Новият клас игри с пентомино, който сега ще разгледаме, може да се характеризира като проблеми за "комбиниране" на фигури, тоест задачи за сгъване на две или повече еднакви фигури от пентомино. Ето няколко примера:

1. Опитайте се да направите два еднакви правоъгълника 5×6 от 12 различни пентомино (6 пентомина ще бъдат изразходвани за всеки). На фиг. Фигура 21 показва наборите от пентомино, съответстващи на тези правоъгълници, и е любопитно, че горното разделяне на нашите фигури на два набора от шест пентомина е единственото възможно. От това обаче не следва, че проблемът има уникално решение. Наистина, за набора от фигури, показан на фигурата вдясно, можем да свържем F- и N-пентомината по различни начини, като по този начин получим една и съща фигура (как?).

Ориз. 21. Два комплекта от 6 пентомино, за да образуват правоъгълници 5×6

Забележете, между другото, че решението на този проблем едновременно служи като решение на проблема за покриване на 12 пентомино правоъгълника с размери 5×12 и 6×10. За да проверите това, достатъчно е да прикрепите нашите правоъгълници 5 × 6 един към друг по два начина.

2. Намерете такава корица от 12 различни пентомино на шахматна дъска 8x8 с дупка 2x2 в центъра на дъската, така че дъската да може да бъде разделена на две еднакви части, всяка от които е покрита с шест пентомина. Три типични решения на този проблем са показани на фиг. 22.

Ориз. 22. Типично решение на проблема за покриване на шахматна дъска 8×8 с централна „дупка“ 2×2, като покритието е разделено на две равни части

3. Разделете 12-те пентомино на три групи от по четири парчета всяка, така че да има 20-клетъчна "дъска", която може да бъде покрита от четири пентомино, образуващи всяка от групите. Решението, показано на фиг. 23, в никакъв случай не е единственият; читателят може да се опита да намери свое собствено решение.

4. Отново разделете нашите 12 пентомино на три групи по четири пентомино; разделете всяка група на свой ред на двойки пентомино и измислете три 10-клетъчни "табла" (по една за всяка група), покрити от която и да е от двойките полимино, включени в съответната група. Едно от решенията е показано на фиг. 24. Опитайте се да намерите други решения, по-специално тези, при които нито една от трите „дъски“ няма дупки (съществуват подобни решения).

5. Разделете отново 12-те пентомино на три групи по четири полимино. Ако сега добавим мономино към всички набори, можем да опитаме да добавим три правоъгълника 3 × 7 от тях. Решението на проблема е показано на фиг. 25. Известно е, че няма други решения, с изключение на факта, че мономино и Y-пентомино могат да бъдат пренаредени в най-левия правоъгълник по такъв начин, че да образуват една и съща фигура като цяло.

Ориз. 25. Решаване на задачата за покриване на три правоъгълника 3×7

Доказателството за уникалността на решението на последния проблем беше предложено от инженера C. S. Lawrence от Aerospace Corporation (Лос Анджелис). на фиг. 26. Завършвайки първия правоъгълник, очевидно вече не можем да използваме нито F-, нито W-пентамино. Също така е лесно да се види, че последните две фигури очевидно трябва да принадлежат на различни правоъгълници с размер 3×7; с други думи, от нашите три правоъгълника 3×7, един ще съдържа X и U пентомино, друг W пентомино и накрая трети F пентомино. Даваме на читателя възможност да завърши решението на проблема самостоятелно и с помощта на прост, макар и доста скучен анализ на всички възможни останали опции за местоположението на фигурите, да покажем, че решението, показано на фиг. 25 всъщност е единственият.

Ориз. 26. Единствената възможна позиция на X-пентамино в правоъгълник 3×7

6. Разделете нашите 12 пентомино на четири групи по три фигури всяка и измислете такава 15-клетъчна „дъска“, която да може да бъде покрита с всички пентомино от всяка от групите.

Този проблем все още не е решен, но в същото време не е доказано, че такава "табла" не съществува.

7. Изрежете от шахматната дъска фигура с възможно най-малка площ, състояща се от определен брой съседни клетки на дъската, така че върху тази фигура да може да се постави всяко пентомино.

Минималната площ на такава фигура е 9 квадрата (клетки); две 9-клетъчни решения на задачата са показани на фиг. 27. Наистина, лесно е да се провери дали всяко пентомино ще се побере на всяка от "дъските", показани на фигурата. От друга страна може да се докаже, че най-малката възможна площ на необходимата фигура е площ от 9 квадрата. Всъщност, ако имаше по-малко от 9-клетъчна фигура, отговаряща на необходимите условия, тогава като поставихме I-, X- и V-пентомино върху нея, бихме ги комбинирали така, че заедно да покриват площ от не повече от 8 клетки . Ясно е, че I- и X-пентамино ще бъдат комбинирани в този случай в три клетки: в противен случай или веднага ще получим фигура от 9 клетки, или (ако централната клетка на X-пентамино съвпада с външната клетка на I- pentamino) ще стигнем до фигура от 9 клетки - ако изискваме V-пентамино също да бъде поставено върху тази фигура. Но това условие е изпълнено само от двете показани на фиг. 28 конфигурации от 8 клетки, така че V-pentomino да е поставен на въпросната "платка". Лесно е обаче да се види, че и двете "платки" не пасват например на U-пентамино; за да се гарантира, че U-пентамино е поставено и на "плочката", ще е необходимо да се увеличи някоя от фигурите, показани на фиг. 28 броя за поне още един квадрат. По този начин площ от 8 клетки няма да е достатъчна за решаване на проблема, докато фигурите от 9 клетки, които отговарят на условието на проблема, както видяхме по-горе, съществуват.

Преди няколко години съвременните електронни компютри бяха използвани за решаване на различни проблеми с полиомино. Така в доклада на известния американски специалист по математическа логика Дан Стюарт Скот, професор в Станфордския университет (виж библиографията в края на книгата), бяха обсъдени два проблема, които бяха решени с помощта на компютъра на Станфордския университет МАНИАК. Първият от тях, вече познат за нас, се състоеше в сгъване на 12 различни пентомино в правоъгълник 3x20. Оказа се, че двете й решения, изброени на страница 24, са единствените възможни. Втората задача беше да се изброят всички възможни покрития на 12 различни пентомино върху шахматна дъска 8x8 с квадрат 2x2, изрязан в центъра (квадрат тетрамино). Оказа се, че последният проблем има 65 различни (тоест неполучени едно от друго чрез завъртания и отражения на дъската) решения.

При съставянето на програмата Д. Скот използва много проста и гениална идея, която е следната: X-пентамино може да бъде поставен на шахматна дъска само по три значително различни начина, показани на фиг. 29; Електронният компютър MANIAC намери 20 решения за първия аранжимент на Х-пентамино, 19 за втория и 26 за третия аранжимент. Три от най-интересните решения сред тези 65 са показани на фиг. 30 и на фиг. Фигура 31 показва три невъзможни ситуации – те са невъзможни просто защото не са в списъка на Скот.

Ориз. 29. Три възможни X-pentomino позиции на шахматна дъска 8×8 с премахнато централно квадратче 2×2

Ориз. 30. Три интересни решения на проблема за покриване на дъска 8×8 с премахнат централен квадрат 2×2

Ориз. 31. Невъзможни покрития от полиомино шахматна дъска 8×8

Професор от университета в Манчестър С. Б. Хаселгроув, английски астроном, известен също с резултатите си в теорията на числата, не толкова отдавна с помощта на компютър изчисли броя на възможните начини за събиране от всичките 12 пентомино на правоъгълник 6 × 10. Ето неговия резултат: без да броим завоите и отраженията на шахматната дъска, компютърът намери 2339 коренно различни решения! В същото време Hazelgrove провери и потвърди двата резултата на Дан Скот, споменати по-горе.

В заключение, ето още три несъмнено забележителни проблема, свързани със състава на фигури от пентомино:

1. Покрийте "64-клетъчната пирамида", показана на фиг. 32, 12 различни пентомино и квадратно тетрамино (последното обаче може да бъде заменено с всяко друго тетрамино). Едно от решенията е показано на фиг. 32.

Ориз. 32. "Триъгълник" от 64 квадрата

2. Покрийте с 12 пентомино продълговатия кръст, показан на фиг. 33

3. Професор Р. М. Робинсън (който също първи посочи „назъбения квадрат“, даден в глава VI) има много просто доказателство, че фигурата от 60 клетки, показана на фиг. 34, не можете да покриете 12 различни пентомино. Всъщност от ръбовете тази фигура е ограничена до 22 клетки (включително четири ъглови) и ако преброим колко квадрата от всяко от 12-те пентомино могат да бъдат на ръба на нашата фигура, тогава общо получаваме само 21 клетки - едно по-малко от необходимото:

Т-пентамино - 1; W-пентамино - 3; Z-пентамино - 1; L-пентамино - 1; U-пентамино - 1; Х-пентамино - 3; F-пентамино - 3; Р-пентамино - 2; V-пентамино - 1; Y-пентамино - 2; 1-пентамино - 1; N-пентамино - 2 Общо: 21 клетки.

Аргументи от този вид, където вътрешните и "граничните" клетки на дъската се разглеждат отделно, са много полезни при сгъване на "зигзагообразни" парчета.

Други интересни пъзели пентомино ще бъдат обсъдени в гл. VI.

Pentomino е много популярна логическа игра и пъзел едновременно. Елементите в играта са плоски фигури, всяка от които се състои от пет еднакви квадрата. Общо има 12 елемента на пентомино, обозначени с латински букви, чиято форма наподобяват (виж фигурата).

Как да си направим Pentomino

Можете да направите пентомино от кубчета, но тогава ще трябва да залепите и залепите 60 кубчета с цветен филм - това е трудно. Предлагаме да направим елементи от дебелия им картон.

• Начертаваме всеки елемент върху плътен картон, изрязваме го, проверяваме дали елементът е включен в елемента „U“. Подрежете, ако е необходимо. Начертахме детайли от квадратчета 2,5х2,5 см.

• Обикаляме готовия картонен елемент върху цветна хартия, сгъната наполовина, и изрязваме две цветни части наведнъж. По-добре е да направите цветните части по-малки от картонените и те залепват по-добре, а ъглите ще бъдат по-равни.

• Залепваме цветна хартия с лепило-молив от двете страни на картона.

• Намираме кутия за съхранение на части, където ще поставим и схемите и задачите за играта.

Игри и задачи с Pentomino

Сгънете правоъгълник.

Най-често срещаната задача на пентомино е да сгънете всички фигури, без припокривания и празнини, в правоъгълник. Тъй като всяка от 12-те фигури включва 5 квадрата, правоъгълникът трябва да има площ от 60 единични квадрата. Възможни са правоъгълници 6x10, 5x12, 4x15 и 3x20.
Има точно 2339 различни подреждания на пентомино в правоъгълник 6x10, но има само 2 варианта на правоъгълник 3x20.

Един от двата начина за сгъване на правоъгълник 3x20

Честно казано, цяла вечер се опитах да го сглобя - не се получи, така че е по-добре да не предлагам на детето такава задача.

По-добре е децата да тренират на малки правоъгълници от няколко части.
Тук сме начертали опции за сгъване на правоъгълници от три части.

Сгънете фигурата

Техните елементи могат да се комбинират с различни форми, симетрични шарки, букви от азбуката, цифри.
За малки деца е по-добре да сгънете фигурите според шаблона, като мозайка.
Фигурите могат да бъдат отпечатани или преначертани върху лист хартия в кутия.

Фигура "Патица", сгъната по модел.

Игри с деца.

По-добре е да играете с децата по съвсем различен начин, не бива да им давате сложни логически задачи веднага, оставете ги да играят с пентомино като пъзели.

• Дъщеря ми (3,5 години) ги поставя един в друг, търси подходящ цвят или форма и в получената сглобена фигура търси признаци на прилика с животно или познат предмет. Например, ако фигурата изглежда като слон, тогава можете да опитате да направите хобота по-дълъг или да увеличите ушите, след което да премахнете няколко елемента и да превърнете фигурата в мишка или някой друг.

• Покажете на детето си как да сгъне малък правоъгълник. След това се счупи, сякаш случайно. Преди да го счупите, можете да привлечете вниманието на детето къде кои части са. Помолете за помощ, за да го съберете отново, в противен случай не можете.

Да, можете да измислите още много игри с пентомино, основното е, че детето и вие ще се интересувате.

Пентомино от Лего

Между другото, ако имате много стандартни лего тухли у дома, можете да опитате да направите пентомино от тях. Фигурките, сгънати от Lego, се оказват обемни и ще бъде възможно да се сглобят, в допълнение към обикновените, равнинни модели, обемни фигури.

Схемата за сглобяване е доста проста: два реда тухли, подредени една върху друга с изместване.

обичаш ли да играеш?

Значението и незаменимостта на играта в нашия живот отдавна е доказано от много психолози, учени и самия живот. Играем от детството, учим се да общуваме в процеса на игра, да изграждаме взаимоотношения.
Събиране с цялото семейство или с приятели, чат за различни неща, почерпване на всеки с нещо вкусно, игра на вълнуващи игри в настолна игра - всичко това придава на живота ни специален привкус.

Днес страстта към настолните игри придобива тотален характер. В края на краищата съвременните настолни игри са не само "проходки", но и стратегически, икономически, детективски, логически игри.

В света вече има до 10 хиляди настолни игри на различни теми. Разбира се, не можете да сте в крак с всички иновации, а някои игри са твърде скъпи. Но играта може да бъде направена със собствените си ръце

Ето някои игри.

танграм

Пъзел игрите за пресъздаване на фигуративни изображения от геометрични фигури се използват за подобряване на визуалното възприятие и анализ, визуалната памет и комбинаториката. Наборите от фигури са части от фигура, изрязани по определен начин: квадрат, правоъгълник, кръг или овал. Интересни са за децата. Децата бяха очаровани от резултата – да композират това, което са видели върху пробата или това, което са имали намерение.

Успехът на овладяването на играта при децата зависи от сензорното развитие на децата. Децата, наречени геометрични фигури, техните свойства, техните отличителни черти, свободно движат фигурите. Децата развиват способността да анализират изображения, да подчертават геометрични форми, да променят форми, като ги изрязват и композират от части.

Има различни пъзел игри за пресъздаване на равнинни изображения на обекти, животни, птици, къщи, кораби от геометрични фигури, като: "Танграм", "Питагор", "Сфинкс", "Вълшебен кръг", "Колумбово яйце", "Лист " , "Виетнамска игра", "Пентамино".

Но сега ще разгледаме само един от тях - "Танграм".

Появата на този китайски пъзел е свързана с красива легенда. Преди почти две хиляди години и половина дългоочакваният син и наследник се ражда на възрастния император на Китай. Минаха години. Момчето израсна здраво и с ум над годините си. Едно нещо притеснявало стария император. Момчето изпитвало голямо удоволствие да играе с играчките по цял ден. Императорът повикал при себе си трима мъдреци, единият от които бил известен като математик, другият станал известен като художник, а третият бил известен философ и им заповядал да измислят игра, забавлявайки се с която, неговият синът ще разбере началото на математиката, ще се научи да гледа на света около себе си с погледа на художник, ще стане търпелив, като истински философ и ще разбере, че често сложните неща са съставени от прости неща. Трима мъдреци измислиха "Ши-Чао-Чу" - квадрат, разрязан на седем части.

Твърди се, че танграмът е бил любимата игра на Наполеон, който, след като е загубил трона си, прекарва дълги часове в изгнание, играейки тази игра, "упражнявайки своето търпение и съобразителност"

Същността на играта е да създавате разнообразни фигури, силуети на предмети по модел или дизайн върху равнина от седем части от квадрат. Търговските комплекти обикновено идват с карти със задачи.

1 вариант: Най-простият. Ако детето е малко, поканете го да направи фигура, като наслагвате елементите върху пробата, разделена на съставните й части.

Вариант 2:Ако сте разбрали първото, тогава можете да направите фигури според примера, тоест картината е пред вас и съставяте елементите, които вече гледате фигурите, разделени на части.

3 вариант:За по-големи деца можете да оставите само контурите на фигурата.

4 вариант:Всъщност творчески задачи - сами да измислите и сгънете фигурата.

Малките деца също могат да се присъединят към пъзела. За тях можете да измислите много прости задачи. Например, сгънете от два триъгълника или от два правоъгълника - квадрати, от триъгълници - голям триъгълник или успоредник. Този метод може да се използва за изучаване на основните геометрични форми.

Можете сами да направите танграм. Много е просто. Ще ви трябва шаблон за пъзел. Отпечатайте Танграма или го нарисувайте сами според образеца. Можете да използвате многоцветни елементи, ако детето е малко - в същото време запомнете цветовете и е по-интересно да работите - играйте с цветни

материал.

При решаването на пъзела трябва да се спазват две правила: първото е, че трябва да се използват всичките седем фигури на танграма, а второто е фигурите да не се припокриват една с друга. Приемайки математическата наука - комбинаториката, бяха получени повече от 5000 възможни варианта на сгънати фигури.

Примери за сглобяване:

"ПИТАГОР"

Пъзел Питагормного прилича на добрия стар Tangram.Пъзелима формата на квадрат, нарязан на 7 части, комбинирайки които, можете да създадете огромен брой геометрични фигури, силуети на животни, хора, различни предмети и др. Всички детайли са с различни размери, това е трудността, така че е доста трудно да се събере фигура от тях.

В инструкциите за пъзелПредлагат се 15 различни задачи.Пъзел Питагорможе да се използва в часовете по математика, у дома или в училище, защото отлично допринася за развитието на въображението, логиката, вниманието, пространственото мислене, математическите и творческите способности. Можете да направите от картон или да изрежете от пластмаса.пъзел на питагори вашето семейство са гарантирани положителни емоции и добър раздор.

МАГИЧЕСКИ КВАДРАТ

Геометричният пъзел Magic Square принадлежи към второ ниво на трудност и е подходящ за деца над 4 години. Работейки с пъзел, детето ще се запознае с прости геометрични фигури: триъгълник, трапец, квадрат.

Пъзел „Монголска игра“

Един вид геометричен пъзел, по подобие на "Танграм" или "Питагоров квадрат".

Пъзелът е квадрат, нарязан на 11 части: 2 квадрата, един голям правоъгълник, 4 малки правоъгълника, 4 триъгълника. Най-добре е да направите такъв пъзел от двустранен картон или пластмаса.

Същността на играта- събирайте фигури от тези елементи според принципа на мозайката.

Как да играя:

Съставете геометрични фигури. В интернет можете да намерите готови задачи с отговори или сами да измислите задачи за детето си.
За да нарисувате фигурите, ще ви е необходим кариран лист. Можете да вземете обикновен лист училищна хартия. Елементите, които съставляват „Монголската игра“, са много прости и няма да ви е трудно да композирате композиции от тях.

Ето, например, няколко фигури, съставени от парчета пъзел.

Ако детето е малко, тогава можете да направите фигури според примера, тоест фигури, разделени на съставни части. За по-големи деца можете да оставите само контурите на фигурата.

Малките деца също могат да се присъединят към пъзела. За тях можете да измислите много прости задачи. Например, сгънете от два триъгълника или от два правоъгълника - квадрати, от триъгълници - голям триъгълник или успоредник. Този метод може да се използва за изучаване на основните геометрични форми.

Пъзел "СФИНКС"

Пъзелът Сфинкс се състои от различни геометрични фигури: от
4 триъгълника и 3 четириъгълника с различни пропорции. От
елементи могат да бъдат сглобени силуети на птици, хора, животни, развиващи се
наблюдение и геометрично въображение.

Инструкцията съдържа
схеми за изграждане на повече от две дузини фигури:

Игри – пъзели развиват пространствено въображение, комбинаторни способности, изобретателност, изобретателност, съобразителност. Лесни за разбиране, но доста трудни за решаване, пъзелите са на тънката линия между забавната игра и интелектуалното развитие.

Пъзели от Алексей Шамшин

И още един

Пъзел Архимед СТОМАХИОН

Предложеният пъзел Архимедова игра е уникален геометричен конструктор, който се е играл в древни времена. Другото му име е "Стомахион".

Елементите на играта се получават чрез произволно разделяне на правоъгълника на 14 части. От получените детайли се изграждат различни сюжетни силуети върху равнина, например седящо куче, тичащ човек, различни цветя, птици. Можете също да добавите многофигурни композиции. Необходимо е да въвеждате детето в играта постепенно.

Упражнявайте бебето си да различава геометрични форми. Можете да поканите детето да преброи страните, ъглите, да групира фигурите по форма, размер, да ги назове. След това се опитайте да изградите най-простите изображения. За да се улесни пъзела на играта Архимед, се предлага първо да се подредят фигурите според приложените диаграми.

Пъзел "ЛИСТ"

Геометричен пъзел-мозайка Leaf е предназначен за деца на възраст 4+.игура, наподобяваща лист от люляк. Този люляк лист е направен от други форми: триъгълници, квадрати, трапеци.

Работата с пъзел развива детското око, възприемането на формата, координацията между ръцете и очите, пространственото мислене и въображението.Насърчава развитието на произвол (способност да се играе по правилата и да се следват инструкциите), познавателна активност, фини двигателни умения, въображение, формиране на сензорни стандарти за цвят, размер и форма, комбинаторни способности,абстрактно мислене.

"Вълшебен кръг"

Кръгът се разрязва на 10 части. Правилата на играта са същите като в други подобни игри: използвайте всичките 10 части, за да съставите силуета, без да се припокриват една с друга. Изрязаният кръг трябва да бъде оцветен еднакво от двете страни.

ВИЕТНАМСКА ИГРА

Композицията на "Виетнамската игра" включва кръг, разделен на седем части и рамка, в която се вписват елементите. Всички части от пъзела са опростени, някои от тях са с еднакъв размер. Поканете детето си да изгради силует на някакво животно или птица от сложни детайли. В началото не можете да използвате всички елементи, след това постепенно усложнявайте задачите.

Можете да проектирате според схемите или можете да измислите свои собствени сюжетни композиции.

Чрез конструирането на прости фигуративни фигури децата научават възприемането на формата, способността да разграничават фигура от фона и да подчертават основните характеристики на даден обект. Пъзелът развива окото, аналитични и синтетични функции, въображение (репродуктивно и творческо), координация ръка-око и способност за работа по правилата. Играта е предназначена за деца от 4 години

КОЛУМБИЙСКО ЯЙЦЕ

Има една история - може би измислена. Откривателят на Америка Колумб е поканен при всемогъщия кардинал Мендоса. На масата, по молба на гостите, той започна да разказва как точно е открил Новия свят (който обаче смятал за Индия). Един от присъстващите, ограничен, но самоуверен човек, сви рамене и каза: „Толкова ли е просто всичко?“

Колумб го погледна и му подаде пилешко яйце, лежащо върху чиния: „Накарай го да стои на пръсти“. Разбира се, опитите за инсталиране на яйцето бяха неуспешни. „Немислимо е...“ – каза обезкураженият събеседник на Колумб. — Много е просто! - отвърна с усмивка навигаторът и, счупвайки чорапа на яйцето на масата, лесно го принуди да се изправи.

Изразът "Колумбово яйце" - се превърна в олицетворение на остроумен и неочакван изход от трудностите, синоним на просто решение на трудни въпроси.

Нека се запознаем с увлекателната пъзел игра Columbus egg, която перфектно ще разведри времето на пътя, чакането в клиниката и, разбира се, ще развие логиката и мисленето на детето. Принципът на играта е прост. Нарежете по линиите на фигурата на яйцата на малки части. Задачата на детето е да сглоби фигурката по модел. Но понякога можете да мечтаете и да измислите свои собствени опции, да видите познато изображение на фигурата.

Ето фигурите със задачи

Пентомино

Известна логически пъзел игра. Именно тази игра вдъхнови Алексей Пажитнов да създаде популярната компютърна игра Tetris.

Pentomino е много популярна логическа игра и пъзел едновременно. Елементите в играта са плоски фигури, всяка от които се състои от пет еднакви квадрата. Общо има 12 пентомино елемента, обозначени с латински букви, чиято форма наподобяват

Можете да направите пентомино от кубчета, но тогава ще трябва да залепите и залепите 60 кубчета с цветен филм - това е трудно. Предлагаме да направим елементи от дебелия им картон.

• Начертаваме всеки елемент върху плътен картон, изрязваме го, проверяваме дали елементът е включен в елемента „U“. Подрежете, ако е необходимо. Начертахме детайли от квадратчета 2,5х2,5 см.

• Обикаляме готовия картонен елемент върху цветна хартия, сгъната наполовина, и изрязваме две цветни части наведнъж. По-добре е да направите цветните части по-малки от картонените и те залепват по-добре, а ъглите ще бъдат по-равни.

• Залепваме цветна хартия с лепило-молив от двете страни на картона.

• Намираме кутия за съхранение на части, където ще поставим и схемите и задачите за играта.