Мозайка Penrose, плочки Penrose - непериодично разделяне на равнината, апериодични правилни структури, облицовка на равнината с ромби от два вида - с ъгли от 72 ° и 108 ° („дебели ромби“) и 36 ° и 144 ° (“ тънки ромби“), такива (при спазване на пропорциите „златно сечение“), че всеки два съседни (т.е. имащи обща страна) ромба не образуват заедно успоредник.Наречен на Роджър Пенроуз, който се интересуваше от проблема с "облицовката", тоест запълването на равнината с фигури от една и съща форма без празнини и припокривания.

Всички такива плочки са непериодични и локално изоморфни една на друга (тоест всеки краен фрагмент от една плочка на Пенроуз се среща във всяка друга). "Самоподобие" - можете да обедините съседни плочки от мозайката по такъв начин, че отново да получите мозайка на Пенроуз.

На всяка от двете плочки могат да се начертаят няколко сегмента, така че при полагане на мозайката краищата на тези сегменти да се подравнят и върху равнината да се образуват няколко семейства успоредни прави линии (ивици на Аман).

Разстоянията между съседни успоредни линии приемат точно две различни стойности (и за всяко семейство успоредни линии последователността от тези стойности има самоподобие).

Облицовките на Пенроуз с дупки покриват цялата равнина, с изключение на фигурата с ограничена площ. Невъзможно е да се увеличи дупка чрез премахване на няколко (ограничен брой) плочки, след което е невъзможно да се павира напълно непокритата част.

Проблемът се решава чрез облицовка с фигури, които създават периодично повтарящ се модел, но Пенроуз искаше да намери точно такава фигура, която, когато се нареди с равнина, да не създава повтарящи се модели. Смятало се, че няма такива плочки, от които да се изграждат само непериодични мозайки. Пенроуз взе много плочки с различни форми, в резултат на това имаше само 2 от тях, имащи „златно съотношение“, което е в основата на всички хармонични съотношения. Това са фигури с форма на диамант с ъгли 108° и 72°. По-късно фигурите бяха опростени до формата на обикновен ромб (36 ° и 144 °), въз основа на принципа на „златния триъгълник“.

Получените модели имат квазикристална форма, която има аксиална симетрия от 5-ти порядък. Структурата на плочки е свързана с последователността на Фибоначи.
( Уикипедия)

Мозайка от Пенроуз. Бялата точка маркира центъра на ротационната симетрия от 5-ти порядък: завъртането около нея на 72° трансформира облицовката в себе си.

Вериги и мозайки (списание Наука и живот, 2005 № 10)

Нека първо разгледаме следния идеализиран модел. Нека частиците в равновесно състояние са разположени по оста на пренос z и образуват линейна верига с променлив период, който варира според закона на геометричната прогресия:

an = a1 Dn-1,

където a1 е началният период между частиците, n е поредният номер на периода, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… е номерът на златното сечение.

Конструираната верига от частици служи като пример за едномерен квазикристал с ред на симетрия на далечни разстояния. Структурата е абсолютно подредена, има систематично подреждане на частиците по оста - координатите им се определят по един закон. В същото време няма повторяемост – периодите между частиците са различни и се увеличават през цялото време. Следователно получената едномерна структура няма транслационна симетрия и това се причинява не от хаотично подреждане на частици (както при аморфните структури), а от ирационално съотношение на два съседни периода (D е ирационално число).

Логическото продължение на разглежданата едномерна структура на квазикристала е двуизмерна структура, която може да бъде описана чрез метода на конструиране на непериодични мозайки (модели), състоящи се от два различни елемента, две единични клетки. Такава мозайка е разработена през 1974 г. от физик-теоретик от Оксфордския университет Р. Пенроуз.Той намери мозайка от два ромба с еднакви страни. Вътрешните ъгли на тесния ромб са 36° и 144°, на широкия ромб - 72° и 108°.

Ъглите на тези ромби са свързани със златното сечение, което се изразява алгебрично с уравнението x2 - x - 1 = 0 или с уравнението y2 + y - 1 = 0. Корените на тези квадратни уравнения могат да бъдат записани в тригонометрична форма :

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Такова неконвенционално представяне на корените на уравненията показва, че тези ромби могат да бъдат наречени тесни и широки златни ромби.

В облицовката на Пенроуз равнината е покрита със златни ромбове без празнини или припокривания и може да се разпръсква неограничено по дължина и ширина. Но за да се изгради безкрайна мозайка, трябва да се спазват определени правила, които съществено се различават от монотонното повторение на еднакви елементарни клетки, изграждащи един кристал. Ако се наруши правилото за монтиране на златни ромби, тогава след известно време растежът на мозайката ще спре, тъй като ще се появят непоправими несъответствия.

В безкрайната облицовка на Пенроуз златните ромбове са подредени без строга периодичност. Въпреки това, съотношението на броя на широките златни ромби към броя на тесните златни ромби е точно равно на златното число D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Тъй като числото D е ирационално, в такава мозайка е невъзможно да се отдели елементарна клетка с цял брой ромби от всеки тип, чрез превеждане на която да се получи цялата мозайка.

Мозайката на Пенроуз има свой особен чар като обект на занимателна математика. Без да навлизаме във всички аспекти на този въпрос, отбелязваме, че дори първата стъпка - изграждането на мозайка - е доста интересна, тъй като изисква внимание, търпение и известна изобретателност. И много фантастика и фантазия могат да бъдат показани, ако направите мозайката многоцветна. Оцветяването, което веднага се превръща в игра, може да се извърши по много оригинални начини, опциите за които са представени на фигурите (по-долу). Бялата точка маркира центъра на мозайката, завъртане около която на 72° я превръща в себе си.

Мозайката на Пенроуз е чудесен пример за това как една красива сграда, на пресечната точка на различни дисциплини, със сигурност ще намери приложение за себе си. Ако възловите точки се заменят с атоми, облицовката на Пенроуз ще стане добър аналог на двуизмерен квазикристал, тъй като има много свойства, характерни за такова състояние на материята. И ето защо.

Първо, изграждането на мозайката се изпълнява по определен алгоритъм, в резултат на което тя се оказва не произволна, а подредена структура. Всяка крайна част от него се среща в цялата мозайка безброй пъти.

Второ, много правилни десетоъгълници могат да бъдат разграничени в мозайката, имащи абсолютно еднакви ориентации. Те създават дългосрочен ориентационен ред, наречен квазипериодичен. Това означава, че има взаимодействие между отдалечените структури на плочки, което договаря местоположението и относителната ориентация на ромбовете по добре дефиниран, макар и двусмислен начин.

Трето, ако последователно рисувате върху всички ромби със страни, успоредни на която и да е избрана посока, тогава те образуват поредица от прекъснати линии. По тези прекъснати линии могат да се начертаят прави успоредни линии, разположени приблизително на еднакво разстояние една от друга. Поради това свойство може да се говори за някаква транслационна симетрия в плочките на Пенроуз.

Четвърто, последователно запълнените диаманти образуват пет семейства от подобни успоредни линии, пресичащи се под ъгли, кратни на 72°. Посоките на тези прекъснати линии съответстват на посоките на страните на правилен петоъгълник. Следователно облицовката на Пенроуз има до известна степен ротационна симетрия от 5-ти порядък и в този смисъл е подобна на квазикристал.

Алгоритъм за облицовка на Пенроуз - модели и квазикристали

Студент
Владимир държавен университет на име

A.G. и Педагогически институт,
Физико-математически факултет, Владимир, Русия
Електронна поща:*****@***com

Квазикристалите са сравнително наскоро открит тип твърди вещества, междинни между кристалите и аморфните тела. Появата им се свързва с вещества, открити експериментално през 1982 г., които дават дифракционна картина с функционални пикове на Браг и симетрия, несъвместима с транслационната решетка. За откритието си израелският физик и химик Дан Шехтман получи Нобелова награда през 2011 г.

Математическите модели на квазикристалите обикновено са непериодични точкови системи с далечен ред. Такива математически квазикристали, за разлика от физическите, могат да бъдат определени във всяко измерение.

Двумерният модел на квазикристала е облицовката на Пенроуз, която е изследвана от математиците още преди откриването на квазикристалите. Облицовката на Пенроуз не е периодично разделяне, тъй като не се трансформира в себе си чрез никакви паралелни прехвърляния - преводи. В него обаче има строг ред, определен от алгоритъма за изграждане на този дял.

Има много подходи към дефиницията на математическите квазикристали. Най-известният подход се основава на проектиране на решетки от пространства с по-високо измерение към по-ниски размери, което се нарича „набори от модели“. Във връзка с облицовката на Пенроуз този подход се нарича метод на Бааки.

Този метод е най-удобен за изследване и анализ на дифракционната картина на квазикристалите както от теоретична гледна точка, така и от гледна точка на компютърните алгоритми. Въз основа на този анализ можем да направим допълнителни заключения за свойствата на квазикристалите.

За да анализираме свойствата на мозайката на Пенроуз, написахме компютърна програма с помощта на алгоритъма на Бааки, според който прозорецът се определя https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 височина=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, където .

Задава https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , където е златното сечение. След това проекциите на точките върху наборът от модели ще бъде както следва: и където https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" височина ="23"> Върховете са свързани с ръб, когато разстоянието между тях е равно на 1. По този начин се изгражда облицовка на Пенроуз съгласно горния алгоритъм.

Открихме, че методът на Бааки не е напълно точен и полученият дял не е точно дял на Пенроуз, тъй като се появяват "допълнителни" върхове и ръбове на дяла. Оказа се, че тази конструкция е правилна до върховете и границите на петоъгълниците.

С помощта на компютърен експеримент беше възможно да се получи усъвършенстване на метода на Бааки, в резултат на което се получи мозайка на Пенроуз (фиг. 1):

Фиг.1 Мозайка на Пенроуз, получена чрез модифициране на алгоритъма на Бааки

Описаният по-горе метод за конструиране на облицовката на Пенроуз се нарича слаба параметризация на облицовката на Пенроуз.

Има и друг начин за конструиране - силна параметризация на върховете на дяла, където можете да получите параметрите на съседни върхове по параметъра на този връх. Целият набор от параметри е разделен на многоъгълници, във всеки от които първата локална среда на точката е еднозначно дефинирана, както и звезда, състояща се от вектори, свързващи точката със съседни точки.

През 1973 г. английският математик Роджър Пенроуз създава специална мозайка от геометрични фигури, която става известна като облицовката на Пенроуз.
Мозайката на Пенроуз е модел, сглобен от многоъгълни плочки с две специфични форми (малко различни ромби). Те могат да проправят безкрайна равнина без празнини.

Мозайка на Пенроуз във версията на нейния създател.
Сглобява се от ромбове от два вида,
единият с ъгъл 72 градуса, другият с ъгъл 36 градуса.
Картината е симетрична, но не периодична.

Полученото изображение изглежда като вид "ритмичен" орнамент - картина с транслационна симетрия. Този тип симетрия означава, че в шаблона можете да изберете определено парче, което може да бъде "копирано" на равнина и след това да комбинирате тези "дубликати" един с друг чрез паралелен превод (с други думи, без завъртане и без уголемяване).

Въпреки това, ако се вгледате внимателно, можете да видите, че моделът на Пенроуз няма такива повтарящи се структури - той е апериодичен. Но въпросът изобщо не е в оптическата илюзия, а във факта, че мозайката не е хаотична: тя има ротационна симетрия от пети порядък.

Това означава, че изображението може да се завърти на минимален ъгъл, равен на 360 / n градуса, където n е ред на симетрия, в този случай n = 5. Следователно ъгълът на завъртане, който не променя нищо, трябва да бъде кратно от 360 / 5 = 72 градуса.

В продължение на около десетилетие художествената литература на Пенроуз не се смяташе за нищо повече от сладка математическа абстракция. Въпреки това, през 1984 г. Дан Шехтман, професор в Израелския технологичен институт (Технион), докато изучава структурата на алуминиево-магнезиева сплав, открива, че дифракцията възниква върху атомната решетка на това вещество.

Предишните идеи, които съществуваха във физиката на твърдото тяло, изключиха такава възможност: структурата на дифракционната картина има симетрия от пети ред. Частите му не могат да се комбинират чрез паралелен трансфер, което означава, че изобщо не е кристал. Но дифракцията е характерна само за кристална решетка! Учените се съгласиха, че този вариант ще бъде наречен квазикристали - нещо като специално състояние на материята. Е, цялата красота на откритието е, че за него отдавна е готов математически модел - плочките на Пенроуз.

А наскоро стана ясно, че тази математическа конструкция е много по-стара, отколкото човек може да си представи. През 2007 г. Питър Дж. Лу, физик от Харвардския университет (заедно с колегата физик Пол Дж. Стайнхард, но от Принстънския университет), публикува статия в Science on mosaics Penrose. Изглежда, че тук няма никаква изненада: откриването на квазикристали привлече жив интерес към тази тема, което доведе до появата на куп публикации в научната преса.

Акцентът на работата обаче е, че тя далеч не е посветена на съвременната наука. И като цяло - не наука. Питър Лу обърна внимание на моделите, покриващи джамиите в Азия, построени през Средновековието. Тези лесно разпознаваеми дизайни са направени от мозаечни плочки. Те се наричат ​​гирихи (от арабската дума за "възел") и представляват геометричен орнамент, характерен за ислямското изкуство, състоящ се от многоъгълни фигури.

Пример за оформление на плочки, показано в арабски ръкопис от 15-ти век.
Изследователите подчертават повтарящите се области с цветове.
Въз основа на тези пет елемента се изграждат всички геометрични модели.
средновековни арабски майстори. Повтарящи се елементи
не е задължително да съвпадат с границите на плочките.

В ислямската орнаментация се разграничават два стила: геометричен - гирих и флорален - ислими.
Гирих(чл.) - сложен геометричен орнамент, съставен от линии, стилизирани в правоъгълни и многоъгълни форми. В повечето случаи се използва за външен дизайн на джамии и книги в голямо издание.
Ислими(персийски) - вид орнамент, изграден върху комбинацията от връх и спирала. Въплъщава в стилизирана или натуралистична форма идеята за непрекъснато развиваща се цъфтяща листна издънка и включва безкрайно разнообразие от опции. Най-широко използван в дрехи, книги, вътрешна украса на джамии, съдове.

Корица на Корана 1306-1315 и рисунката на геометрични фрагменти,
на които се основава моделът. Този и следващите примери не съвпадат
Решетки на Пенроуз, но имат ротационна симетрия от пети ред

Преди откритието на Питър Лу се смяташе, че древните архитекти създават модели на гириха с помощта на линийка и пергел (ако не по прищявка). Въпреки това, преди няколко години, докато пътува из Узбекистан, Лу се интересува от моделите на мозайките, които украсяват местната средновековна архитектура, и забеляза нещо познато в тях. Връщайки се в Харвард, ученият започва да разглежда подобни мотиви в мозайките по стените на средновековни сгради в Афганистан, Иран, Ирак и Турция.

Този образец е датиран в по-късен период – 1622 г. (Индианска джамия).
Гледайки него и чертежа на неговата структура, човек не може да не се възхищава на упоритата работа
изследователи. И, разбира се, самите майстори.

Питър Лу открива, че геометричните схеми на гирихите са почти еднакви и успява да идентифицира основните елементи, използвани във всички геометрични дизайни. Освен това той открива рисунки на тези изображения в древни ръкописи, които древните художници са използвали като вид измама за украса на стени.
За да създадат тези модели, те използваха не прости, произволно измислени контури, а фигури, които бяха подредени в определен ред. Древните модели се оказаха точни конструкции на мозайки на Пенроуз!

Тези изображения подчертават едни и същи зони,
въпреки че това са снимки от различни джамии

В ислямската традиция имаше строга забрана за изображението на хора и животни, така че геометричните орнаменти станаха много популярни в дизайна на сгради. Средновековните майстори успяха по някакъв начин да го направят разнообразен. Но каква е тайната на тяхната "стратегия" - никой не знаеше. И така, тайната просто се оказва в използването на специални мозайки, които могат, като остават симетрични, запълват равнината, без да се повтарят.

Друга "трика" на тези изображения е, че "копирайки" подобни схеми в различни храмове според рисунките, художниците неизбежно ще трябва да признаят изкривявания. Но тези нарушения са минимални. Това се обяснява само с факта, че нямаше смисъл от мащабни рисунки: основното е принципът, по който да се изгради картина.

За сглобяването на гирихите са използвани плочки от пет вида (десет- и петоъгълни ромби и „пеперуди“), които в мозайката са подредени една до друга без свободно пространство между тях. Създадените от тях мозайки могат да имат едновременно ротационна и транслационна симетрия или само ротационна симетрия от пети ред (тоест те са мозайки на Пенроуз).

Фрагмент от орнамента на иранския мавзолей от 1304 г. Вдясно - реконструкция на гирих

Чрез разглеждане на стотици снимки на средновековни мюсюлмански обекти, Лу и Щайнхард успяха да датират появата на подобна тенденция към 13-ти век. Постепенно този метод набира все по-голяма популярност и към 15-ти век става широко разпространен. Датировката приблизително съвпада с периода на развитие на техниката за декориране на дворци, джамии, различни важни сгради с глазирани цветни керамични плочки под формата на различни многоъгълници. Тоест, керамичните плочки със специални форми са създадени специално за гирих.

Изследователите смятат светилището на Имам Дарб-и в иранския град Исфахан, датиращо от 1453 г., като пример за почти идеална квазикристална структура.

Портал на светилището на Имам Дарб-и в Исфахан (Иран).
Тук две системи от гири се наслагват една върху друга наведнъж.

Колона в двора на джамия в Турция (около 1200 г.)
и стените на медресе в Иран (1219). Това са ранни произведения.
и те използват само два структурни елемента, намерени от Лу

Сега остава да се намерят отговори на редица мистерии в историята на мозайките гирих и Пенроуз. Как и защо древните математици са открили квазикристални структури? Придавали ли са средновековните араби друго значение на мозайките освен художественото? Защо толкова интересно математическо понятие беше забравено за половин хилядолетие? И най-интересното - какви други съвременни открития са нови, което всъщност е добре забравено старо?

Преглеждания: 367

Изданието на списание Science от февруари 2007 г. включва статия на американските учени Питър Лу и Пол Стайнхард за средновековната ислямска архитектура, която веднага се превръща в научна сензация. Според авторите на статията мозайките, украсяващи стените на средновековните мавзолеи, джамии и дворци, са направени по математически закони, открити от европейски учени едва през 70-те години на XX век. Оттук ясно следва, че средновековните архитекти са били няколко века пред европейските си колеги.

Това откритие, както много в съвременната наука, се случи съвсем случайно. През 2005 г. аспирантът от Харвардския университет Питър Лу дойде като турист в Узбекистан. Възхищавайки се на стенния декор на мавзолея на Абдулахан в Бухара, той видя в него аналог на сложните геометрични конструкции, които някога е изучавал в университета. Странните форми на шарки върху множество самаркандски орнаменти само потвърдиха правилността на предположението му. След завръщането си у дома той говори за своето откритие пред ръководителя на бакалавърската си дисертация, професора от Принстънския университет Пол Щайнхард.

Задълбочено проучване на структурата на стенописите и орнаментиката на средновековните мюсюлмански архитектурни паметници в Узбекистан, Афганистан, Иран, Ирак, Турция и Индия потвърди правилността на предположението на Питър Лу и стана обект на сензационната статия, спомената по-горе.

За да разберем смисъла на откритието на Питър Лу и Пол Щайнхад, трябва да се запознаем с такива понятия като проблема с паркета, квазикристалната структура, златното число и т.н. Така че нека започнем презентацията по ред.

Паркет проблем и Пенроуз конструкции

В математиката задачата за непрекъснато запълване на равнина с многоъгълници без празнини и припокривания се нарича паркет. Още древните гърци са знаели, че този проблем може лесно да бъде решен чрез покриване на равнината с правилни триъгълници, квадрати и шестоъгълници.

В същото време обикновените петоъгълници не могат да служат като елементарни елементи на паркета, тъй като не могат да бъдат прилепнали плътно един към друг в равнината без празнини. Същото може да се каже и за седем-, осем-, девет-, десет- и т.н. квадратчета. Постепенно бяха измислени начини за запълване на равнината с правилни многоъгълници от различни видове и размери. Например, ето как можете да запълните равнина, като комбинирате четириъгълници и осмоъгълници с различни размери:

Много по-сложно развитие на този проблем беше условието, че структурата на паркета, съставена от няколко вида многоъгълници и покриваща изцяло равнината, да не бъде съвсем „правилна“ или „почти“ периодична. Дълго време се смяташе, че този проблем няма решение. Въпреки това, през 60-те години на миналия век, той все пак е решен, но това изисква набор от хиляди полигони от различни типове. Стъпка по стъпка броят на видовете намалява и накрая, в средата на 70-те години, професорът от Оксфордския университет Роджър Пенроуз решава проблема, използвайки само два вида ромби. По-долу е даден вариант на квазипериодично (т.е. почти периодично) запълване на равнината с ромби с остри ъгли 72 и 36°. Наричат ​​се още "дебели" и "тънки" ромби.

За да се получи непериодична картина при полагане на ромбове, трябва да се следват някои нетривиални правила за тяхното комбиниране. Оказа се, че тази на пръв поглед проста структура има много интересни свойства. Например, ако вземем съотношението на броя на тънките ромби към броя на дебелите, то винаги се оказва равно на така нареченото "златно сечение" 1,618 ... Тъй като това число е "не точно" , но, както казват математиците, ирационална, тогава структурата не е периодична, а почти периодична. Освен това това число определя съотношението между сегментите в рамките на десетоъгълниците, образувайки петолъчна звезда - пентаграма, която се счита за геометрична фигура с идеални пропорции. Обърнете внимание, че подчертаните десетоъгълници имат една и съща ориентация, която координира и дефинира местоположението на ромбовете, които съставят облицовката на Пенроуз. Удивително е, че тази чисто геометрична конструкция се оказва най-подходящият математически модел за описание на квазикристали, открити през 1984 г.

Какво представляват квазикристалите

Включихме този раздел в нашата статия, за да разкажем още една интересна история за това как една математическа конструкция, която е плод на чистото въображение на учените, неочаквано намери важно практическо приложение.

Всички вещества в природата могат да бъдат разделени на два вида: аморфни, при които няма закономерност във взаимното подреждане на атомите, и кристални, характеризиращи се със строго подреденото им подреждане. От законите на кристалографията следва, че за кристалите са възможни само оси на симетрия от първи, втори, трети, четвърти и шести ред, т.е. по аналогия с паркета, кристали със симетрия от пети порядък не могат да съществуват в природата. Това обстоятелство е строго доказано на базата на математическата теория на групите в многомерни пространства. Но природата, както винаги, се оказва много по-изобретателна и през 1984 г. е публикувана работата на групата на Шехтман, която съобщава за откриването на сплав от алуминий с манган, която има ротационна симетрия от пети ред. Впоследствие са синтезирани много подобни сплави с неизвестни досега свойства. Тези сплави бяха наречени квазикристали и сега се считат за междинни между аморфните и кристалните форми на материята.

Именно благодарение на това откритие геометричната конструкция на Пенроуз, която се оказа най-подходящият инструмент за моделиране на структурата на квазикристалите, придоби голяма слава и беше доразвита. И затова е включен в университетските курсове. Понастоящем вече е получено триизмерно обобщение на облицовката на Пенроуз, съставена от тънки и дебели ромбоедри - шестостенни фигури, всяко лице на които е ромб.

Каква геометрия е в основата на средновековните мозайки

След анализ на около 3700 мозаечни плочки, Лу и Щайнхард стигнаха до заключението, че в началото на 13-ти век технологията за декориране на мавзолеи, джамии и други сгради с периодични мозайки, съставени от набор от пет многоъгълника, а именно десетоъгълник, шестоъгълник, папийонка, разпространени в мюсюлманските страни (терминология на авторите на статията), петоъгълник и ромб. По същество това беше решение на проблема с паркета, описан по-горе, като се използва набор от пет "мюсюлмански" полигона. Модели, съставени от такива многоъгълници, се наричат ​​"гирих" (от персийски - възел).

Обърнете внимание, че лицата на всички полигони са с еднакъв размер, което им позволява да бъдат съединени от двете страни. Освен това на всяка многоъгълна плочка има декоративни линии, но те също са начертани според строги геометрични правила: всякакви две линии от шаблона се събират в средата на всяка страна под ъгли от 72 или 108 °, т.е. кратни на 36°. Това гарантира, че непрекъснатостта на шаблона се поддържа при преминаване от една плочка на друга.

За да изградите такава мозайка, беше достатъчно да имате на ваше разположение пергел и линийка. Между другото, преди откритието на американски учени се смяташе, че средновековните занаятчии използват само най-простите инструменти, като владетел и компас, при създаването на декора на сгради. Сега стана ясно, че това не е съвсем вярно.

15-ти век е най-творческият период от разцвета на науката и културата в страните, управлявани от Тимуридите. По това време настъпва качествен скок в изкуството на орнаментиката. Това се потвърждава от факта, че многобройни проучени паметници като мавзолея на Дарб-е-Имам в Иран, гробницата на Хадж Абдула Ансари в Херат и други принадлежат към епохата на Тимурид.

Комбинацията от традиционната мозайка гирих, която се е превърнала по това време, и геометричните фигури "стрела" и "хвърчило" (отново в терминологията на Лу и Щайнхард) направи възможно създаването на

непериодични модели, напомнящи облицовка на Пенроуз. От това следва, че по това време те може да са използвали по-сложни инструменти, но е ясно, че през 15 век има концептуален скок в техниката на декорация!

Още в следващите интервюта след публикуването на статията Лу и Щайнхард отбелязаха, че не могат да кажат доколко самите средновековни архитекти са разбрали детайлите на своето откритие, но това, което виждат, е аналог на структурите на Пенроуз. И са напълно сигурни, че това, което са открили, не може да бъде просто някакво случайно съвпадение.

Лирическо отклонение

Това е направено. Успях да разбера тънкостите на геометричните шарки, които придават уникална красота на творенията на нашите предци, и се надявам до известна степен да задоволя любопитството на нашите сънародници. Разбира се, остава известно недоволство, защото и аз стотици пъти се възхищавах на красотата и елегантността на самаркандските орнаменти. Защо тази мисъл никога не ми хрумна. За да се оправдая, мога само да кажа, че когато квазипериодичната структура на Пенроуз влезе в университетските курсове, аз вече работех върху докторската си дисертация по моята тясна специалност. А Питър Лу е само на 28 години и вече е преминал структурите на Пенроуз в университета. Разбира се, познаването и разпознаването на напълно неочаквано място проявата на някаква закономерност са съвсем различни неща, но за да стане това, човек трябва поне да знае, че такъв закон съществува.

Но лирическото отклонение не е за това. Отне ми два дни или по-скоро две безсънни нощи, за да стигна до дъното на статията в списание Science, но причините, поради които не направих това по-рано, мисля, имат дълбоко философско значение. Когато прочетох в интернет информация за статията на Лу и Щайнхард, веднага се обадих на моя колега, специалист в областта на геометрията. Той веднага разбра за какво става дума, но ме разстрои, като каза, че съм го хванал преди да замина за летището. Когато научих, че той няма да се върне от командировка в чужбина до три месеца по-късно, го помолих поне да ми препоръча някоя книга, в която да прочета за структурите на Пенроуз. Той ми нарече книга и в същото време добави, че това е много сложна математика и едва ли ще може бързо да се разбере всичко, камо ли да се обясни по популярен начин на обикновените хора. Когато прелистих препоръчаната ми книга, натъпкана с такива понятия като многоизмерни инвариантни пространства, коефициентното пространство на дуалното ирационално пространство, моят ентусиазъм бързо избледня.

След като съобщи агенция "Джахон", интересът на нашата научна, а не само научна общност към този въпрос започна да расте лавинообразно. Сред експертите от Академията на науките и Националния университет, разбира се, имаше специалисти, които разбират сложните въпроси на алгебрите на Ли, теорията на групите, многомерните симетрии и т.н. Но всички те бяха единодушни в мнението си, че е невъзможно да се обяснят тези неща по популярен начин. Онзи ден внезапно ми хрумна тривиална мисъл: Чакай. Но как са се замислили за това средновековните архитекти, тъй като не са разполагали с най-мощния апарат на съвременната математика? Този път реших да се опитам да го разбера не чрез сложния математически апарат на квазипериодичната структура на Пенроуз, която се оказа тъмна гора за мен, а да следвам пътя на средновековните архитекти. За да започна, изтеглих оригиналната статия от Lou and Steinhardt от интернет. Техният метод ме изуми. За да обяснят същността на своето откритие, те също тръгнаха по този път, т.е. използвайки концептуалния апарат на средновековните архитекти и оперирайки с такива прости неща като мозайката „гирих”, плочки „стрела”, „хвърчило” и др.

Философският смисъл на всичко това е, че за да разберем законите на природата (а може би и на обществото) не е необходимо всички да следват един и същи път. Човешкото мислене също е многоизмерно. Има източен подход и има западен подход. И всеки от тях има право на съществуване и в конкретен случай може неочаквано да се окаже по-ефективен от обратното. Така се случи и в този случай: това, което западната наука успя да открие въз основа на огромно обобщение на трънлив опит, източната наука направи въз основа на интуицията и чувството за красота. И резултатите са очевидни: в практическото прилагане на законите на геометрията на практика източните мислители са били пет века пред западните!

Шухрат Егамбердиев.
Астрономически институт на Академията на науките на Република Узбекистан.

Пълният текст на статията с цветни илюстрации можете да намерите в следващия (статията е написана през 2008 г. ЕС) брой на списание Fan va turmush - Наука и живот на Узбекистан.