Kohde:

1. Tunne antiderivaatin määritelmä, antiderivaatin pääominaisuus, antiderivaatin löytämisen säännöt;
2. Osaa löytää antijohdannaisen yleisen muodon;
3. Kehitä itsehillintää ja kiinnostusta aihetta kohtaan;
4. Kasvata tahtoa ja sinnikkyyttä saavuttaaksesi lopputuloksia tehtäviä suorittaessasi.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

II. Tutkittavan materiaalin assimilaation tarkistaminen.

1. Kysely korteilla:

A) Muotoile antijohdannaisen määritelmä?
B) Muotoile funktion pysyvyyden merkki?
Q) Muotoile antijohdannaisten pääominaisuus?
D) Jatka lausetta "Erottautuminen on ...."
D) Integraatio on…
E) Funktion f minkä tahansa kahden antiderivaatan kaaviot saadaan toisistaan…….
G) Onko tämä sitä?...

2. Etsi funktion antiderivaatien yleinen muoto:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F(x) = (x + 1)³

3. Valitse annetuista funktioista antiderivaata funktioille y = - 7x ³

III. Ryhmätyö

1. ryhmä pelaa pasianssia. Pöydillä on leikatut kortit. Keksi kaikki kaavat, jotka tiedät. Kuinka monta kertaa olet ollut onnekas?

2. ja 3. ryhmät - työskentele lotolla. Kirjoita tuloksena oleva avainsana muistiin.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5-3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(avainsana – antiderivatiivi)

4. ryhmä – toimii ristisanatehtävän kanssa.

Ristisanatehtävä.

Kysymyksiä:

2. Mikä on funktion y = ax + b kuvaaja.

4. Mikä oppitunti yleensä pidetään ennen koetta?

5. Synonyymi sanalle tusina.

6. Se on joka sanassa, yhtälöissä ja voi olla yhtälöissä.

7. Mitä voidaan laskea kaavalla a b.

8. Yksi matematiikan tärkeimmistä käsitteistä.

9. Oppitunnin muoto, jolla tietokoe suoritetaan.

10. Saksalainen tiedemies, joka otti käyttöön integraalilaskennan.

11. Tason pisteiden joukko koordinaatteineen (x; y), jossa x kulkee funktion f määritelmäalueen läpi.

12. Joukkojen X ja Y välisiä vastaavuuksia, joissa jokainen joukon X arvo liittyy yhteen arvoon joukosta Y, kutsutaan...

Kun ratkaiset oikein ristisanatehtävän numeron 1 alla pystysuunnassa, lue avainsana.

IV. Aiempien vuosien yhtenäisen valtionkokeen tehtävien analyysi tästä aiheesta.

Ilmoita funktion f(x) = 3sin x antiderivaata F, jos tiedetään, että F(П) = 1.

V. Itsenäinen työskentely.

Ryhmät 1 ja 2 – suorita testi.

Osa A

A1. Valitse näistä funktioista se, jonka derivaatta on f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) = 5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80 x 3

A2. Etsi antiderivaatojen yleinen muoto funktiolle f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.Etsi funktiolle f(x) =8x – 3 antiderivaata, jonka kuvaaja kulkee pisteen M (1; 4) kautta.

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. Etsi antiderivaatojen yleinen muoto funktiolle f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = -2/x + C
3) F(x) = -1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. F(x) = sin x + 3x2 funktion antiderivaata on funktio

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. F(x) = 3sin x antiderivaata on funktio

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = -3cos x

A7. F(x) = cos 2x -funktion antiderivaata on funktio

1) F(x) = 0,5sin 2x
2) F(x) = 0,5sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Antiderivaata funktiolle f(x) = 2 sinx cosx funktiolle

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. Etsi funktiolle f(x) = 6/cos23x + 1 antiderivaata, jonka graafi kulkee pisteen M kautta (P/3; P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

Osa B

KOHDASSA 1. Funktio F(x) on funktion f(x) = x5 – 3x2 – 2 antiderivaata. Etsi F(1), jos F(- 1) = 0.

3. ja 4. ryhmät - korjaa virhe.

a) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
c) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
d) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2, kun (0 ; +)
g) Etsi funktiolle f(x) = 10 sin 2x antiderivaata, jonka kuvaaja kulkee pisteen M kautta (-3/2P; 0)

VI. Oppitunnin yhteenveto.

D/Z nro 348, henkilökohtainen tehtävä: Tee esitys aiheesta.

Antiderivatiivinen toiminto f(x) välissä (a; b) tätä toimintoa kutsutaan F(x), että tasa-arvo pätee mihin tahansa X tietystä intervallista.

Jos otamme huomioon sen tosiasian, että vakion derivaatta KANSSA on yhtä suuri kuin nolla, niin yhtälö on tosi. Toiminto siis f(x) on monia primitiivisiä F(x)+C, mielivaltaiselle vakiolle KANSSA, ja nämä antijohdannaiset eroavat toisistaan ​​mielivaltaisen vakioarvon verran.

Epämääräisen integraalin määritelmä.

Koko joukko antiderivatiivisia toimintoja f(x) kutsutaan tämän funktion määrittelemättömäksi integraaliksi ja merkitään .

Ilmaisua kutsutaan integrand, A f(x) – integrand-toiminto. Integrandi edustaa funktion differentiaalia f(x).

Tuntemattoman funktion löytämistä sen differentiaalin perusteella kutsutaan epävarma integraatio, koska integroinnin tulos on useampi kuin yksi funktio F(x), ja sen primitiivien joukko F(x)+C.

Epämääräisen integraalin geometrinen merkitys. Antiderivaatan D(x) kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Koordinaattijärjestelmässä x0y tietyn funktion kaikkien antiderivaatojen kaaviot edustavat käyrien perhettä, jotka riippuvat vakion C arvosta ja saadaan toisistaan ​​yhdensuuntaisella siirrolla 0y-akselia pitkin. Edellä käsiteltyä esimerkkiä varten meillä on:

J 2 x ^ x = x 2 + C.

Antiderivaalien perhe (x + C) tulkitaan geometrisesti paraabelijoukolla.

Jos sinun on löydettävä jokin antiderivaattien perheestä, asetetaan lisäehdot, joiden avulla voit määrittää vakion C. Yleensä tätä tarkoitusta varten asetetaan alkuehdot: kun argumentti x = x0, funktiolla on arvo D. (x0) = y0.

Esimerkki. On löydettävä, että yksi funktion y = 2 x antiderivaataista, joka saa arvon 3 kohdassa x0 = 1.

Vaadittu antijohdannainen: D(x) = x2 + 2.

Ratkaisu. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Epämääräisen integraalin perusominaisuudet

1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandifunktio:

2. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandilauseke:

3. Tietyn funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin itse tämän funktion ja mielivaltaisen vakion summa:

4. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:

5. Summan (eron) integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa (erotus):

6. Ominaisuus on ominaisuuksien 4 ja 5 yhdistelmä:

7. Epämääräisen integraalin invarianssiominaisuus:

Jos , Tuo

8. Kiinteistö:

Jos , Tuo

Itse asiassa tämä ominaisuus on muuttujamuutosmenetelmää käyttävän integroinnin erikoistapaus, jota käsitellään tarkemmin seuraavassa osiossa.

Katsotaanpa esimerkkiä:

3. Integrointimenetelmä jossa annettu integraali pelkistetään yhdeksi tai useammaksi taulukkointegraaliksi integrandin (tai lausekkeen) identtisillä muunnoksilla ja epämääräisen integraalin ominaisuuksien soveltamisella, kutsutaan suora integraatio. Kun tätä integraalia pelkistetään taulukkomuotoiseksi, käytetään usein seuraavia differentiaalimuunnoksia (operaatio " tilaamalla erotusmerkin»):

Ollenkaan, f’(u)du = d(f(u)). Tätä (kaavaa käytetään hyvin usein integraaleja laskettaessa.

Etsi integraali

Ratkaisu. Käytetään integraalin ominaisuuksia ja vähennetään tämä integraali useiksi taulukkomuodoiksi.

4. Integrointi korvausmenetelmällä.

Menetelmän ydin on, että otamme käyttöön uuden muuttujan, ilmaisemme integrandin tämän muuttujan kautta ja tuloksena saadaan integraalin taulukkomuotoinen (tai yksinkertaisempi) muoto.

Hyvin usein substituutiomenetelmä tulee apuun integroitaessa trigonometrisiä funktioita ja funktioita radikaalien kanssa.

Esimerkki.

Etsi epämääräinen integraali .

Ratkaisu.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja. Ilmaistaan X kautta z:

Korvaamme tuloksena olevat lausekkeet alkuperäiseen integraaliin:

Meillä on antijohdannaisten taulukosta .

On vielä palattava alkuperäiseen muuttujaan X:

Vastaus:

Integraalien ratkaiseminen on helppoa, mutta vain muutamille valituille. Tämä artikkeli on tarkoitettu niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraaleja, mutta eivät tiedä niistä mitään tai tuskin mitään. Integral... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka se lasketaan? Mitä ovat määrälliset ja epämääräiset integraalit? Jos tiedät integraalin ainoana käyttötarkoituksena on käyttää integraalikuvakkeen muotoista virkkuukoukkua saadaksesi jotain hyödyllistä irti vaikeapääsyisistä paikoista, tervetuloa! Ota selvää, kuinka integraalit ratkaistaan ​​ja miksi et tule toimeen ilman sitä.

Tutkimme "integraalin" käsitettä

Integraatio tunnettiin jo muinaisessa Egyptissä. Ei tietenkään nykyaikaisessa muodossaan, mutta kuitenkin. Siitä lähtien matemaatikot ovat kirjoittaneet monia kirjoja tästä aiheesta. Erityisen erottuva Newton Ja Leibniz , mutta asioiden ydin ei ole muuttunut. Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei onnistu! Ymmärtääksesi tämän aiheen, tarvitset silti perustiedot matemaattisen analyysin perusteista. Meillä on jo blogissamme tietoa aiheesta , jota tarvitaan integraalien ymmärtämiseen.

Epämääräinen integraali

Tehdään jokin toiminto f(x) .

Epämääräinen integraalifunktio f(x) tätä toimintoa kutsutaan F(x) , jonka derivaatta on yhtä suuri kuin funktio f(x) .

Toisin sanoen integraali on käänteinen johdannainen tai antiderivaata. Muuten, lue artikkelistamme kuinka.

Kaikille jatkuville toiminnoille on olemassa antiderivaata. Myös vakiomerkki lisätään usein antiderivaattiin, koska vakiolla eroavien funktioiden derivaatat ovat samat. Integraalin löytämisprosessia kutsutaan integraatioksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jotta perusfunktioiden antiderivaatteja ei jatkuvasti lasketa, on kätevää laittaa ne taulukkoon ja käyttää valmiita arvoja.

Täydellinen integraalitaulukko opiskelijoille

Varma integraali

Käsiteltäessä integraalin käsitettä on kyse äärettömän pienistä suureista. Integraali auttaa laskemaan hahmon alueen, epätasaisen kappaleen massan, epätasaisen liikkeen aikana kuljetun matkan ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän suuren määrän äärettömän pienten termien summa.

Kuvittele esimerkkinä jonkin funktion kaavio. Kuinka löytää funktion kaavion rajoittaman kuvan pinta-ala?

Integraalin käyttö! Jaetaan koordinaattiakseleiden ja funktion kuvaajan rajoittama kaareva puolisuunnikasta äärettömän pieniin segmentteihin. Tällä tavalla kuva jaetaan ohuiksi sarakkeiksi. Sarakkeiden pinta-alojen summa on puolisuunnikkaan pinta-ala. Mutta muista, että tällainen laskelma antaa likimääräisen tuloksen. Kuitenkin mitä pienemmät ja kapeammat segmentit ovat, sitä tarkempi laskenta on. Jos pienennämme niitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, niin segmenttien pinta-alojen summa pyrkii kuvion pinta-alaan. Tämä on selvä integraali, joka kirjoitetaan näin:

Pisteitä a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi.

Bari Alibasov ja ryhmä "Integral"

Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus

Nukkejen integraalien laskentasäännöt

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista epämääräinen integraali? Tässä tarkastellaan määrittelemättömän integraalin ominaisuuksia, joista on hyötyä esimerkkejä ratkaistaessa.

• Integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

• Vakio voidaan ottaa pois integraalimerkin alta:

• Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa. Tämä pätee myös eroon:

Määrätyn integraalin ominaisuudet

• Lineaarisuus:

• Integraalin etumerkki muuttuu, jos integroinnin rajoja vaihdetaan:

• klo minkä tahansa pisteitä a, b Ja Kanssa:

Olemme jo havainneet, että määrällinen integraali on summan raja. Mutta miten saada tietty arvo, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä? Tätä varten on Newton-Leibnizin kaava:

Esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta

Alla tarkastellaan useita esimerkkejä määrittelemättömien integraalien löytämisestä. Suosittelemme, että selvität ratkaisun monimutkaisuudet itse, ja jos jokin on epäselvää, kysy kysymyksiä kommenteissa.

Vahvistaaksesi materiaalia, katso video, kuinka integraalit ratkaistaan ​​käytännössä. Älä ole epätoivoinen, jos integraalia ei anneta heti. Ota yhteyttä opiskelijoiden asiantuntijapalveluun, niin kaikki suljetun pinnan päällä olevat kolminkertaiset tai kaarevat integraalit ovat käytettävissäsi.

Aihe: Yhden muuttujan funktioiden integrointi

LUENTO nro 1

Suunnitelma:

1. Antiderivatiivinen toiminto.

2. Määritelmät ja yksinkertaisimmat ominaisuudet.

Määritelmä. Funktiota F(x) kutsutaan antiderivaatiiviseksi funktiolle f(x) tietyllä aikavälillä J, jos kaikille tämän välin x:ille F`(x)= f(x). Siten funktio F(x)=x 3 on antiderivaava kun f(x)=3x 2 on (- ∞ ; ∞).
Koska kaikille x ~R yhtälö on tosi: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Esimerkki 1. Tarkastellaan funktiota koko lukurivillä - intervallilla. Tällöin funktio on on-antiderivaava.

Todistaaksemme sen, etsitään johdannainen seuraavista:

Koska tasa-arvo on totta kaikille, se on antiderivaata.

Esimerkki 2. Funktio F(x)=x on antiderivaava kaikille f(x)= 1/x intervalleilla (0; +), koska kaikille tämän välin x:ille yhtäläisyys pätee.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Esimerkki 3. Funktio F(x)=tg3x on antiderivaata f(x)=3/cos3x välissä (-n/ 2; P/ 2),
koska F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Esimerkki 4. Funktio F(x)=3sin4x+1/x-2 on antiderivatiivinen arvolle f(x)=12cos4x-1/x 2 välissä (0;∞)
koska F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. Olkoon funktioiden antiderivaatat ja vastaavasti a, b,k– pysyvä,. Sitten: - toiminnon antijohdannainen; - funktion antijohdannainen; -funktion antijohdannainen.

2. Vakiokerroin voidaan ottaa pois integrointimerkistä:

funktio vastaa antiderivaasta.

3. Funktioiden summan antiderivaata on yhtä suuri kuin näiden funktioiden antiderivaatat:

Toimintojen summa vastaa antiderivaalien summaa.

Lause: (Antiderivatiivisen funktion pääominaisuus)

Jos F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaataista välillä J, niin tämän funktion kaikkien antiderivaatojen joukko on muotoa: F(x)+C, jossa C on mikä tahansa reaaliluku.

Todiste:

Olkoon F`(x) = f(x), sitten (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), kun x Є J.
Oletetaan, että on olemassa Φ(x) - toinen antiderivaata f (x):lle välillä J, ts. Φ`(x) = f(x),
sitten (Φ(x) - F(x))" = f (x) - f (x) = 0 x Є J:lle.
Tämä tarkoittaa, että Φ(x) - F(x) on vakio välillä J.
Siksi Φ(x) - F(x) = C.
Mistä Φ(x)= F(x)+C.
Tämä tarkoittaa, että jos F(x) on antiderivaata funktiolle f (x) välillä J, niin tämän funktion kaikkien antiderivaatojen joukko on muotoa: F(x)+C, jossa C on mikä tahansa reaaliluku.
Tästä seuraa, että mitkä tahansa kaksi tietyn funktion antiderivaasta eroavat toisistaan ​​vakiotermillä.

Esimerkki 6: Etsi funktion f (x) = cos x antiderivaattien joukko. Piirrä kaaviot kolmesta ensimmäisestä.

Ratkaisu: Sin x on yksi funktion f (x) = cos x antiderivaatta
F(х) = Sinх+С – kaikkien antiderivaatien joukko.

F1(x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F3(x) = Sin x+1

Geometrinen kuva: Minkä tahansa antiderivaatan F(x)+C graafi voidaan saada antiderivaatan F(x) graafista käyttämällä rinnakkaissiirtoa r (0;c).

Esimerkki 7: Etsi funktiolle f (x) = 2x antiderivaata, jonka graafi kulkee t.M (1;4) kautta.

Ratkaisu: F(x)=x 2 +C – kaikkien antiderivaalien joukko, F(1)=4 - tehtävän ehtojen mukaan.
Siksi 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Lause 1. Olkoon jokin antiderivaava välille ja olkoon mielivaltainen vakio. Silloin funktio on myös antideriivatiivinen on.

Todiste. Osoitetaan, että johdannainen antaa:

kaikkien edessä. Siten se on antijohdannainen.

Joten, jos on on-antideriivatiivinen, niin kaikkien antiderivaattien joukko for joka tapauksessa sisältää kaikki muodon funktiot. Osoitetaan, että kaikkien antiderivaatojen joukko ei sisällä muita funktioita, toisin sanoen, että kaikki kiinteän funktion antiderivaatat eroavat vain vakiotermistä.

Lause 2 Olkoon antiderivaatinen ja olla jokin muu antideriivatiivinen. Sitten

jossain vakiona.

Todiste. Mietitäänpä eroa. Siitä lähtien ja siitä lähtien. Osoitetaan, että funktio, joka on kaikille, on vakio. Tätä varten harkitse kahta mielivaltaista pistettä ja, jotka kuuluvat ja janaan ja välillä ja (olkoon tämän). äärellinen lisäyskaava

Missä. (Muista, että tämä kaava on seurausta Lagrangen lauseet, jota tarkastelimme ensimmäisellä lukukaudella). Koska kaikissa kohdissa, mukaan lukien ja sitten. Näin ollen mielivaltaisessa pisteessä funktio saa saman arvon kuin pisteessä, eli.

Antijohdannaiselle tämä tarkoittaa, että minkä tahansa, eli

Aiemmin löysimme sen derivaatan tietyn funktion perusteella, erilaisten kaavojen ja sääntöjen ohjaamana. Johdannaisella on lukuisia käyttötarkoituksia: se on liikkeen nopeus (tai yleisemmin minkä tahansa prosessin nopeus); funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin; derivaatan avulla voit tutkia funktion monotonisuutta ja äärimmäisyyttä; se auttaa ratkaisemaan optimointiongelmia.

Mutta tunnetun liikelain mukaisen nopeuden löytämisongelman ohella on myös käänteinen ongelma - ongelma liikelain palauttamisesta tunnetun nopeuden mukaan. Tarkastellaanpa yhtä näistä ongelmista.

Esimerkki 1. Materiaalipiste liikkuu suorassa linjassa, sen nopeus hetkellä t saadaan kaavasta v=gt. Löydä liikkeen laki.
Ratkaisu. Olkoon s = s(t) haluttu liikelaki. Tiedetään, että s"(t) = v(t). Tämä tarkoittaa, että ongelman ratkaisemiseksi on valittava funktio s = s(t), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin gt. Ei ole vaikea arvata että \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Vastaus: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Huomaa heti, että esimerkki on ratkaistu oikein, mutta epätäydellisesti. Saimme \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Itse asiassa ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua: mikä tahansa muotoa \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ oleva funktio, jossa C on mielivaltainen vakio, voi toimia laina liike, koska \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \oikea)" = gt \)

Ongelman tarkentamiseksi jouduimme korjaamaan alkutilanteen: osoittamaan liikkuvan pisteen koordinaatin jossain vaiheessa, esimerkiksi t = 0. Jos esimerkiksi s(0) = s 0, niin yhtälö s(t) = (gt 2)/2 + C saadaan: s(0) = 0 + C, eli C = s 0. Nyt liikelaki on yksiselitteisesti määritelty: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematiikassa toistensa käänteisoperaatioille annetaan eri nimiä, keksitään erityisiä merkintöjä, esimerkiksi: neliöinti (x 2) ja neliöjuuri (\(\sqrt(x) \)), sini (sin x) ja arcsini (arcsin x) ja jne. Tietyn funktion derivaatan löytämisprosessia kutsutaan erilaistuminen, ja käänteisoperaatio, eli prosessi, jossa funktio löydetään tietystä derivaatasta, on liittäminen.

Itse termi "johdannainen" voidaan perustella "arkipäiväisillä termeillä": funktio y = f(x) "syntää" uuden funktion y" = f"(x). Funktio y = f(x) toimii "vanhempana", mutta matemaatikot eivät luonnollisesti kutsu sitä "vanhemmiksi" tai "tuottajaksi", he sanovat, että se on suhteessa funktioon y" = f"(; x) , ensisijainen kuva tai primitiivinen.

Määritelmä. Funktiota y = F(x) kutsutaan antiderivaatiiviseksi funktiolle y = f(x) välissä X, jos yhtälö F"(x) = f(x) pätee \(x \in X\)

Käytännössä väliä X ei yleensä määritellä, vaan se on oletettu (funktion luonnollisena määrittelyalueena).

Annetaan esimerkkejä.
1) Funktio y = x 2 on antiderivaata funktiolle y = 2x, koska minkä tahansa x:n yhtälö (x 2)" = 2x on tosi
2) Funktio y = x 3 on antiderivaava funktiolle y = 3x 2, koska minkä tahansa x:n yhtälö (x 3)" = 3x 2 on tosi
3) Funktio y = sin(x) on antiderivaava funktiolle y = cos(x), koska minkä tahansa x:n yhtälö (sin(x))" = cos(x) on tosi

Löytäessäsi antijohdannaisia ​​ja johdannaisia ​​ei käytetä vain kaavoja, vaan myös joitain sääntöjä. Ne liittyvät suoraan vastaaviin johdannaisten laskentasääntöihin.

Tiedämme, että summan derivaatta on yhtä suuri kuin sen derivaattojen summa. Tämä sääntö luo vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.

Sääntö 1. Summan antiderivaata on yhtä suuri kuin antiderivaattien summa.

Tiedämme, että vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan merkistä. Tämä sääntö luo vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.

Sääntö 2. Jos F(x) on f(x) antiderivaata, niin kF(x) on kf(x) antiderivaata.

Lause 1. Jos y = F(x) on antiderivaata funktiolle y = f(x), niin funktion y = f(kx + m) antiderivaata on funktio \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Lause 2. Jos y = F(x) on antiderivaata funktiolle y = f(x) välissä X, niin funktiolla y = f(x) on äärettömän monta antiderivaavaa, ja ne kaikki ovat muotoa y = F(x) + C.

Integrointimenetelmät

Muuttuvan korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)

Integrointimenetelmä substituutiolla sisältää uuden integrointimuuttujan (eli substituution) käyttöönoton. Tässä tapauksessa annettu integraali pelkistetään uudeksi integraaliksi, joka on taulukkomainen tai siihen pelkistävissä. Ei ole olemassa yleisiä menetelmiä korvausten valitsemiseksi. Kyky määrittää substituutio oikein hankitaan harjoittelemalla.
Olkoon tarpeen laskea integraali \(\textstyle \int F(x)dx \). Tehdään substituutio \(x= \varphi(t) \) missä \(\varphi(t) \) on funktio, jolla on jatkuva derivaatta.
Sitten \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ja määrittelemättömän integraalin integrointikaavan invarianssiominaisuuden perusteella saadaan integrointikaava korvaamalla:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Muodon \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) lausekkeiden integrointi

Jos m on pariton, m > 0, niin substituutiosta on helpompi tehdä sin x = t.
Jos n on pariton, n > 0, niin on kätevämpää tehdä substituutio cos x = t.
Jos n ja m ovat parillisia, on kätevämpää tehdä substituutio tg x = t.

Integrointi osien mukaan

Integrointi osittain - soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
tai:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teksti(arctg) x +C $$ $$ \int \teksti(ch) x dx = \teksti(sh) x +C $$ $$ \int \teksti(sh) x dx = \teksti(ch) ) x +C $$