Мақсат:

1. Қарсы туындының анықтамасын, қарсы туындының негізгі қасиетін, қарсы туындыны табу ережелерін білу;
2. Қарсы туындының жалпы түрін таба білу;
3. Өзін-өзі бақылау дағдыларын және пәнге қызығушылығын дамыту;
4. Тапсырмаларды орындау кезінде түпкілікті нәтижеге жету үшін ерік-жігер мен табандылықты тәрбиелеу.

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

II. Зерттелетін материалдың игерілуін тексеру.

1. Карточкалар арқылы сауалнама жүргізу:

А) Антитуындының анықтамасын тұжырымдаңыз?
Б) Функция тұрақтылығының белгісін тұжырымдаңыз?
С) Антитуындылардың негізгі қасиетін тұжырымдаңыз?
D) «Дифференциация дегеніміз ....» деген сөйлемді жалғастырыңыз.
D) Интеграция дегеніміз ......
E) f функциясы үшін кез келген екі қарсы туындының графиктері бір-бірінен алынған…….
G) Бұл не?...

2. Функцияның қарсы туындыларының жалпы түрін табыңыз:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Берілген функциялардың ішінен y = - 7x ³ функцияларына қарсы туындыны таңдаңыз.

III. Топтық жұмыс

1-топ - солитер ойнайды. Үстелдерде кесілген карталар бар. Өзіңіз білетін барлық формулаларды құрастырыңыз. Сізге қанша рет сәттілік болды?

2 және 3 топ – лотомен жұмыс. Алынған түйінді сөзді жазыңыз.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(түйінді сөз – антитуынды)

4-топ – сөзжұмбақпен жұмыс.

Кроссворд.

Сұрақтар:

2. у=ax+b функциясының графигі қандай.

4. Тест алдында әдетте қандай сабақ өтеді.

5. Ондық сөзінің синонимі.

6. Ол әр сөзде, теңдеулерде және теңдеулерде болуы мүмкін.

7. a b формуласы арқылы нені есептеуге болады.

8. Математикадағы маңызды ұғымдардың бірі.

9. Білімді тексеру жүргізілетін сабақтың нысаны.

10. Интегралдық есептеуді енгізген неміс ғалымы.

11. (x; y) координаталары бар жазықтық нүктелерінің жиыны, мұнда x f функциясының анықталу облысы арқылы өтеді.

12. Х жиынының әрбір мәні Y жиынының бір мәнімен байланыстырылатын Х және У жиындарының арасындағы сәйкестіктер... деп аталады.

1 санының астындағы сөзжұмбақты тігінен дұрыс шешкенде, тірек сөзді оқы.

IV. Өткен жылдардағы осы тақырып бойынша Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмасын талдау.

Егер F(П) = 1 екені белгілі болса, f(x) = 3sin x функциясының F қарсы туындысын көрсетіңіз.

V. Өздік жұмыс.

1 және 2 топ – тестті орындайды.

А бөлімі

A1. Осы функциялардың ішінен туындысы f(x) = 20x4 болатынын таңдаңыз.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. f(x) = 4x3 – 6 функциясының қарсы туындыларының жалпы түрін табыңыз

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.f(x) =8x – 3 функциясы үшін графигі М (1; 4) нүктесі арқылы өтетін антитуындыны табыңыз.

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. f(x) = 2/x3 функциясының қарсы туындыларының жалпы түрін табыңыз

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. f(x) = sin x + 3x2 функциясының қарсы туындысы функция болып табылады

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. f(x) = 3sin x функциясының қарсы туындысы функция болып табылады

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. f(x) = cos 2x функциясының қарсы туындысы функция болып табылады

1) F(x) = 0,5sin 2x
2) F(x) = 0,5sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. f(x) = 2 sinx cosx функциясы үшін антитуынды

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. f(x) = 6/cos23x + 1 функциясы үшін графигі М (P/3; P/3) нүктесі арқылы өтетін антитуындыны табыңыз.

1) F(x) = 2 тан 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 тан 3x + x
3) F(x) = - 6тг 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 тан 3x + x

В бөлімі

IN 1. F(x) функциясы f(x) = x5 – 3x2 – 2 функциясының антитуындысы. F(- 1) = 0 болса, F(1)-ті табыңыз.

3 және 4 топ – қатені түзетеді.

а) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
б) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
в) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
г) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
д) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 бойынша (0 ; +)
g) f(x) = 10 sin 2x функциясы үшін графигі М (-3/2P; 0) нүктесі арқылы өтетін антитуындыны табыңыз.

VI. Сабақты қорытындылау.

Д/З.No348, жеке тапсырма: Тақырып бойынша презентация жасау.

Антитуынды функция f(x)арасында (а; ә)бұл функция деп аталады F(x), бұл теңдік кез келген үшін орындалады Xберілген интервалдан.

Тұрақтының туындысы болатынын ескерсек МЕНнөлге тең болса, онда теңдік ақиқат болады. Сонымен, функция f(x)көптеген примитивтер бар F(x)+C, ерікті тұрақты үшін МЕН, және бұл антитуындылар бір-бірінен ерікті тұрақты мәнмен ерекшеленеді.

Анықталмаған интегралдың анықтамасы.

Антитуынды функциялардың барлық жиынтығы f(x)осы функцияның анықталмаған интегралы деп аталады және белгіленеді .

Өрнек деп аталады интеграл, А f(x) – интегралдық функция. Интеграл функцияның дифференциалын білдіреді f(x).

Белгісіз функцияның дифференциалын табу әрекеті деп аталады белгісізинтеграция, өйткені интеграцияның нәтижесі бірнеше функция болып табылады F(x), және оның примитивтерінің жиыны F(x)+C.

Анықталмаған интегралдың геометриялық мағынасы. Антитуынды D(x) графигі интегралдық қисық деп аталады. x0y координаттар жүйесінде берілген функцияның барлық қарсы туындыларының графиктері С тұрақтысының мәніне тәуелді және бір-бірінен 0у осі бойынша параллель ығысу арқылы алынатын қисықтардың тобын көрсетеді. Жоғарыда талқыланған мысал үшін бізде:

J 2 x^x = x2 + C.

Антитуындылар тобы (х+С) параболалар жиынымен геометриялық түрде түсіндіріледі.

Егер антитуындылар тобынан біреуін табу керек болса, онда С тұрақтысын анықтауға мүмкіндік беретін қосымша шарттар қойылады. Әдетте бұл мақсат үшін бастапқы шарттар қойылады: х = х0 аргументі болғанда функция D мәніне ие болады. (x0) = y0.

Мысал. y = 2 x функциясының x0 = 1 кезінде 3 мәнін алатын антитуындыларының бірін табу қажет.

Қажетті антитуынды: D(x) = x2 + 2.

Шешім. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері

1. Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл функциясына тең:

2. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интегралды өрнекке тең:

3. Белгілі бір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функцияның өзі мен ерікті тұрақтының қосындысына тең:

4. Тұрақты коэффициентті интегралдық таңбадан шығаруға болады:

5. Қосындының (айырымның) интегралы интегралдардың қосындысына (айырымы) тең:

6. Меншік 4 және 5 қасиеттердің қосындысы:

7. Анықталмаған интегралдың инварианттық қасиеті:

Егер , Бұл

8. Мүлік:

Егер , Бұл

Шын мәнінде, бұл қасиет келесі бөлімде толығырақ қарастырылатын айнымалыны өзгерту әдісін қолданатын интеграцияның ерекше жағдайы болып табылады.

Мысал қарастырайық:

3. Интеграция әдісіинтегралдың (немесе өрнектің) бірдей түрлендірулері және анықталмаған интегралдың қасиеттерін қолдану арқылы берілген интеграл бір немесе бірнеше кестелік интегралға келтіріледі деп аталады тікелей интеграция. Бұл интегралды кестелік түрге келтіру кезінде келесі дифференциалдық түрлендірулер жиі қолданылады («операция»). дифференциалдық белгіге жазылу»):

Мүлде, f’(u)du = d(f(u)).Бұл (формула интегралды есептеу кезінде жиі қолданылады.

Интегралды табыңыз

Шешім.Интегралдың қасиеттерін қолданып, бұл интегралды бірнеше кестелік сипаттарға келтірейік.

4. Ауыстыру әдісі бойынша интеграция.

Әдістің мәні мынада: біз жаңа айнымалы енгіземіз, интегралды осы айнымалы арқылы өрнектейміз және нәтижесінде интегралдың кестелік (немесе қарапайым) түріне келеміз.

Көбінесе алмастыру әдісі тригонометриялық функциялар мен функцияларды радикалдармен біріктіру кезінде көмекке келеді.

Мысал.

Анықталмаған интегралды табыңыз .

Шешім.

Жаңа айнымалыны енгізейік. білдірейік Xарқылы z:

Алынған өрнектерді бастапқы интегралға ауыстырамыз:

Антитуындылар кестесінен бізде .

Бастапқы айнымалыға оралу қалады X:

Жауап:

Интегралды шешу оңай тапсырма, бірақ тек таңдаулылар үшін. Бұл мақала интегралды түсінуді үйренгісі келетін, бірақ олар туралы ештеңе білмейтін немесе ештеңе білмейтіндерге арналған. Интегралдық... Ол не үшін қажет? Оны қалай есептеу керек? Анықталған және анықталмаған интегралдар дегеніміз не? Егер сіз интеграл үшін білетін жалғыз пайдалану - жету қиын жерлерден пайдалы нәрсе алу үшін интегралды белгіше тәрізді ілмекпен тоқылған ілгекті пайдалану болса, қош келдіңіз! Интегралды шешу жолын және онсыз неліктен орындалмайтынын табыңыз.

Біз «интегралдық» ұғымын зерттейміз.

Интеграция Ежелгі Египетте белгілі болды. Әрине, оның заманауи түрінде емес, бірақ бәрібір. Содан бері математиктер бұл тақырыпта көптеген кітаптар жазды. Әсіресе, ерекшеленді Ньютон Және Лейбниц , бірақ заттардың мәні өзгерген жоқ. Интегралды нөлден қалай түсінуге болады? Мүмкін емес! Бұл тақырыпты түсіну үшін сізге әлі де математикалық талдау негіздері туралы негізгі білім қажет. Біздің блогта интегралды түсіну үшін қажетті ақпарат бар.

Анықталмаған интеграл

Бір функцияны алайық f(x) .

Анықталмаған интегралдық функция f(x) бұл функция деп аталады F(x) , оның туындысы функцияға тең f(x) .

Басқаша айтқанда, интеграл кері немесе қарсы туынды болып табылады. Айтпақшы, бұл туралы біздің мақалада оқыңыз.

Антитуынды барлық үздіксіз функциялар үшін бар. Сондай-ақ антитуындыға тұрақты белгі жиі қосылады, өйткені тұрақты шамамен ерекшеленетін функциялардың туындылары сәйкес келеді. Интегралды табу процесі интегралдау деп аталады.

Қарапайым мысал:

Элементар функциялардың антитуындыларын үнемі есептемеу үшін оларды кестеге қойып, дайын мәндерді қолданған ыңғайлы.

Оқушыларға арналған интегралдардың толық кестесі

Анықталған интеграл

Интеграл түсінігімен айналысқанда біз шексіз аз шамалармен айналысамыз. Интеграл фигураның ауданын, біркелкі емес дененің массасын, біркелкі емес қозғалыс кезінде жүріп өткен қашықтықты және т.б. есептеуге көмектеседі. Интеграл шексіз көп шексіз аз мүшелердің қосындысы екенін есте ұстаған жөн.

Мысал ретінде қандай да бір функцияның графигін елестетіңіз. Функция графигімен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болады?

Интегралды қолдану! Координаталық осьтермен және функцияның графигімен шектелген қисық сызықты трапецияны шексіз аз кесінділерге бөлейік. Осылайша фигура жұқа бағандарға бөлінеді. Бағандардың аудандарының қосындысы трапецияның ауданы болады. Бірақ мұндай есептеу шамамен нәтиже беретінін есте сақтаңыз. Дегенмен, сегменттер неғұрлым аз және тар болса, соғұрлым есептеу дәлірек болады. Егер біз оларды ұзындығы нөлге бейім болатындай дәрежеде азайтсақ, онда сегменттер аудандарының қосындысы фигураның ауданына бейім болады. Бұл белгілі бір интеграл, ол былай жазылады:

a және b нүктелері интегралдау шегі деп аталады.

Бари Алибасов және «Интеграл» тобы

Айтпақшы! Біздің оқырмандар үшін қазір 10% жеңілдік бар

Манекендер үшін интегралды есептеу ережелері

Анықталмаған интегралдың қасиеттері

Анықталмаған интеграл қалай шешіледі? Мұнда мысалдарды шешу кезінде пайдалы болатын анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырамыз.

• Интегралдың туындысы интегралға тең:

• Тұрақтыны интегралдық таңбаның астынан шығаруға болады:

• Қосындының интегралы интегралдардың қосындысына тең. Бұл айырмашылыққа да қатысты:

Анықталған интегралдың қасиеттері

• Сызықтық:

• Интегралдың таңбасы өзгереді, егер интегралдау шегі ауыстырылса:

• Сағат кез келгенұпай а, бЖәне бірге:

Анықталған интеграл қосындының шегі екенін біз бұрыннан анықтадық. Бірақ мысалды шешу кезінде нақты мәнді қалай алуға болады? Бұл үшін Ньютон-Лейбниц формуласы бар:

Интегралды шешу мысалдары

Төменде анықталмаған интегралдарды табудың бірнеше мысалдарын қарастырамыз. Біз сізге шешімнің қыр-сырын өзіңіз анықтауды ұсынамыз, егер бірдеңе түсініксіз болса, түсініктемелерде сұрақтар қойыңыз.

Материалды бекіту үшін интегралдар тәжірибеде қалай шешілетіні туралы бейнероликті қараңыз. Егер интеграл бірден берілмесе, үмітіңізді үзбеңіз. Студенттерге арналған кәсіби қызметке хабарласыңыз және жабық беттегі кез келген үштік немесе қисық интеграл сіздің күшіңізде болады.

Тақырыбы: Бір айнымалы функцияларды интегралдау

№1 ДӘРІС

Жоспар:

1. Антитуынды функция.

2. Анықтамалар және қарапайым қасиеттер.

Анықтама. F(x) функциясы берілген J интервалындағы f(x) функциясы үшін антитуынды деп аталады, егер осы F`(x)= f(x) аралығындағы барлық х үшін. Сонымен F(x)=x 3 функциясы f(x)=3x 2 үшін (- ∞ ; ∞) қарсы туынды болады.
Өйткені барлық x ~R үшін теңдік ақиқат: F`(x)=(x 3)`=3x 2

1-мысал.Функцияны бүкіл сан түзуіндегі – интервал бойынша қарастырайық. Сонда функция on үшін антитуынды болады.

Оны дәлелдеу үшін мынаның туындысын табайық:

Теңдік барлығы үшін дұрыс болғандықтан, онда ол on үшін қарсы туынды болады.

2-мысал. F(x)=x функциясы (0; +) аралығындағы барлық f(x)= 1/x үшін қарсы туынды болады, өйткені осы аралықтағы барлық х үшін теңдік орындалады.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

3-мысал. F(x)=tg3x функциясы f(x)=3/cos3x (-n/) интервалына қарсы туынды болып табылады. 2; P/ 2),
өйткені F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

4-мысал. F(x)=3sin4x+1/x-2 функциясы (0;∞) аралығындағы f(x)=12cos4x-1/x 2 үшін антитуынды болады.
өйткені F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. Функциялар үшін қарсы туынды болсын және сәйкесінше, а, б,к– тұрақты, . Сонда: - функцияға қарсы туынды; - функцияның антитуындысы; -функцияға қарсы туынды.

2. Тұрақты коэффициентті интегралдау белгісінен шығаруға болады:

функция антитуындыға сәйкес келеді.

3. Функциялар қосындысының қарсы туындысы осы функциялардың қарсы туындыларының қосындысына тең:

Функциялардың қосындысы антитуындылардың қосындысына сәйкес келеді.

Теорема: (Антитуынды функцияның негізгі қасиеті)

Егер F(x) J интервалында f(x) функциясының антитуындыларының бірі болса, онда бұл функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны келесі түрге ие болады: F(x)+C, мұндағы С кез келген нақты сан.

Дәлелдеу:

F`(x) = f (x), онда (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J үшін болсын.
J интервалында f (x) үшін басқа антитуынды Φ(x) бар делік, яғни. Φ`(x) = f (x),
онда (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J үшін.
Бұл J интервалында Φ(x) - F(x) тұрақты екенін білдіреді.
Демек, Φ(x) - F(x) = C.
Мұндағы Φ(x)= F(x)+C.
Бұл дегеніміз, егер F(x) J интервалында f (x) функциясы үшін антитуынды болса, онда бұл функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны келесі түрге ие болады: F(x)+C, мұндағы С кез келген нақты сан.
Демек, берілген функцияның кез келген екі қарсы туындысы бір-бірінен тұрақты мүшемен ерекшеленеді.

6-мысал: f (x) = cos x функциясының антитуындылар жиынын табыңыз. Алғашқы үшеуінің графиктерін сызыңыз.

Шешімі: Sin x - f (x) = cos x функциясына қарсы туындылардың бірі
F(х) = Sinх+С – барлық қарсы туындылар жиыны.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Геометриялық иллюстрация:Кез келген антитуынды F(x)+C графигін r (0;c) параллель тасымалдау арқылы F(x) антитуындының графигінен алуға болады.

7-мысал: f (x) = 2x функциясы үшін графигі t.M (1;4) арқылы өтетін антитуындыны табыңыз.

Шешімі: F(x)=x 2 +C – барлық қарсы туындылар жиыны, F(1)=4 - есептің шарттарына сәйкес.
Демек, 4 = 1 2 +С
C = 3
F(x) = x 2 +3

Теорема 1. Интервалдағы кейбір антитуынды болсын және ерікті тұрақты болсын. Сонда функция да on үшін қарсы туынды болады.

Дәлелдеу. туындысы беретінін көрсетейік:

барлығының алдында. Осылайша, үшін антитуынды болып табылады.

Сонымен, егер on үшін антитуынды болса, онда барлық қарсы туындылар жиыны кез келген жағдайда пішіннің барлық функцияларын қамтиды. Барлық антитуындылар жиынында басқа функциялар болмайтынын, яғни тұрақты функция үшін барлық қарсы туындылардың тек тұрақты мүшемен ерекшеленетінін көрсетейік.

2-теорема on үшін антитуынды болсын және басқа антитуынды болсын. Содан кейін

кейбір тұрақтыда.

Дәлелдеу. Айырмашылықты қарастырайық. Содан бері және содан кейін. Барлығы үшін тұрақты болатын функцияны көрсетейік. Бұл әрекетті орындау үшін, екі ерікті нүктені қарастырыңыз және арасындағы және (осы қолданылсын) сегментіне тиесілі және ақырлы өсу формуласы

Қайда. (Еске салайық, бұл формуланың салдары Лагранж теоремалары, біз бірінші семестрде қарадық). Өйткені барлық нүктелерде, соның ішінде және, содан кейін. Демек, ерікті нүктеде функция нүктедегідей мәнді қабылдайды, яғни.

Антитуынды үшін бұл кез келген, яғни,

Бұрын берілген функция берілген, әртүрлі формулалар мен ережелерді басшылыққа ала отырып, біз оның туындысын таптық. Туындының көптеген қолданылуы бар: бұл қозғалыс жылдамдығы (немесе жалпы алғанда, кез келген процестің жылдамдығы); функцияның графигіне жанаманың бұрыштық коэффициенті; туындыны пайдалана отырып, функцияны монотондылық пен экстремалдылыққа тексеруге болады; ол оңтайландыру мәселелерін шешуге көмектеседі.

Бірақ белгілі қозғалыс заңы бойынша жылдамдықты табу мәселесімен қатар кері есеп – белгілі жылдамдық бойынша қозғалыс заңын қалпына келтіру мәселесі де бар. Осы мәселелердің бірін қарастырайық.

1-мысал.Материалдық нүкте түзу сызық бойымен қозғалады, оның t уақытындағы жылдамдығы v=gt формуласымен берілген. Қозғалыс заңын табыңыз.
Шешім. s = s(t) қозғалыстың қажетті заңы болсын. s"(t) = v(t) екені белгілі. Демек, есепті шешу үшін туындысы gt-ке тең s = s(t) функциясын таңдау керек. Оны болжау қиын емес. бұл \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Шын мәнінде
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = гт\)
Жауабы: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Мысал дұрыс, бірақ толық емес шешілгенін бірден атап өтейік. Біз \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) алдық. Шындығында, есептің шексіз көп шешімдері бар: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ түріндегі кез келген функция, мұндағы С ерікті тұрақты, заң ретінде қызмет ете алады. қозғалыс, өйткені \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Мәселені нақтылау үшін бастапқы жағдайды түзетуге тура келді: белгілі бір уақыт нүктесінде қозғалатын нүктенің координатасын көрсетіңіз, мысалы, t = 0. Егер айталық, s(0) = s 0 болса, онда теңдігі s(t) = (gt 2)/2 + C аламыз: s(0) = 0 + C, яғни C = s 0. Енді қозғалыс заңы бірегей түрде анықталған: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Математикада өзара кері амалдарға әртүрлі атаулар беріледі, арнайы белгілер ойлап табылды, мысалы: квадраттық (х 2) және квадрат түбір (\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) және доға синусы (arcsin x) және т.б. Берілген функцияның туындысын табу процесі деп аталады дифференциация, ал кері операция, яғни берілген туындыдан функцияны табу процесі интеграция.

«Туынды» терминінің өзін «күнделікті терминдермен» негіздеуге болады: y = f(x) функциясы жаңа y" = f"(x) функциясын "туады". y = f(x) функциясы «ата-ана» ретінде әрекет етеді, бірақ математиктер, әрине, оны «ата-ана» немесе «өндіруші» деп атамайды; олар оны y" = f" функциясына қатысты дейді. x) , бастапқы кескін немесе қарабайыр.

Анықтама. y = F(x) функциясы X интервалындағы y = f(x) функциясы үшін антитуынды деп аталады, егер F"(x) = f(x) теңдігі \(x \-дегі X\) үшін орындалса.

Практикада X аралығы әдетте көрсетілмейді, бірақ тұспалданады (функцияны анықтаудың табиғи облысы ретінде).

Мысалдар келтірейік.
1) y = x 2 функциясы у = 2x функциясы үшін қарсы туынды, өйткені кез келген х үшін (x 2)" = 2x теңдігі ақиқат.
2) y = x 3 функциясы у = 3x 2 функциясы үшін қарсы туынды, өйткені кез келген х үшін (x 3)" = 3x 2 теңдігі ақиқат.
3) y = sin(x) функциясы у = cos(x) функциясы үшін қарсы туынды, өйткені кез келген х үшін (sin(x))" = cos(x) теңдігі ақиқат.

Антитуындыларды, сондай-ақ туындыларды табу кезінде тек формулалар ғана емес, сонымен қатар кейбір ережелер қолданылады. Олар туынды құралдарды есептеудің сәйкес ережелерімен тікелей байланысты.

Қосындының туындысы оның туындыларының қосындысына тең екенін білеміз. Бұл ереже антитуындыларды табу үшін сәйкес ережені жасайды.

1-ереже.Қосындының қарсы туындысы қарсы туындылардың қосындысына тең.

Тұрақты көбейткішті туындының таңбасынан шығаруға болатынын білеміз. Бұл ереже антитуындыларды табу үшін сәйкес ережені жасайды.

2-ереже.Егер F(x) f(x) үшін антитуынды болса, онда kF(x) kf(x) үшін антитуынды болады.

Теорема 1.Егер y = F(x) y = f(x) функциясы үшін қарсы туынды болса, онда y = f(kx + m) функциясы үшін қарсы туынды \(y=\frac(1)(k)F функциясы болады. (kx+m) \)

2-теорема.Егер y = F(x) X интервалында y = f(x) функциясы үшін қарсы туынды болса, y = f(x) функциясының шексіз көп антитуындылары бар және олардың барлығы у = F(x) түрінде болады. + C.

Интеграция әдістері

Ауыспалы ауыстыру әдісі (алмастыру әдісі)

Ауыстыру арқылы интеграциялау әдісі жаңа интеграциялық айнымалыны (яғни алмастыру) енгізуді қамтиды. Бұл жағдайда берілген интеграл кестелік немесе оған келтірілетін жаңа интегралға келтіріледі. Ауыстыруларды таңдаудың жалпы әдістері жоқ. Ауыстыруды дұрыс анықтау дағдысы жаттығу арқылы алынады.
\(\textstyle \int F(x)dx \) интегралын есептеу қажет болсын. \(x= \varphi(t) \) алмастыруды жасайық, мұнда \(\varphi(t) \) - үздіксіз туындысы бар функция.
Содан кейін \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) және анықталмаған интеграл үшін интегралдау формуласының инварианттық қасиетіне сүйене отырып, алмастыру арқылы интегралдау формуласын аламыз:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) түріндегі өрнектерді біріктіру

Егер m тақ болса, m > 0 болса, онда ауыстыруды sin x = t жасаған ыңғайлырақ.
Егер n тақ болса, n > 0 болса, онда cos x = t ауыстыруды жасау ыңғайлырақ.
Егер n және m жұп болса, онда tg x = t ауыстыруды жасау ыңғайлырақ.

Бөлшектері бойынша интеграция

Бөлімшелер бойынша интеграция – интеграция үшін келесі формуланы қолдану:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
немесе:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Кейбір функциялардың анықталмаған интегралдарының (антитуындыларының) кестесі

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$