Мишена:

1. Да знае дефиницията на първоизводна, основното свойство на първоизводната, правилата за намиране на първоизводна;
2. Да може да намира общата форма на първоизводното;
3. Развийте умения за самоконтрол и интерес към предмета;
4. Култивирайте воля и постоянство за постигане на крайни резултати при изпълнение на задачите.

По време на часовете

I. Организационен момент.

II. Проверка на усвояването на изучения материал.

1. Анкета с помощта на карти:

А) Формулирайте определението за антипроизводно?
Б) Формулирайте знак за постоянство на функцията?
В) Формулирайте основното свойство на антипроизводните?
Г) Продължете фразата „Разликата е ....”
Г) Интеграцията е...
E) Графиките на всеки две първоизводни за функцията f се получават една от друга…….
G) Какво е това?...

2. Намерете общата форма на първоизводните за функцията:

А) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Измежду дадените функции изберете първоизводната за функциите y = - 7x ³

III. Групова работа

1-ва група - реди пасианс. На масите има изрязани карти. Измислете всички формули, които знаете. Колко пъти сте имали късмет?

2-ра и 3-та група - работа с тото. Запишете получената ключова дума.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5-3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(ключова дума – антидериват)

4-та група – работи с кръстословица.

Кръстословица.

Въпроси:

2. Каква е графиката на функцията y = ax + b.

4. Какъв урок обикновено се провежда преди теста.

5. Синоним на думата дузина.

6. Има го във всяка дума, в уравнения и може да бъде в уравнения.

7. Какво може да се изчисли по формулата a b.

8. Едно от най-важните понятия в математиката.

9. Форма на урока, на който се провежда проверката на знанията.

10. Немски учен, който въвежда интегралното смятане.

11. Множеството от точки на равнината с координати (x; y), където x минава през областта на дефиниране на функцията f.

12. Съответствията между множествата X и Y, при които всяка стойност от множеството X е свързана с една стойност от множеството Y, се нарича...

При правилно решаване на кръстословицата под номер 1 вертикално, прочетете ключовата дума.

IV. Анализ на заданието за единен държавен изпит по тази тема от минали години.

Посочете първоизводната F на функцията f(x) = 3sin x, ако е известно, че F(П) = 1.

V. Самостоятелна работа.

Групи 1 и 2 – изпълнете теста.

Част А

A1. Сред тези функции изберете тази, чиято производна е f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. Намерете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3. За функцията f(x) =8x – 3 намерете първоизводната, чиято графика минава през точка M (1; 4).

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. Намерете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. Първоизводната за функцията f(x) = sin x + 3x2 е функцията

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. Първоизводната за функцията f(x) = 3sin x е функцията

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. Първоизводната за функцията f(x) = cos 2x е функцията

1) F(x) = 0,5 sin 2x
2) F(x) = 0,5 sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Първоизводна за функцията f(x) = 2 sinx cosx за функцията

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. За функцията f(x) = 6/cos23x + 1 намерете първоизводна, чиято графика минава през точката M (P/3; P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

Част Б

В 1. Функцията F(x) е първоизводна на функцията f(x) = x5 – 3x2 – 2. Намерете F(1), ако F(- 1) = 0.

3-та и 4-та група - коригирайте грешката.

а) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
в) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
г) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
д) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 върху (0; +)
g) За функцията f(x) = 10 sin 2x, намерете първоизводната, чиято графика минава през точката M (-3/2P; 0)

VI. Обобщение на урока.

Д/З.No348, индивидуална работа: Направете презентация по темата.

Антипроизводна функция f(x)между (а; б)тази функция се нарича F(x), че равенството е валидно за всеки хот даден интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константа СЪСе равно на нула, тогава равенството е вярно. Така че функцията f(x)има много примитиви F(x)+C, за произволна константа СЪСи тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Дефиниция на неопределен интеграл.

Целият набор от антипроизводни функции f(x)се нарича неопределен интеграл на тази функция и се обозначава .

Изразът се нарича интегрант, А f(x) – интегрална функция. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x).

Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича несигуренинтеграция, защото резултатът от интеграцията е повече от една функция F(x), и множеството от неговите примитиви F(x)+C.

Геометричен смисъл на неопределения интеграл. Графиката на първоизводната D(x) се нарича интегрална крива. В координатната система x0y графиките на всички първоизводни на дадена функция представляват семейство от криви, които зависят от стойността на константата C и се получават една от друга чрез паралелно изместване по оста 0y. За примера, обсъден по-горе, имаме:

J 2 x^x = x2 + C.

Семейството от първоизводни (x + C) се интерпретира геометрично чрез набор от параболи.

Ако трябва да намерите такъв от семейство антипроизводни, тогава се задават допълнителни условия, които ви позволяват да определите константата C. Обикновено за тази цел се задават начални условия: когато аргументът x = x0, функцията има стойност D (x0) = y0.

Пример. Изисква се да се установи, че една от първопроизводните на функцията y = 2 x, която приема стойността 3 при x0 = 1.

Необходимата първоизводна: D(x) = x2 + 2.

Решение. ^2x^x = x2 + C; 12 + С = 3; С = 2.

2. Основни свойства на неопределения интеграл

1. Производната на неопределения интеграл е равна на функцията интегранд:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на израза за интегранд:

3. Неопределеният интеграл на диференциала на определена функция е равен на сумата от самата тази функция и произволна константа:

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

5. Интегралът на сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) на интегралите:

6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:

7. Свойство за инвариантност на неопределения интеграл:

Ако , Че

8. Имот:

Ако , Че

Всъщност това свойство е частен случай на интегриране с помощта на метода за промяна на променливата, който се обсъжда по-подробно в следващия раздел.

Да разгледаме един пример:

3. Метод на интегриранев който даден интеграл се редуцира до един или повече таблични интеграли посредством идентични трансформации на интегранд (или израз) и прилагане на свойствата на неопределения интеграл, се нарича директна интеграция. Когато този интеграл се редуцира до табличен, често се използват следните диференциални трансформации (операция " подписване на диференциалния знак»):

Изобщо, f’(u)du = d(f(u)).Тази (формула се използва много често при изчисляване на интеграли.

Намерете интеграла

Решение.Нека използваме свойствата на интеграла и намалим този интеграл до няколко таблични.

4. Интегриране чрез метод на заместване.

Същността на метода е, че въвеждаме нова променлива, изразяваме интегранта чрез тази променлива и в резултат достигаме до таблична (или по-проста) форма на интеграла.

Много често методът на заместване идва на помощ при интегриране на тригонометрични функции и функции с радикали.

Пример.

Намерете неопределения интеграл .

Решение.

Нека въведем нова променлива. Да изразим хпрез z:

Заместваме получените изрази в оригиналния интеграл:

От таблицата на антипроизводните, която имаме .

Остава да се върнем към първоначалната променлива х:

Отговор:

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли? Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как се решават интеграли и защо не можете без това.

Ние изучаваме понятието "интеграл"

Интеграцията е известна още в Древен Египет. Разбира се, не в съвременния му вид, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Вече имаме информация за , необходима за разбирането на интегралите, в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете как в нашата статия.

Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводни на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нееднородно тяло, изминатото разстояние по време на неравномерно движение и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция?

С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат ​​граници на интегриране.

Бари Алибасов и групата "Интеграл"

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаване на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:

Свойства на определен интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:

• При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу ще разгледаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Предлагаме ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Свържете се с професионална служба за студенти и всеки троен или извит интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.

Тема: Интегриране на функции на една променлива

ЛЕКЦИЯ №1

план:

1. Антипроизводна функция.

2. Определения и най-прости свойства.

Определение.Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал J, ако за всички x от този интервал F`(x)= f(x). Така че функцията F(x)=x 3 е първоизводна за f(x)=3x 2 върху (- ∞ ; ∞).
Тъй като за всички x ~R равенството е вярно: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Пример 1.Нека разгледаме функцията върху цялата числова ос - върху интервала. Тогава функцията е антипроизводна за on.

За да го докажем, нека намерим производната на:

Тъй като равенството е вярно за всички, тогава то е антипроизводно за on.

Пример 2.Функцията F(x)=x е първоизводна за всички f(x)= 1/x на интервала (0; +), тъй като за всички x от този интервал равенството е в сила.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Пример 3.Функцията F(x)=tg3x е първоизводна за f(x)=3/cos3x на интервала (-n/ 2; П/ 2),
защото F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Пример 4.Функцията F(x)=3sin4x+1/x-2 е първоизводна за f(x)=12cos4x-1/x 2 на интервала (0;∞)
защото F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. Нека са антипроизводни за функциите и съответно а, b,к– постоянно, . Тогава: - първоизводна за функцията; - първоизводна на функция; - антипроизводно за функция.

2. Постоянният коефициент може да бъде изваден от знака за интегриране:

функцията съответства на антипроизводно.

3. Първопроизводната на сбора от функции е равна на сбора от първопроизводните на тези функции:

Сумата от функциите съответства на сумата от първоизводните.

Теорема: (Основното свойство на първоизводната функция)

Ако F(x) е една от първоизводните за функцията f(x) на интервала J, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x)+C, където C е всяко реално число.

Доказателство:

Нека F`(x) = f (x), тогава (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), за x Є J.
Да предположим, че съществува Φ(x) - друга първоизводна за f (x) на интервала J, т.е. Φ`(x) = f (x),
тогава (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, за x Є J.
Това означава, че Φ(x) - F(x) е константа в интервала J.
Следователно Φ(x) - F(x) = C.
От където Φ(x)= F(x)+C.
Това означава, че ако F(x) е първоизводна за функция f (x) в интервала J, тогава наборът от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x)+C, където C е всяко реално число.
Следователно, всеки две първоизводни на дадена функция се различават една от друга с постоянен член.

Пример 6:Намерете множеството от първоизводни на функцията f (x) = cos x. Начертайте графики на първите три.

Решение: Sin x е една от първоизводните за функцията f (x) = cos x
F(х) = Sinх+С – множеството на всички първоизводни.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Геометрична илюстрация:Графиката на всяка антипроизводна F(x)+C може да бъде получена от графиката на антипроизводната F(x) с помощта на паралелен трансфер на r (0;c).

Пример 7:За функцията f (x) = 2x намерете първоизводна, чиято графика минава през t.M (1;4)

Решение: F(x)=x 2 +C – множеството от всички първоизводни, F(1)=4 - според условията на задачата.
Следователно 4 = 1 2 +C
С = 3
F(x) = x 2 +3

Теорема 1. Нека е някаква противопроизводна за на интервала и нека е произволна константа. Тогава функцията също е антипроизводна за on.

Доказателство. Нека покажем, че производната на дава:

пред всички. По този начин е противопроизводно на.

Така че, ако е антипроизводно за on, тогава множеството от всички първоизводни за във всеки случай съдържа всички функции на формата. Нека покажем, че множеството от всички първоизводни не съдържа никакви други функции, т.е. че всички първоизводни за фиксирана функция се различават от само с постоянен член.

Теорема 2 Нека е антипроизводно за on и е някакво друго антипроизводно. Тогава

при някаква константа.

Доказателство. Нека разгледаме разликата. От и тогава. Нека покажем, че функция такава, че за всички е постоянна. За да направите това, разгледайте две произволни точки и, принадлежащи на и на сегмента между и (нека това) се прилага формула за крайно увеличение

Където. (Припомнете си, че тази формула е следствие от Теореми на Лагранж, което разгледахме през първия семестър). Тъй като във всички точки, включително и, тогава. Следователно в произволна точка функцията приема същата стойност като в точката, т.е.

За антипроизводно това означава, че за всяко, т.е.

Преди това по дадена функция, ръководейки се от различни формули и правила, намерихме нейната производна. Производното има многобройни приложения: това е скоростта на движение (или по-общо, скоростта на всеки процес); ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функция за монотонност и екстремуми; помага за решаването на проблеми с оптимизацията.

Но наред със задачата за намиране на скоростта по известен закон на движение, има и обратна задача - задачата за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1.Материална точка се движи по права линия, нейната скорост в момент t се дава по формулата v=gt. Намерете закона за движение.
Решение. Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = v(t). Това означава, че за решаване на проблема трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на gt. Не е трудно да се познае че \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Всъщност
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Отговор: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Нека веднага да отбележим, че примерът е решен правилно, но непълно. Получаваме \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция от вида \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), където C е произволна константа, може да служи като закон на движение, тъй като \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

За да направим проблема по-конкретен, трябваше да коригираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движеща се точка в даден момент от времето, например при t = 0. Ако, да речем, s(0) = s 0, тогава от равенство s(t) = (gt 2)/2 + C получаваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

В математиката на взаимно обратните операции се дават различни имена, изобретени са специални обозначения, например: повдигане на квадрат (x 2) и квадратен корен (\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната на дадена функция се нарича диференциация, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция от дадена производна, е интеграция.

Самият термин „производна“ може да бъде оправдан „от ежедневни термини“: функцията y = f(x) „ражда“ нова функция y" = f"(x). Функцията y = f(x) действа като „родител“, но математиците, естествено, не я наричат ​​„родител“ или „производител“; те казват, че е така по отношение на функцията y" = f"( x), първично изображение или примитив.

Определение.Функцията y = F(x) се нарича първоизводна за функцията y = f(x) на интервала X, ако равенството F"(x) = f(x) е валидно за \(x \in X\)

На практика интервалът X обикновено не се посочва, но се подразбира (като естествена област на дефиниране на функцията).

Да дадем примери.
1) Функцията y = x 2 е противопроизводна на функцията y = 2x, тъй като за всяко x е вярно равенството (x 2)" = 2x
2) Функцията y = x 3 е противопроизводна на функцията y = 3x 2, тъй като за всяко x е вярно равенството (x 3)" = 3x 2
3) Функцията y = sin(x) е антипроизводна за функцията y = cos(x), тъй като за всяко x равенството (sin(x))" = cos(x) е вярно

При намирането на антипроизводни, както и на производни, се използват не само формули, но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на деривати.

Знаем, че производната на една сума е равна на сумата от нейните производни. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 1.Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните.

Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2.Ако F(x) е антипроизводно за f(x), тогава kF(x) е антипроизводно за kf(x).

Теорема 1.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y = f(kx + m) е функцията \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Теорема 2.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x) на интервала X, тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x) + C.

Интеграционни методи

Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът на интегриране чрез заместване включва въвеждането на нова интеграционна променлива (т.е. заместване). В този случай даденият интеграл се свежда до нов интеграл, който е табличен или сводим към него. Няма общи методи за избор на замествания. Способността за правилно определяне на заместването се придобива чрез практика.
Нека е необходимо да се изчисли интегралът \(\textstyle \int F(x)dx \). Нека направим заместването \(x= \varphi(t) \), където \(\varphi(t) \) е функция, която има непрекъсната производна.
Тогава \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и въз основа на свойството за инвариантност на формулата за интегриране за неопределения интеграл, получаваме формулата за интегриране чрез заместване:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интегриране на изрази от формата \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ако m е нечетно, m > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването sin x = t.
Ако n е нечетно, n > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването cos x = t.
Ако n и m са четни, тогава е по-удобно да се направи заместването tg x = t.

Интеграция по части

Интегриране по части - прилагане на следната формула за интегриране:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблица с неопределени интеграли (антипроизводни) на някои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$