक्रों में से प्रत्येक में दिनों की संख्या के बराबर है।

सम और विषम संख्याएँ वैकल्पिक: 4 सम संख्याएँ (घटते क्रम में नीचे से ऊपर तक लिखी गईं) चारों कोनों में हैं, और 5 विषम संख्याएँ (आरोही क्रम में नीचे से ऊपर तक लिखी गईं) वर्ग के केंद्र में एक क्रॉस बनाती हैं। क्रॉस के पांच तत्व पृथ्वी, अग्नि, धातु, जल और जंगल को दर्शाते हैं। एक केंद्र द्वारा अलग की गई किन्हीं दो संख्याओं का योग हो टीआई संख्या के बराबर होता है, अर्थात। दस।

लो शू की सम संख्याएं (पृथ्वी प्रतीक) कछुए के शरीर पर काले बिंदुओं, या यिन प्रतीकों के रूप में और विषम संख्याएं (स्वर्ग प्रतीक) - सफेद बिंदुओं, या यांग प्रतीकों के रूप में अंकित की गईं। पृथ्वी 1 (या जल) नीचे है, अग्नि 9 (या आकाश) ऊपर है। यह संभव है कि रचना के केंद्र में रखी संख्या 5 की आधुनिक छवि, यांग और यिन के द्वंद्व के चीनी प्रतीक के कारण है।

खजुराहो से जादुई चौराहा

पूर्व कक्ष

जोसेफ रुडयार्ड किपलिंग का जादू, जिन्होंने मोगली, बघीरा, बालू, शेर खान और निश्चित रूप से, तबाका की छवियां बनाईं, बीसवीं शताब्दी की पूर्व संध्या पर शुरू हुईं। आधी सदी पहले, फरवरी 1838 में, बंगाल इंजीनियर्स के एक युवा ब्रिटिश अधिकारी, टी.एस. बर्ट, अपनी पालकी ले जाने वाले नौकरों की बातचीत में रुचि रखते हुए, मार्ग से भटक गया और भारत के जंगलों में प्राचीन मंदिरों पर ठोकर खाई।

विश्वनाथ मंदिर की सीढ़ियों पर, अधिकारी को संरचनाओं की प्राचीनता की गवाही देने वाला एक शिलालेख मिला। थोड़े समय के बाद, ऊर्जावान मेजर जनरल ए. कनिंघम ने खजुराहो के लिए विस्तृत योजनाएँ बनाईं। खुदाई शुरू हुई और 22 मंदिरों की सनसनीखेज खोज हुई। मंदिरों का निर्माण उनके चंदेल वंश के महाराजाओं द्वारा किया गया था। उनके राज्य के पतन के बाद, जंगल ने एक हजार वर्षों तक इमारतों को निगल लिया। नग्न देवी-देवताओं की छवियों के बीच पाया गया चतुर्थ क्रम का वर्ग अद्भुत था।

इस वर्ग का योग न केवल पंक्तियों, स्तंभों और विकर्णों के साथ मेल खाता है और 34 के बराबर है। वे तब बने टूटे हुए विकर्णों के साथ भी मेल खाते हैं जब वर्ग को एक टोरस में मोड़ा जाता है, और दोनों दिशाओं में। संख्याओं के ऐसे जादू-टोने के लिए, ऐसे वर्गों को "शैतानी" (या "पैंडीगोनल", या "नासिक") कहा जाता है।

बेशक, यह उनके रचनाकारों की असामान्य गणितीय क्षमताओं की गवाही देता है, जो उपनिवेशवादियों से बेहतर थे। सफेद पिथ हेलमेट में लोगों को अनिवार्य रूप से क्या महसूस हुआ।

ड्यूरर का जादुई वर्ग

16वीं सदी की शुरुआत के प्रसिद्ध जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने यूरोपीय कला में पहला 4x4 जादुई वर्ग बनाया। किसी भी पंक्ति, स्तंभ, विकर्ण और आश्चर्यजनक रूप से, प्रत्येक तिमाही में (यहां तक ​​कि केंद्रीय वर्ग में भी) संख्याओं का योग और यहां तक ​​कि कोने की संख्याओं का योग 34 है। निचली पंक्ति में दो मध्य संख्याएं तारीख दर्शाती हैं पेंटिंग के निर्माण का (1514)। पहले कॉलम के मध्य वर्गों में सुधार किए गए हैं - संख्याएँ विकृत हैं।

गुप्त पंखों वाले चूहे शनि के साथ चित्र में, जादुई वर्ग पंखों वाले बुद्धि बृहस्पति से बना है, जो एक दूसरे का विरोध करते हैं। वर्ग सममित है, क्योंकि इसमें शामिल दो संख्याओं का योग, जो इसके केंद्र के सममित रूप से स्थित है, 17 के बराबर है। यदि आप शतरंज के घोड़े की चाल से प्राप्त चार संख्याओं को जोड़ते हैं, तो आपको 34 मिलेगा। वास्तव में , यह वर्ग, अपनी त्रुटिहीन व्यवस्था के साथ, उस उदासी को दर्शाता है जिसने कलाकार को जकड़ लिया है।

सुबह का सपना.

बीजान्टिन लेखक और भाषाविद् मोस्चोपोलोस द्वारा यूरोपीय लोगों को अद्भुत संख्या वर्गों से परिचित कराया गया था। उनका काम इस विषय पर एक विशेष निबंध था और इसमें लेखक के जादुई वर्गों के उदाहरण शामिल थे।

जादुई वर्गों का व्यवस्थितकरण

16वीं शताब्दी के मध्य में। यूरोप में, ऐसे कार्य सामने आए जिनमें जादुई वर्ग गणितीय अनुसंधान की वस्तुओं के रूप में दिखाई दिए। इसके बाद कई अन्य कार्य किए गए, विशेष रूप से ऐसे प्रसिद्ध गणितज्ञों द्वारा, आधुनिक विज्ञान के संस्थापक, जैसे स्टिफ़ेल, बास्केट, पास्कल, फ़र्मेट, बेसी, यूलर, गॉस।

मैजिकल, या एक जादुई वर्ग, एक वर्गाकार तालिका है जो n 2 संख्याओं से इस प्रकार भरी होती है कि प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ और दोनों विकर्णों पर संख्याओं का योग समान होता है। परिभाषा सशर्त है, क्योंकि पूर्वजों ने भी अर्थ जोड़ा था, उदाहरण के लिए, रंग से।

सामान्य 1 से n 2 तक पूर्णांकों से भरा जादुई वर्ग कहलाता है। n = 2 को छोड़कर सभी आदेशों के लिए सामान्य जादू वर्ग मौजूद हैं, हालांकि मामला n = 1 तुच्छ है - वर्ग में एक ही संख्या होती है।

प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण की संख्याओं का योग कहलाता है जादुई स्थिरांकएम. एक सामान्य जादुई वर्ग का जादुई स्थिरांक केवल n पर निर्भर करता है और सूत्र द्वारा दिया जाता है

एम = एन (एन 2 + 1) /2

जादू स्थिरांक के पहले मान तालिका में दिए गए हैं

यदि किसी वर्ग में संख्याओं का योग केवल पंक्तियों और स्तंभों में समान हो, तो उसे कहा जाता है अर्द्ध जादुई. जादुई वर्ग कहा जाता है जोड़नेवालाया सममित, यदि वर्ग के केंद्र के चारों ओर सममित रूप से स्थित किन्हीं दो संख्याओं का योग n 2 + 1 के बराबर है।

तीसरे क्रम का केवल एक सामान्य वर्ग है। बहुत से लोग उसे जानते थे. लो शू वर्ग में संख्याओं की व्यवस्था कबला में आत्माओं के प्रतीकात्मक पदनाम और भारतीय ज्योतिष के संकेतों के समान है।

इसे शनि वर्ग के नाम से भी जाना जाता है। मध्य युग में कुछ गुप्त समाजों ने इसे "नौ कक्षों के कबला" के रूप में देखा। निस्संदेह, निषिद्ध जादू की छाया उनकी छवियों के संरक्षण के लिए बहुत मायने रखती थी।

यह मध्ययुगीन अंकज्योतिष में महत्वपूर्ण था, जिसे अक्सर ताबीज या भविष्यवाणी सहायता के रूप में उपयोग किया जाता था। प्रत्येक कोशिका एक रहस्यमय अक्षर या अन्य प्रतीक से मेल खाती है। एक विशिष्ट पंक्ति के साथ एक साथ पढ़ें, ये संकेत गुप्त संदेश देते हैं। जन्मतिथि बनाने वाले अंकों को वर्ग की कोशिकाओं में रखा गया और फिर संख्याओं के अर्थ और स्थान के आधार पर उनका अर्थ निकाला गया।

पैंडिगोनल के बीच, जैसा कि उन्हें शैतानी जादुई वर्ग भी कहा जाता है, सममित वाले प्रतिष्ठित हैं - आदर्श वाले। यदि आप इसे घुमाते हैं, इसे प्रतिबिंबित करते हैं, पंक्ति को ऊपर से नीचे तक पुनर्व्यवस्थित करते हैं और इसके विपरीत, दाएं या बाएं तरफ एक कॉलम को पार करते हैं और इसे विपरीत दिशा में असाइन करते हैं तो शैतानी वर्ग शैतानी ही रहता है। कुल मिलाकर पाँच परिवर्तन हैं, बाद वाले का आरेख चित्र में दिखाया गया है

घूर्णन और प्रतिबिंब परिशुद्धता के साथ 48 4x4 शैतानी वर्ग हैं। यदि हम टोरिक समानांतर अनुवादों के संबंध में समरूपता को भी ध्यान में रखते हैं, तो केवल तीन अनिवार्य रूप से भिन्न 4x4 शैतानी वर्ग बचते हैं:

एक प्रसिद्ध अमेरिकी वास्तुकार, क्लॉड एफ. ब्रैगडन ने पाया कि एक टूटी हुई रेखा पर केवल सम या केवल विषम संख्या वाले जादुई वर्गों वाली कोशिकाओं को एक-एक करके जोड़ने से, ज्यादातर मामलों में हमें एक सुंदर पैटर्न मिलता है। रोचेस्टर, न्यूयॉर्क में चैंबर ऑफ कॉमर्स की छत में वेंटिलेशन ग्रिल के लिए उन्होंने जिस पैटर्न का आविष्कार किया था, वह लो-शू तावीज़ की जादुई टूटी हुई रेखा से बनाया गया था। ब्रैगडन ने कपड़े, पुस्तक कवर, वास्तुशिल्प सजावट और सजावटी हेडपीस के लिए डिजाइन के रूप में "जादुई रेखाओं" का उपयोग किया।

यदि आप समान शैतानी वर्गों की एक मोज़ेक बिछाते हैं (प्रत्येक वर्ग अपने पड़ोसियों के निकट होना चाहिए), तो आपको एक लकड़ी की छत जैसा कुछ मिलेगा, जिसमें 4x4 कोशिकाओं के किसी भी समूह में संख्याएं एक शैतानी वर्ग का निर्माण करेंगी। चार कोशिकाओं में संख्याएँ, एक के बाद एक, चाहे वे कैसे भी स्थित हों - लंबवत, क्षैतिज या विकर्ण - हमेशा वर्ग के स्थिरांक में जुड़ती हैं। आधुनिक गणितज्ञ ऐसे वर्गों को "परिपूर्ण" कहते हैं।

लैटिन वर्ग

लैटिन वर्ग एक प्रकार का अनियमित गणितीय वर्ग है जो n विभिन्न प्रतीकों से इस प्रकार भरा होता है कि सभी n प्रतीक प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ (प्रत्येक एक बार) में दिखाई देते हैं।

किसी भी n के लिए लैटिन वर्ग मौजूद हैं। कोई भी लैटिन वर्ग एक अर्धसमूह की गुणन तालिका (केली तालिका) है। "लैटिन स्क्वायर" नाम लियोनहार्ड यूलर से आया है, जिन्होंने तालिका में संख्याओं के बजाय लैटिन अक्षरों का उपयोग किया था।

दो लैटिन वर्ग कहलाते हैं ओर्थोगोनल, यदि प्रतीकों (ए,बी) के सभी क्रमित जोड़े अलग-अलग हैं, जहां ए पहले लैटिन वर्ग के कुछ सेल में एक प्रतीक है, और बी दूसरे लैटिन वर्ग के उसी सेल में एक प्रतीक है।

ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग 2 और 6 को छोड़कर किसी भी क्रम के लिए मौजूद हैं। n एक अभाज्य संख्या की शक्ति होने के लिए, n-1 जोड़ीदार ऑर्थोगोनल लैटिन वर्गों का एक सेट है। यदि लैटिन वर्ग के प्रत्येक विकर्ण में सभी तत्व अलग-अलग हों, तो ऐसे लैटिन वर्ग को कहा जाता है विकर्ण. 2, 3, और 6 को छोड़कर सभी क्रमों के लिए ऑर्थोगोनल विकर्ण लैटिन वर्गों के जोड़े मौजूद हैं। लैटिन वर्ग अक्सर शेड्यूलिंग समस्याओं में पाया जाता है क्योंकि पंक्तियों और स्तंभों में संख्याएं दोहराई नहीं जाती हैं।

दो ऑर्थोगोनल लैटिन वर्गों के तत्वों के जोड़े से बने वर्ग को कहा जाता है ग्रीको-लैटिन वर्ग. ऐसे वर्गों का उपयोग अक्सर जादुई वर्ग बनाने और जटिल शेड्यूलिंग समस्याओं में किया जाता है।

ग्रीको-लैटिन वर्गों का अध्ययन करते समय, यूलर ने साबित किया कि दूसरे क्रम के वर्ग मौजूद नहीं हैं, लेकिन 3, 4 और 5 क्रम के वर्ग पाए गए। उसे क्रम 6 का एक भी वर्ग नहीं मिला। उन्होंने परिकल्पना की कि सम क्रम का कोई भी वर्ग ऐसा नहीं है जो 4 (अर्थात् 6, 10, 14, आदि) से विभाज्य न हो। 1901 में, गैस्टन टेरी ने क्रूर बल द्वारा छठे क्रम की परिकल्पना की पुष्टि की। लेकिन 1959 में, ई. टी. पार्कर, आर. सी. बोवेस और एस. एस. श्रीकहर्ड ने इस परिकल्पना का खंडन किया, जिन्होंने क्रम 10 के ग्रेको-लैटिन वर्ग की खोज की।

पॉलीमिनो आर्थर क्लार्क

पॉलीओमिनोज़ - जटिलता के संदर्भ में, वे निश्चित रूप से सबसे कठिन गणितीय वर्गों की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार विज्ञान कथा लेखक ए. क्लार्क उनके बारे में लिखते हैं - नीचे "अर्थली एम्पायर" पुस्तक का एक अंश दिया गया है। यह स्पष्ट है कि क्लार्क, अपने द्वीप पर रहते हुए, सीलोन में रहते थे - और समाज से अलग होने का उनका दर्शन अपने आप में दिलचस्प है, लड़के की दादी जो मनोरंजन सिखाती हैं, उसमें उनकी रुचि हो गई और उन्होंने इसे हम तक पहुँचाया। आइए हम मौजूदा व्यवस्थितकरणों के बजाय इस जीवंत विवरण को प्राथमिकता दें, जो शायद, सार को व्यक्त करता है, लेकिन खेल की भावना को नहीं।

"अब तुम काफी बड़े लड़के हो, डंकन, और तुम इस खेल को समझने में सक्षम होगे... हालाँकि, यह एक खेल से कहीं अधिक है।" अपनी दादी के शब्दों के विपरीत, डंकन खेल से प्रभावित नहीं था। खैर, आप पांच सफेद प्लास्टिक वर्गों से क्या बना सकते हैं?

"सबसे पहले," दादी ने आगे कहा, "आपको यह जांचने की ज़रूरत है कि आप वर्गों से कितने अलग-अलग पैटर्न एक साथ रख सकते हैं।"

– क्या उन्हें मेज पर लेटना चाहिए? - डंकन ने पूछा।

- हां, उन्हें छूकर झूठ बोलना चाहिए। आप एक वर्ग को दूसरे वर्ग के साथ ओवरलैप नहीं कर सकते.

डंकन ने वर्ग बनाना शुरू किया।

"ठीक है, मैं उन सभी को एक सीधी रेखा में रख सकता हूँ," उसने शुरू किया। "इस तरह... और फिर मैं दो टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित कर सकता हूँ और अक्षर L प्राप्त कर सकता हूँ... और यदि मैं दूसरे किनारे को पकड़ता हूँ, तो मुझे अक्षर मिलता है यू..."

लड़के ने तुरंत आधा दर्जन संयोजन बनाए, फिर और अधिक, और अचानक पता चला कि वे मौजूदा संयोजनों को दोहरा रहे थे।

- शायद मैं मूर्ख हूं, लेकिन बस इतना ही।

डंकन सबसे सरल आकृतियों से चूक गया - एक क्रॉस, जिसे बनाने के लिए पांचवें, केंद्रीय वाले के किनारों पर चार वर्ग बनाना पर्याप्त था।

दादी मुस्कुराईं, "ज्यादातर लोग क्रूस से शुरुआत करते हैं। मेरी राय में, आपने खुद को बेवकूफ घोषित करने में बहुत जल्दबाजी की।" बेहतर होगा सोचें: क्या कोई अन्य आंकड़े भी हो सकते हैं?

चौकों को ध्यान से घुमाते हुए, डंकन को तीन और आकृतियाँ मिलीं, और फिर खोज करना बंद कर दिया।

“अब यह निश्चित रूप से ख़त्म हो गया है,” उन्होंने आत्मविश्वास से कहा।

– ऐसे आंकड़े के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

चौकों को थोड़ा सा हिलाने के बाद, दादी ने उन्हें एक कूबड़ वाले अक्षर एफ के आकार में मोड़ दिया।

- और यहाँ एक और है।

डंकन को ऐसा महसूस हुआ जैसे वह पूरी तरह से मूर्ख हो, और उसकी दादी के शब्द उसकी शर्मिंदा आत्मा पर मरहम की तरह थे:

- आप बहुत अच्छे हैं। ज़रा सोचो, मुझसे केवल दो टुकड़े छूट गए। और अंकों की कुल संख्या बारह है। न कम और न ज्यादा। अब आप उन सभी को जानते हैं. यदि आप अनंत काल तक खोजते रहेंगे, तो आपको कभी दूसरा नहीं मिलेगा।

दादी ने पाँच सफ़ेद चौकोर टुकड़ों को एक कोने में रख दिया और मेज पर एक दर्जन चमकीले, बहु-रंगीन प्लास्टिक के टुकड़े रख दिए। ये वही बारह आकृतियाँ थीं, लेकिन तैयार रूप में, और प्रत्येक में पाँच वर्ग थे। डंकन पहले से ही इस बात से सहमत होने के लिए तैयार था कि वास्तव में कोई अन्य आकृतियाँ मौजूद नहीं थीं।

लेकिन चूँकि दादी ने ये बहुरंगी धारियाँ बिछाईं, इसका मतलब है कि खेल जारी है, और एक और आश्चर्य डंकन की प्रतीक्षा कर रहा है।

- अब, डंकन, ध्यान से सुनो। इन आकृतियों को "पेंटामिनोज़" कहा जाता है। यह नाम ग्रीक शब्द "पेंटा" से आया है, जिसका अर्थ है "पांच"। सभी आकृतियाँ क्षेत्रफल में समान हैं, क्योंकि प्रत्येक में पाँच समान वर्ग हैं। बारह आकृतियाँ हैं, पाँच वर्ग, इसलिए, कुल क्षेत्रफल साठ वर्गों के बराबर होगा। सही?

- हम्म हाँ.

- आगे सुनिए. साठ एक अद्भुत गोल संख्या है जिसे कई तरीकों से बनाया जा सकता है। सबसे आसान है दस को छह से गुणा करना। इस बॉक्स में ऐसा क्षेत्र है: यह क्षैतिज रूप से दस वर्ग और लंबवत रूप से छह वर्ग रख सकता है। इसलिए, सभी बारह आंकड़े इसमें फिट होने चाहिए। सरल, किसी समग्र चित्र-पहेली की तरह।

डंकन को कैच की उम्मीद थी. दादी को मौखिक और गणितीय विरोधाभास पसंद थे, और ये सभी उसके दस वर्षीय पीड़ित को समझ में नहीं आते थे। लेकिन इस बार कोई विरोधाभास नहीं था. बॉक्स के निचले भाग में साठ वर्ग पंक्तिबद्ध थे, जिसका अर्थ है... रुकें! क्षेत्रफल तो क्षेत्रफल है, लेकिन आकृतियों के आकार अलग-अलग हैं। उन्हें एक डिब्बे में रखने का प्रयास करें!

दादी ने घोषणा की, "मैं इस कार्य को आप पर ही हल कर दूंगी," दादी ने घोषणा की, यह देखकर कि कैसे वह दुखी होकर पेंटोमिनो को डिब्बे के नीचे की ओर ले जा रहा था। "मेरा विश्वास करो, उन्हें इकट्ठा किया जा सकता है।"

जल्द ही डंकन को अपनी दादी की बातों पर गहरा संदेह होने लगा। वह आसानी से बॉक्स में दस आंकड़े फिट करने में कामयाब रहा, और एक बार वह ग्यारहवें को भी निचोड़ने में कामयाब रहा। लेकिन खाली जगह की रूपरेखा बारहवीं आकृति की रूपरेखा से मेल नहीं खाती थी, जिसे लड़का अपने हाथों में घुमा रहा था। वहाँ एक क्रॉस था, और शेष आकृति Z अक्षर से मिलती जुलती थी...

अगले आधे घंटे के बाद, डंकन पहले से ही निराशा की कगार पर था। दादी अपने कंप्यूटर के साथ बातचीत में डूबी हुई थीं, लेकिन समय-समय पर वह उसे दिलचस्पी से देखती थीं, मानो कह रही हों: "यह उतना आसान नहीं है जितना आपने सोचा था।"

दस साल की उम्र में, डंकन काफ़ी जिद्दी था। उसके अधिकांश साथियों ने बहुत पहले ही प्रयास करना छोड़ दिया होगा। (केवल कई वर्षों के बाद ही उसे एहसास हुआ कि उसकी दादी ने शालीनतापूर्वक उसका मनोवैज्ञानिक परीक्षण किया था।) डंकन बिना किसी सहायता के लगभग चालीस मिनट तक जीवित रहा...

तभी दादी कंप्यूटर से उठीं और पहेली पर झुक गईं। उसकी उँगलियाँ U, X और L आकृतियाँ घुमा रही थीं...

डिब्बे का निचला हिस्सा पूरी तरह भरा हुआ था! पहेली के सभी टुकड़े सही जगह पर थे।

- बेशक, आपको उत्तर पहले से पता था! - डंकन ने नाराज होकर हाथ खींचा।

- उत्तर? - दादी ने पूछा। "आपको क्या लगता है पेंटोमिनो को इस बॉक्स में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?"

यहाँ यह है, एक जाल. डंकन बिना कोई समाधान ढूंढे लगभग एक घंटे तक इधर-उधर घूमता रहा, हालाँकि इस दौरान उसने कम से कम सौ विकल्प आज़माए। उसने सोचा कि केवल एक ही रास्ता है। क्या वहाँ...उनमें से बारह हो सकते हैं? या अधिक?

- तो आपके विचार से इसके कितने तरीके हो सकते हैं? – दादी ने फिर पूछा.

"बीस," डंकन ने यह सोचते हुए कहा कि अब दादी को कोई आपत्ति नहीं होगी।

- पुनः प्रयास करें।

डंकन को खतरा महसूस हुआ. यह मज़ा जितना उसने सोचा था उससे कहीं अधिक चालाकी भरा निकला, और लड़के ने बुद्धिमानी से इसे जोखिम में न डालने का निर्णय लिया।

"वास्तव में, मुझे नहीं पता," उसने अपना सिर हिलाते हुए कहा।

"और तुम एक ग्रहणशील लड़का हो," दादी फिर मुस्कुराईं। "अंतर्ज्ञान एक खतरनाक मार्गदर्शक है, लेकिन कभी-कभी हमारे पास कोई दूसरा नहीं होता।" मैं आपको खुश कर सकता हूं: यहां सही उत्तर का अनुमान लगाना असंभव है। इस बॉक्स में पेंटोमिनो को फिट करने के दो हजार से अधिक अलग-अलग तरीके हैं। अधिक सटीक रूप से, दो हजार तीन सौ उनतीस। और आप इस पर क्या कहते हैं?

यह संभावना नहीं है कि उसकी दादी उसे धोखा दे रही थी। लेकिन डंकन समाधान ढूंढने में अपनी असमर्थता से इतना निराश था कि वह मदद नहीं कर सका लेकिन बोल पड़ा:

- मुझे विश्वास नहीं हो रहा!

हेलेन ने शायद ही कभी चिड़चिड़ापन दिखाया हो। जब डंकन ने उसे किसी तरह से ठेस पहुंचाई, तो वह ठंडी और दूर हो गई। हालाँकि, अब दादी बस मुस्कुरा दीं और कंप्यूटर कीबोर्ड पर कुछ टैप किया।

"यहाँ देखो," उसने सुझाव दिया।

दस-छह आयत को भरते हुए बारह बहु-रंगीन पेंटोमिनो का एक सेट स्क्रीन पर दिखाई दिया। कुछ सेकंड बाद इसे दूसरी छवि से बदल दिया गया, जहां आंकड़े संभवतः अलग-अलग स्थित थे (डंकन निश्चित रूप से नहीं कह सका, क्योंकि उसे पहला संयोजन याद नहीं था)। जल्द ही छवि फिर से बदल गई, फिर बार-बार... यह तब तक जारी रहा जब तक दादी ने कार्यक्रम बंद नहीं कर दिया।

दादी ने समझाया, "उच्च गति पर भी, कंप्यूटर को सभी तरीकों से गुजरने में पांच घंटे लगेंगे।" "आप मेरी बात मान सकते हैं: वे सभी अलग-अलग हैं।" यदि यह कंप्यूटर के लिए नहीं होता, तो मुझे संदेह है कि लोगों ने विकल्पों की सामान्य गणना के माध्यम से सभी तरीके ढूंढ लिए होते।

डंकन लंबे समय तक बारह भ्रामक सरल आकृतियों को देखता रहा। उसने धीरे-धीरे अपनी दादी की बातें पचा लीं। यह उनके जीवन का पहला गणितीय रहस्योद्घाटन था। जिसे वह इतने उतावलेपन से एक साधारण बच्चे का खेल समझता था, अचानक उसके सामने अंतहीन रास्ते और क्षितिज खुलने लगे, हालाँकि दस साल का सबसे प्रतिभाशाली बच्चा भी शायद ही इस ब्रह्मांड की असीमता को महसूस कर पाएगा।

लेकिन तब डंकन की ख़ुशी और विस्मय निष्क्रिय थे। बौद्धिक आनंद का वास्तविक विस्फोट बाद में हुआ, जब उन्होंने स्वतंत्र रूप से पेंटोमिनो बिछाने की अपनी पहली विधि खोजी। कई हफ्तों तक, डंकन हर जगह अपने साथ एक प्लास्टिक का डिब्बा रखता था। उन्होंने अपना सारा खाली समय केवल पेंटोमिनोइज़ पर बिताया। आंकड़े डंकन के निजी मित्रों में बदल जाएंगे। उसने उन्हें उन अक्षरों के नाम से पुकारा जो उनमें मिलते-जुलते थे, हालाँकि कुछ मामलों में समानता दूर से भी अधिक थी। पांच अंक - एफ, आई, एल, पी, एन - असंगत थे, लेकिन शेष सात ने लैटिन वर्णमाला के अनुक्रम को दोहराया: टी, यू, वी, डब्ल्यू, एक्स, वाई, जेड।

एक दिन, ज्यामितीय ट्रान्स या ज्यामितीय परमानंद की स्थिति में, जिसे कभी दोहराया नहीं गया था, डंकन को एक घंटे से भी कम समय में पांच स्टाइलिंग विकल्प मिले। शायद न्यूटन, आइंस्टीन या चेन त्ज़ु ने भी, सच्चाई के अपने क्षणों में, डंकन मैकेंज़ी की तुलना में गणित के देवताओं से अधिक निकटता महसूस नहीं की।

उसे जल्द ही, अपनी दादी के संकेत के बिना, अपने दम पर एहसास हुआ कि एक पेंटोमिनो को अलग-अलग आकार के आयत में रखा जा सकता है। बहुत आसानी से, डंकन को आयतों 5 बटा 12 और 4 बटा 15 के लिए कई विकल्प मिल गए। फिर उसे बारह अंकों को एक लंबे और संकरे आयत 3 बटा 20 में फिट करने की कोशिश में पूरे एक हफ्ते तक परेशानी उठानी पड़ी। बार-बार वह विश्वासघाती स्थान को भरना शुरू कर दिया और ... आयत और "अतिरिक्त" आकृतियों में छेद प्राप्त करें।

तबाह होकर, डंकन अपनी दादी से मिलने गया, जहाँ एक नया आश्चर्य उसका इंतजार कर रहा था।

हेलेन ने कहा, "मैं आपके प्रयोगों से खुश हूं। आपने एक सामान्य पैटर्न प्राप्त करने की कोशिश करते हुए सभी संभावनाओं का पता लगाया।" गणितज्ञ हमेशा यही करते हैं। लेकिन आप गलत हैं: तीन-बाईस आयत के समाधान मौजूद हैं। उनमें से केवल दो हैं, और यदि आप एक ढूंढते हैं, तो आप दूसरा भी ढूंढ पाएंगे।

अपनी दादी की प्रशंसा से प्रेरित होकर, डंकन ने नए जोश के साथ अपना "पेंटोमिनोज़ का शिकार" जारी रखा। एक और सप्ताह के बाद, उसे समझ में आने लगा कि उसने अपने कंधों पर कितना असहनीय बोझ डाल रखा है। बारह आकृतियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या डंकन के लिए आश्चर्यजनक थी। इसके अलावा, प्रत्येक आकृति में चार स्थान थे!

और वह फिर से अपनी दादी के पास आया और उन्हें अपनी सारी कठिनाइयाँ बताईं। यदि 3 गुणा 20 आयत के लिए केवल दो विकल्प होते, तो उन्हें ढूंढने में कितना समय लगेगा?

दादी ने कहा, "यदि आप कृपया, मैं आपको उत्तर दूंगी। यदि आप एक मस्तिष्कहीन कंप्यूटर की तरह काम करते हैं, संयोजनों की सरल खोज करते हैं और प्रत्येक पर एक सेकंड खर्च करते हैं, तो आपको इसकी आवश्यकता होगी..." यहां वह जानबूझकर रुक गईं। “आपको छह मिलियन से अधिक की आवश्यकता होगी... हाँ, छह मिलियन से अधिक वर्ष।

सांसारिक या टाइटैनिक? यह प्रश्न तुरन्त डंकन के मन में आया। लेकिन क्या फर्क है?

"लेकिन आप एक बुद्धिहीन कंप्यूटर से अलग हैं," दादी ने आगे कहा। "आप तुरंत स्पष्ट रूप से अनुपयुक्त संयोजन देखते हैं, और इसलिए आपको उन्हें जांचने में समय बर्बाद नहीं करना पड़ता है।" पुनः प्रयास करें।

डंकन ने आज्ञा का पालन किया, पहले से ही उत्साह और सफलता में विश्वास के बिना। और फिर उसके दिमाग में एक शानदार विचार आया।

कार्ल को तुरंत पेंटोमिनो में दिलचस्पी हो गई और उन्होंने चुनौती स्वीकार कर ली। उसने डंकन से आकृतियों वाला बक्सा लिया और कई घंटों के लिए गायब हो गया।

जब कार्ल ने उसे फोन किया तो उसका दोस्त कुछ परेशान लग रहा था.

- क्या आप आश्वस्त हैं कि इस समस्या का वास्तव में कोई समाधान है? - उसने पूछा।

- एकदम पक्का। उनमें से दो. क्या आपको सचमुच कम से कम एक भी नहीं मिला? मुझे लगा कि तुम गणित में बहुत अच्छे हो।

"कल्पना कीजिए, मैं इसका पता लगा सकता हूं, इसीलिए मुझे पता है कि आपके कार्य के लिए कितनी मेहनत की आवश्यकता है।" हमें जाँचने की ज़रूरत है... एक मिलियन बिलियन संभावित संयोजन।

- आपको कैसे पता चला कि उनमें से बहुत सारे हैं? - डंकन ने प्रसन्न होकर पूछा कि कम से कम वह अपने दोस्त को असमंजस में अपना सिर खुजलाने में कामयाब रहा।

कार्ल ने कुछ रेखाचित्रों और संख्याओं से भरे कागज के टुकड़े पर तिरछी नज़र डाली।

- यदि आप अस्वीकार्य संयोजनों को बाहर कर देते हैं और समरूपता और घूर्णन की संभावना को ध्यान में रखते हैं... तो आपको एक भाज्य मिलता है... क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या... आप अभी भी नहीं समझ पाएंगे। बेहतर होगा कि मैं आपको संख्या ही दिखा दूं।

वह कैमरे के सामने कागज की एक और शीट लाया, जिस पर संख्याओं की एक प्रभावशाली श्रृंखला को बड़े विस्तार से दर्शाया गया था:

1 004 539 160 000 000.

डंकन को फैक्टोरियल के बारे में कुछ नहीं पता था, लेकिन उसे कार्ल की गणना की सटीकता के बारे में कोई संदेह नहीं था। उन्हें लंबा नंबर बहुत पसंद आया.

“तो क्या आप यह काम छोड़ने जा रहे हैं?” - डंकन ने ध्यान से पूछा।

- क्या अधिक! मैं बस आपको यह दिखाना चाहता था कि यह कितना कठिन है।

कार्ल के चेहरे पर गंभीर दृढ़ संकल्प व्यक्त हुआ। ये शब्द कहकर वह बेहोश हो गया।

अगले दिन, डंकन को अपने लड़कपन के जीवन का सबसे बड़ा झटका लगा। कार्ल का थका हुआ चेहरा, खून से लथपथ आँखों से, उसे स्क्रीन से देख रहा था। ऐसा महसूस हुआ जैसे उसने रात जागकर बिताई हो।

"ठीक है, बस इतना ही," उसने थकी हुई लेकिन विजयी आवाज में घोषणा की।

डंकन को अपनी आँखों पर विश्वास ही नहीं हो रहा था। उसे ऐसा लग रहा था कि सफलता की संभावना नगण्य है। उन्होंने खुद को इस बात के लिए आश्वस्त भी किया. और अचानक... उसके सामने एक तीन गुणा बीस का आयत था, जो सभी बारह पेंटोमिनो आकृतियों से भरा हुआ था।

फिर कार्ल ने अदला-बदली की और टुकड़ों को सिरों पर मोड़ दिया, जिससे मध्य भाग अछूता रह गया। उसकी उंगलियाँ थकान से थोड़ी कांप रही थीं।

"यह दूसरा समाधान है," उन्होंने समझाया। "और अब मैं सोने जा रहा हूँ।" तो शुभ रात्रि या सुप्रभात - जो भी आपको पसंद हो।

अपमानित डंकन बहुत देर तक अँधेरी स्क्रीन को देखता रहा। वह नहीं जानता था कि पहेली का हल ढूंढ़ते हुए कार्ल किस ओर चला गया। लेकिन वह जानता था कि उसका दोस्त विजयी हुआ है। सभी बाधाओं के खिलाफ।

उसे अपने मित्र की जीत से ईर्ष्या नहीं हुई। डंकन कार्ल से बहुत प्यार करता था और उसकी सफलताओं पर हमेशा खुश रहता था, हालाँकि वह खुद अक्सर खुद को हारता हुआ पाता था। लेकिन आज मेरे दोस्त की जीत में कुछ अलग था, लगभग जादुई।

डंकन ने पहली बार अंतर्ज्ञान की शक्ति देखी। उन्होंने तथ्यों से परे जाने और हस्तक्षेप करने वाले तर्क को किनारे करने की मन की रहस्यमय क्षमता का सामना किया। कुछ ही घंटों में, कार्ल ने सबसे तेज़ कंप्यूटर को पीछे छोड़ते हुए एक बड़ा काम पूरा कर लिया।

इसके बाद, डंकन को पता चला कि सभी लोगों में ऐसी क्षमताएं होती हैं, लेकिन वे उनका उपयोग बहुत कम ही करते हैं - शायद अपने जीवन में एक बार। कार्ल में, इस उपहार को असाधारण विकास प्राप्त हुआ... उसी क्षण से, डंकन ने अपने मित्र के तर्क को गंभीरता से लेना शुरू कर दिया, यहां तक ​​​​कि सामान्य ज्ञान के दृष्टिकोण से सबसे हास्यास्पद और अपमानजनक भी।

यह बीस साल पहले की बात है. डंकन को याद नहीं आया कि प्लास्टिक पेंटोमिनो के टुकड़े कहाँ गए थे। शायद वे कार्ल के साथ रहे.

दादी का उपहार उनका नया अवतार बन गया, अब बहुरंगी पत्थर के टुकड़ों के रूप में। अद्भुत, नरम गुलाबी ग्रेनाइट गैलीलियो पहाड़ियों से था, ओब्सीडियन ह्यूजेन्स पठार से था, और छद्म संगमरमर हर्शल रिज से था। और उनमें से... पहले तो डंकन ने सोचा कि उससे गलती हुई है। नहीं, यह ऐसा ही है: यह टाइटन का सबसे दुर्लभ और सबसे रहस्यमय खनिज था। मेरी दादी ने टाइटैनाइट से पत्थर का पेंटोमिनो क्रॉस बनाया था। सुनहरे समावेशन वाले इस नीले-काले खनिज को किसी भी चीज़ के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है। डंकन ने पहले कभी इतने बड़े टुकड़े नहीं देखे थे और वह केवल अनुमान ही लगा सकता था कि इसकी कीमत क्या होगी।

"मैं नहीं जानता कि क्या कहूँ," वह बुदबुदाया। "क्या ख़ूबसूरती है।" यह मैंने पहली बार देखा है।

उसने अपनी दादी के पतले कंधों को गले लगाया और अचानक महसूस किया कि वे कांप रहे थे और वह कांपना नहीं रोक सकी। डंकन ने उसे धीरे से अपनी बाहों में तब तक थामे रखा जब तक कि उसके कंधे हिलना बंद नहीं हो गए। ऐसे क्षणों में शब्दों की आवश्यकता नहीं होती। पहले की तुलना में अधिक स्पष्ट रूप से, डंकन ने समझा: वह हेलेन मैकेंज़ी के तबाह जीवन का आखिरी प्यार था। और अब वह उसे उसकी यादों के साथ अकेला छोड़कर उड़ जाता है।

बड़ा जादुई वर्ग

13वीं सदी के चीनी गणितज्ञ यांग हुई पास्कल त्रिकोण (अंकगणित त्रिकोण) से परिचित थे। उन्होंने चौथी और उच्चतर डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों का विवरण छोड़ा; पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के नियम, प्रगति का योग, और जादुई वर्ग बनाने के तरीके हैं। वह छठे क्रम का एक जादुई वर्ग बनाने में कामयाब रहे, और बाद वाला लगभग साहचर्य निकला (इसमें केंद्रीय रूप से विपरीत संख्याओं के केवल दो जोड़े 37 का योग नहीं देते हैं)।

बेंजामिन फ्रैंकलिन ने 16x16 वर्ग का निर्माण किया, जिसमें सभी पंक्तियों, स्तंभों और विकर्णों में 2056 का निरंतर योग होने के अलावा, एक और अतिरिक्त संपत्ति थी। यदि हम कागज की एक शीट से 4x4 वर्ग काटते हैं और इस शीट को एक बड़े वर्ग पर रखते हैं ताकि बड़े वर्ग की 16 कोशिकाएं इस स्लॉट में आ जाएं, तो इस स्लॉट में दिखाई देने वाली संख्याओं का योग, चाहे हम इसे कहीं भी रखें, कोई फर्क नहीं पड़ता , वही होगा - 2056।

इस वर्ग के बारे में सबसे मूल्यवान बात यह है कि इसे एक पूर्ण जादुई वर्ग में बदलना काफी आसान है, जबकि पूर्ण जादुई वर्ग का निर्माण करना कोई आसान काम नहीं है। फ्रैंकलिन ने इस वर्ग को "जादूगरों द्वारा अब तक बनाए गए सभी जादुई वर्गों में से सबसे आकर्षक जादू" कहा।

मैजिकल, या जादू वर्ग- वर्ग तालिका n × n (\displaystyle n\times n), विभिन्न संख्याओं से इस प्रकार भरा जाता है कि प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ और दोनों विकर्णों पर संख्याओं का योग समान हो। यदि किसी वर्ग में संख्याओं का योग केवल पंक्तियों और स्तंभों में समान हो, तो उसे कहा जाता है अर्द्ध जादुई. सामान्यसे प्राकृतिक संख्याओं से भरा जादुई वर्ग कहलाता है 1 (\प्रदर्शन शैली 1)पहले n 2 (\displaystyle n^(2)). जादुई वर्ग कहा जाता है जोड़नेवालाया सममित, यदि वर्ग के केंद्र के चारों ओर सममित रूप से स्थित किन्हीं दो संख्याओं का योग बराबर है n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).

सभी ऑर्डरों के लिए सामान्य जादू वर्ग मौजूद हैं n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), के अपवाद के साथ n = 2 (\displaystyle n=2), हालांकि मामला n = 1 (\displaystyle n=1)तुच्छ - वर्ग में एक संख्या होती है। न्यूनतम गैर-तुच्छ मामला नीचे दिखाया गया है, यह क्रम 3 का है।

प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्णों की संख्याओं के योग को जादुई स्थिरांक कहा जाता है। एम. एक सामान्य जादुई वर्ग का जादुई स्थिरांक केवल पर निर्भर करता है एनऔर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जादू स्थिरांक के पहले मान निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं (OEIS में अनुक्रम A006003):

विश्वकोश यूट्यूब

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✪ मैजिक स्क्वायर - पार्टी ट्रिक

✪ पार्कर स्क्वायर

✪ पृष्ठ 35 मार्जिन कार्य (पहला वर्ग) - गणित 3री कक्षा मोरो - पाठ्यपुस्तक भाग 1

✪ मैजिक स्क्वायर - नई विधि

✪ जादुई वर्ग। खुला पाठ.

उपशीर्षक

ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण जादुई वर्ग

लुओ शू स्क्वायर

यांग हुई का जादुई चौराहा (चीन)

अल्ब्रेक्ट ड्यूरर स्क्वायर

अल्ब्रेक्ट ड्यूरर की उत्कीर्णन "मेलानचोली I" में दर्शाया गया 4x4 जादू वर्ग यूरोपीय कला में सबसे पुराना माना जाता है। निचली पंक्ति में दो मध्य संख्याएँ उत्कीर्णन के निर्माण की तारीख को दर्शाती हैं ()।

किसी भी क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और विकर्ण पर संख्याओं का योग 34 है। यह योग सभी 2x2 कोने वाले वर्गों में भी होता है, केंद्रीय वर्ग (10+11+6+7) में, कोने वाले कोशिकाओं के वर्ग में (16+13+) 4+1 ), "नाइट की चाल" (2+12+15+5 और 3+8+14+9) द्वारा निर्मित वर्गों में, विकर्णों के समानांतर आयतों के शीर्षों में (2+8+15+9 और 3+12+14+5 ), विपरीत पक्षों पर मध्य कोशिकाओं के जोड़े द्वारा गठित आयतों में (3+2+15+14 और 5+8+9+12)। अधिकांश अतिरिक्त समरूपताएं इस तथ्य से उत्पन्न होती हैं कि किन्हीं दो केंद्रीय सममित रूप से स्थित संख्याओं का योग 17 है।

हेनरी ई. डुडेनी और एलन डब्ल्यू. जॉनसन, जूनियर द्वारा स्क्वायर।

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में एन × एनसंख्याओं की पूर्णतः प्राकृतिक श्रृंखला नहीं है, तो यह जादुई वर्ग है अपरंपरागत. नीचे अभाज्य संख्याओं से भरे दो ऐसे जादुई वर्ग हैं (हालांकि आधुनिक संख्या सिद्धांत में 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है)। पहले वाले के पास ऑर्डर है एन=3(डुडेनी स्क्वायर); दूसरा (आकार 4x4) - जॉनसन स्क्वायर। इन दोनों का विकास बीसवीं सदी की शुरुआत में हुआ था:

ऐसे ही कई और उदाहरण हैं:

अंतिम वर्ग, जिसका निर्माण 1913 में जे.एन. मुन्सी द्वारा किया गया था, दो चीजों को छोड़कर, 143 लगातार अभाज्यों से बना होने के लिए उल्लेखनीय है: एक, जो अभाज्य नहीं है, का उपयोग किया गया था, और एकमात्र सम अभाज्य, 2, का उपयोग नहीं किया गया था।

अतिरिक्त गुणों वाले वर्ग

शैतान का जादुई वर्ग

शैतान का वर्गया पांडागोनल वर्ग- एक जादुई वर्ग, जिसमें दोनों दिशाओं में टूटे हुए विकर्णों (विकर्ण जो तब बनते हैं जब वर्ग को एक टोरस में मोड़ा जाता है) के साथ संख्याओं का योग भी जादुई स्थिरांक के साथ मेल खाता है।

घूर्णन और प्रतिबिंब परिशुद्धता के साथ 48 4x4 शैतानी वर्ग हैं। यदि हम टोरिक समानांतर अनुवादों के संबंध में समरूपता को भी ध्यान में रखते हैं, तो केवल 3 महत्वपूर्ण रूप से भिन्न वर्ग बचे हैं:

विषम क्रम n>3 के लिए, किसी भी दोहरे समता क्रम n=4k (k=1,2,3...) के लिए पांडिएगोनल वर्ग मौजूद हैं और एकल समता क्रम के लिए मौजूद नहीं हैं n = 4 k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=1,2,3,\dots )).

चौथे क्रम के पांडिएगोनल वर्गों में कई अतिरिक्त गुण होते हैं जिनके लिए उन्हें कहा जाता है उत्तम. विषम क्रम का कोई भी पूर्ण वर्ग नहीं है। 4 से ऊपर दोहरे समता वाले पंडिकोणीय वर्गों में पूर्ण वर्ग होते हैं।

पांचवें क्रम के 3600 पैनडिगोनल वर्ग हैं। टोरिक समानांतर अनुवादों को ध्यान में रखते हुए, 144 अलग-अलग पैनडिगोनल वर्ग हैं। उनमें से एक नीचे दिखाया गया है.

यदि पण्डाकोणीय वर्ग भी साहचर्य हो तो उसे कहते हैं आदर्श. एक पूर्ण जादुई वर्ग का उदाहरण:

यह ज्ञात है कि क्रम का कोई आदर्श जादुई वर्ग नहीं है एन = 4k+2और क्रम का वर्ग एन=4. साथ ही, क्रम के आदर्श वर्ग भी हैं एन=8. मिश्रित वर्गों के निर्माण की विधि का उपयोग करके, आठवें क्रम के दिए गए वर्ग के आधार पर, क्रम के आदर्श वर्गों का निर्माण करना संभव है n = 8k, k=5,7,9…और आदेश n = 8^p, p=2,3,4... 2008 में, क्रम के आदर्श वर्गों के निर्माण के लिए एक संयोजन विधि n = 4k, k = 2, 3, 4,…

जादुई चौकों का निर्माण

छत विधि

यू. वी. चेब्राकोव द्वारा "द थ्योरी ऑफ मैजिक मैट्रिसेस" में वर्णित.

किसी दिए गए विषम n के लिए, n बटा n आकार की एक वर्गाकार तालिका बनाएं। आइए इस टेबल पर चारों तरफ छतें (पिरामिड) जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें एक चरणबद्ध सममित आकृति प्राप्त होती है।

चरणबद्ध आकृति के बाएँ शीर्ष से शुरू करते हुए, इसकी विकर्ण पंक्तियों को 1 से लेकर लगातार प्राकृतिक संख्याओं से भरें एन 2 (\डिस्प्लेस्टाइल एन^(2)).

इसके बाद, Nवें क्रम का शास्त्रीय मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, हम NxN तालिका के उन स्थानों में छतों में संख्याओं को डालते हैं, जिसमें वे दिखाई देंगे यदि हम उन्हें छतों के साथ एक साथ ले जाएं जब तक कि छतों के आधार विपरीत दिशा से सटे न हों तालिका के।

इसके अलावा, यदि जादुई वर्ग को 1 से N तक की संख्याओं से नहीं, बल्कि K से N तक की संख्याओं से भी बनाना है, तो यह विधि भी सही है, जहाँ 1<= K< N.

अन्य तरीके

जादुई वर्ग बनाने के नियमों को तीन श्रेणियों में विभाजित किया गया है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि वर्ग का क्रम विषम है, विषम संख्या के दोगुने के बराबर है, या विषम संख्या के चार गुना के बराबर है। सभी वर्गों के निर्माण की एक सामान्य विधि अज्ञात है, हालाँकि विभिन्न योजनाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। क्रम के सभी जादुई वर्ग खोजें एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)के लिए ही सफल होता है n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4)इसलिए, जादुई वर्ग बनाने की विशेष प्रक्रियाएँ n > 4 (\displaystyle n>4). सबसे सरल निर्माण विषम क्रम के जादुई वर्ग के लिए है। निर्देशांक वाले एक सेल की आवश्यकता है (i , j) (\displaystyle (i,j))(कहाँ मैं (\डिस्प्लेस्टाइल मैं)और जे (\डिस्प्लेस्टाइल जे) 1 से भिन्न होता है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)) नंबर डालें

इसे इस प्रकार बनाना और भी आसान है। एक n x n मैट्रिक्स लिया जाता है. इसके अंदर एक सीढ़ीनुमा समचतुर्भुज बना हुआ है। इसमें विकर्णों के अनुदिश बाएँ से ऊपर तक की कोशिकाएँ विषम संख्याओं की क्रमबद्ध पंक्ति से भरी होती हैं। केंद्रीय सेल C का मान निर्धारित किया जाता है। फिर जादुई वर्ग के कोनों में मान इस प्रकार होंगे: ऊपरी दाएँ सेल C-1; नीचे बाएँ सेल C+1 ; निचली दाहिनी कोशिका C-n; शीर्ष बाएँ कक्ष C+n. चरणबद्ध कोने वाले त्रिकोणों में खाली कोशिकाओं को भरना सरल नियमों के अनुपालन में किया जाता है: 1) रेखाओं के साथ, बाएं से दाएं संख्याएं n + 1 की वृद्धि में बढ़ती हैं; 2) कॉलम में ऊपर से नीचे तक, संख्याएँ n-1 के चरणों में बढ़ती हैं।

पैंडिगोनल वर्गों और आदर्श 9x9 जादुई वर्गों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम भी विकसित किए गए हैं। ये परिणाम हमें क्रम के आदर्श जादुई वर्ग बनाने की अनुमति देते हैं n = 9 (2 k + 1) (\displaystyle n=9(2k+1))के लिए k = 0 , 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=0,1,2,3,\dots ). विषम क्रम के आदर्श जादुई वर्गों को व्यवस्थित करने की सामान्य विधियाँ भी हैं। n > 3 (\displaystyle n>3). क्रम के आदर्श जादुई वर्ग बनाने के लिए तरीके विकसित किए गए हैं n=8k, k=1,2,3...और उत्तम जादुई वर्ग। सम-विषम क्रम के पांडिएगोनल और आदर्श वर्गों को केवल तभी इकट्ठा किया जा सकता है जब वे गैर-पारंपरिक हों। हालाँकि, लगभग पैंडिगोनल वर्ग ढूंढना संभव है। आदर्श रूप से परिपूर्ण जादुई वर्गों (पारंपरिक और गैर-पारंपरिक) का एक विशेष समूह पाया गया है।

अधिक जटिल वर्गों के उदाहरण

विषम क्रम और दोहरे समता क्रम के जादुई वर्गों पर विधिपूर्वक कठोरता से काम किया गया। एकल समता क्रम के वर्गों को औपचारिक बनाना अधिक कठिन है, जैसा कि निम्नलिखित चित्रों द्वारा दर्शाया गया है:

जादुई वर्ग बनाने की कई दर्जन अन्य विधियाँ हैं

खेल "मैजिक स्क्वायर" का रहस्य

मुझे यकीन है कि आपने "जादुई वर्ग" वाक्यांश कहीं सुना होगा। हम इस "जनजाति" के कई प्रतिनिधियों को जानते हैं। इंटरनेट पर सबसे व्यापक और अक्सर पाया जाने वाला गेम तथाकथित "मैजिक स्क्वायर" गेम है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि आपके ध्यान में एक तालिका पेश की जाती है (यह "जादुई वर्ग" है), जो "विचारों का अनुमान लगाने" में सक्षम है। स्वाभाविक रूप से, किसी भी खेल की तरह, इसके भी कुछ नियम हैं। आपको किसी भी दो अंकों की संख्या के बारे में सोचना होगा और फिर उसमें से इस संख्या के अंकों का योग घटाना होगा। परिणामी मान को उसके अनुरूप प्रतीक सहित तालिका में खोजें। और यह वह प्रतीक है जो वर्ग का अनुमान लगाता है। खेल मज़ेदार है और, पहली नज़र में, वास्तव में जादुई है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप शुरू में किस संख्या का अनुमान लगाते हैं, वर्ग हमेशा प्रतीक का अनुमान लगाता है। कैसे यह काम करता है? मैजिक स्क्वायर कैसे काम करता है? वास्तव में, उत्तर सतह पर है। यदि आप पंक्ति में कई बार वर्ग की जाँच करते हैं, तो आप देखेंगे कि हर समय एक ही प्रतीक दिखाई देता है। तालिका को करीब से देखने पर पता चलता है कि यह प्रतीक क्षैतिज रूप से स्थित है और उन संख्याओं से मेल खाता है जो बिना किसी शेषफल के 9 से विभाज्य हैं। हालाँकि, वे केवल वे ही हैं जो आपको अपने उत्तर में मिलते हैं, चाहे आप कोई भी दो-अंकीय संख्या चुनें। हम कह सकते हैं कि हमने "जादुई वर्ग" का पर्दाफाश कर दिया है। रहस्य इसमें इतना नहीं, बल्कि खेल की परिस्थितियों में छिपा है। तथ्य यह है कि एक निर्विवाद सत्य है जो कहता है: "यदि आप किसी भी दो अंकों की संख्या से उसके अंकों का योग घटाते हैं, तो आपको एक ऐसी संख्या मिलती है जो बिना किसी शेषफल के 9 से विभाज्य होती है।" तो हमें पता चला कि "मैजिक स्क्वायर" कैसे काम करता है। रहस्यवाद का एक कण भी नहीं! हालाँकि, सिद्धांत रूप में, संख्याओं से जुड़ी हर चीज़ गणना और पैटर्न पर आधारित है, न कि जादू पर।

जादुई वर्ग का रहस्य:

अल्ब्रेक्ट ड्यूरर का जादू स्क्वायर

कभी-कभी डिजिटल पैटर्न इतने अविश्वसनीय आकार ले लेते हैं कि ऐसा लगता है कि इसमें जादू टोना शामिल था। उदाहरण के लिए, एक और "जादुई वर्ग" ज्ञात है - अल्ब्रेक्ट ड्यूरर। गणित में, इसे समान संख्या में पंक्तियों और स्तंभों वाली एक वर्गाकार तालिका के रूप में समझा जाता है, जो प्राकृतिक संख्याओं से भरी होती है। इसके अलावा, क्षैतिज, लंबवत या विकर्ण रूप से इन संख्याओं का योग समान परिणाम के बराबर होना चाहिए। जादुई वर्ग चीन से हमारे पास आया; आज हम सभी इसके प्रमुख प्रतिनिधि - सुडोकू क्रॉसवर्ड पहेली को जानते हैं। यूरोप में, यह ड्यूरर ही थे जिन्होंने अपनी उत्कीर्णन "मेलानचोली" में एक "जादुई" आकृति को चित्रित किया था। इस "जादुई वर्ग" के बारे में क्या अनोखा है? इसके आधार पर संख्या 15 और 14 का संयोजन है, जो उत्कीर्णन के प्रकाशन के वर्ष से मेल खाता है। और संख्याओं का योग न केवल विकर्ण, लंबवत और क्षैतिज रूप से रेखाओं से बनता है, बल्कि वर्ग के कोनों पर, केंद्रीय छोटे वर्ग में और इसके किनारों पर प्रत्येक चार-कोशिका वाले वर्गों में स्थित संख्याओं से भी बनता है। . ये आंकड़े भाग्य की भविष्यवाणी नहीं करते हैं और विचारों का अनुमान नहीं लगाते हैं; वे अपने पैटर्न के कारण अद्वितीय हैं।

पायथागॉरियन वर्ग

यदि हम भाग्य बताने की ओर मुड़ें, तो यहाँ भी एक प्रतिनिधि है - पाइथागोरस का "जादुई वर्ग"। हम सभी इस नाम को ज्यामिति पाठों से जानते हैं। लेकिन हमारे समय में ही उन्होंने इस व्यक्ति को गणितज्ञ और दार्शनिक कहना शुरू किया। प्राचीन काल में, उन्हें ज्ञान के शिक्षक के रूप में जाना जाता था, उनके बारे में कविताएँ लिखी जाती थीं और कसीदे गाए जाते थे, उनकी पूजा की जाती थी और उन्हें एक द्रष्टा माना जाता था। पाइथागोरस ने एक नए विज्ञान की स्थापना की - अंकशास्त्र, पूर्व समय में इसे एक धर्म के रूप में माना जाता था।

उनका मानना ​​था कि संख्याएँ लगभग हर घटना की व्याख्या कर सकती हैं, जिसमें किसी व्यक्ति के भाग्य का निर्धारण करना, उसके चरित्र, प्रतिभा और कमजोरियों के बारे में बताना शामिल है। यह पायथागॉरियन वर्ग का उपयोग करके किया जा सकता है। "मैजिक स्क्वायर" कैसे काम करता है और यह क्या है? पाइथागोरस का जादुई वर्ग 3/3 वर्ग (पंक्तियाँ, स्तंभ) है, जिसमें 1 से 9 तक की संख्याएँ दर्ज की जाती हैं। भविष्यवाणी व्यक्ति की जन्म तिथि पर आधारित होती है। यह महत्वपूर्ण है कि गणना में "0" प्रकट न हो। सरल गणनाओं और सूत्रों का उपयोग करके, संख्याओं का एक सेट प्राप्त किया जाता है, जिसे बाद में एक वर्ग में दर्ज किया जाना चाहिए। प्रत्येक संख्या का अपना अर्थ होता है और वह एक विशिष्ट संपत्ति के लिए जिम्मेदार होता है। तो, 4 स्वास्थ्य के लिए "जिम्मेदार" है, और 9 बुद्धि के लिए है। आपके वर्ग में एक ही संख्या कितनी बार आती है, इसके आधार पर आप किसी विशेष संपत्ति की प्रधानता के बारे में कह सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, 4 की अनुपस्थिति शारीरिक कमजोरी और पीड़ा का सूचक है, और 444 अच्छे स्वास्थ्य और प्रसन्नता का सूचक है। यह कहना कठिन है कि पायथागॉरियन वर्ग कितना सत्य है, जैसा कि कोई भी भविष्य बताने वाला है। लेकिन अब, यह जानकर कि जादुई वर्ग कैसे काम करता है, आप कम से कम एक या दो घंटे का समय निकालकर अपने दोस्तों और परिचितों के चरित्रों की गणना कर सकेंगे।

यह पहेली तेजी से पूरे इंटरनेट पर फैल गई। हजारों लोग आश्चर्य करने लगे कि जादुई वर्ग कैसे काम करता है। आज आख़िरकार आपको उत्तर मिल जाएगा!

जादुई वर्ग का रहस्य

दरअसल, यह पहेली काफी सरल है और इंसान की असावधानी को ध्यान में रखकर बनाई गई है। आइए एक वास्तविक उदाहरण का उपयोग करके देखें कि जादुई काला वर्ग कैसे काम करता है:

1. आइए 10 से 19 तक किसी भी संख्या का अनुमान लगाएं। अब इस संख्या से इसके घटक अंक घटाएं। उदाहरण के लिए, आइए 11 लें। 11 में से एक घटाएँ और फिर दूसरा घटाएँ। परिणाम 9 है। इससे वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप 10 से 19 तक कौन सी संख्या लेते हैं। गणना का परिणाम हमेशा 9 होगा। "मैजिक स्क्वायर" में नंबर 9 चित्रों के साथ पहले नंबर से मेल खाता है। यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि बहुत बड़ी संख्या में समान चित्र दिए गए हैं।
2. यदि आप 20 से 29 के बीच कोई संख्या लेते हैं तो क्या होता है? हो सकता है कि आपने स्वयं ही इसका अनुमान पहले ही लगा लिया हो? सही! गणना का परिणाम हमेशा 18 होगा। संख्या 18 चित्रों के साथ विकर्ण पर दूसरी स्थिति से मेल खाती है।
3. यदि आप 30 से 39 तक कोई संख्या लेते हैं, तो, जैसा कि आप पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं, संख्या 27 निकलेगी। संख्या 27 भी इतने अस्पष्ट "मैजिक स्क्वायर" के विकर्ण पर संख्या से मेल खाती है।
4. एक समान एल्गोरिथ्म 40 से 49, 50 से 59, इत्यादि किसी भी संख्या के लिए सत्य रहता है।

यही है, यह पता चला है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने किस संख्या का अनुमान लगाया है - "मैजिक स्क्वायर" परिणाम का अनुमान लगाएगा, क्योंकि 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 और 81 नंबर वाली कोशिकाओं में है वास्तव में वही प्रतीक.

वास्तव में, इस रहस्य को एक सरल समीकरण का उपयोग करके आसानी से समझाया जा सकता है:

1. किसी दो अंकीय संख्या की कल्पना कीजिए। संख्या चाहे जो भी हो, इसे x*10+y के रूप में दर्शाया जा सकता है। दहाई "x" के रूप में कार्य करती है, और इकाइयाँ "y" के रूप में कार्य करती हैं।
2. छिपी हुई संख्या में से इसे बनाने वाली संख्याओं को घटाएँ। समीकरण जोड़ें: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. गणना के परिणामस्वरूप जो संख्या सामने आती है, उसे तालिका में एक विशिष्ट प्रतीक की ओर इंगित करना चाहिए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि "x" की भूमिका में कौन सी संख्या है, किसी न किसी तरह से आपको एक प्रतीक मिलेगा जिसकी संख्या नौ का गुणज होगी। यह सुनिश्चित करने के लिए कि विभिन्न संख्याओं के अंतर्गत एक प्रतीक है, बस तालिका और 0,9,18,27,45,54,63,72,81 और उसके बाद की संख्याओं को देखें।