Mål:

1. Kjenne til definisjonen av et antiderivat, hovedegenskapen til et antiderivat, reglene for å finne et antiderivat;
2. Kunne finne den generelle formen til antiderivatet;
3. Utvikle selvkontrollferdigheter og interesse for faget;
4. Dyrk viljen og utholdenheten for å oppnå endelige resultater når du fullfører oppgaver.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

II. Kontrollere assimileringen av det studerte materialet.

1. Spørreundersøkelse med kort:

A) Formuler definisjonen av et antiderivat?
B) Formuler et tegn på funksjonskonstans?
Sp) Formulere hovedegenskapen til antiderivater?
D) Fortsett uttrykket "Differensiering er ...."
D) Integrasjon er…..
E) Grafene til alle to antiderivater for funksjonen f er hentet fra hverandre…….
G) Hva er dette?...

2. Finn den generelle formen for antiderivater for funksjonen:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x+1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Blant de gitte funksjonene, velg antideriverten for funksjonene y = - 7x ³

III. Gruppearbeid

1. gruppe - spiller kabal. Det er klippekort på bordene. Lag alle formlene du kjenner. Hvor mange ganger har du vært heldig?

2. og 3. gruppe - arbeid med lotto. Skriv ned det resulterende nøkkelordet.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5-3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(stikkord – antiderivativ)

4. gruppe – jobber med kryssord.

Kryssord.

Spørsmål:

2. Hva er grafen til funksjonen y = ax + b.

4. Hvilken leksjon finner vanligvis sted før prøven.

5. Synonym for ordet dusin.

6. Det er i hvert ord, i ligninger og kan være i ligninger.

7. Hva kan beregnes ved hjelp av formelen a b.

8. Et av de viktigste begrepene i matematikk.

9. Form for undervisningen der kunnskapstesten gjennomføres.

10. Tysk vitenskapsmann som introduserte integralregning.

11. Settet av punkter i planet med koordinater (x; y), der x går gjennom definisjonsdomenet til funksjonen f.

12. Korrespondanser mellom sett X og Y, der hver verdi av sett X er assosiert med en enkelt verdi fra sett Y, kalles...

Når du skal løse kryssordet under tallet 1 vertikalt, les nøkkelordet.

IV. Analyse av Unified State Exam-oppgaven om dette emnet fra tidligere år.

Angi antideriverten F til funksjonen f(x) = 3sin x hvis det er kjent at F(П) = 1.

V. Selvstendig arbeid.

Gruppe 1 og 2 – utfør testen.

Del A

A1. Blant disse funksjonene, velg den hvis deriverte er f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. Finn den generelle formen for antiderivater for funksjonen f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.For funksjonen f(x) =8x – 3, finn antideriverten hvis graf går gjennom punktet M (1; 4).

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. Finn den generelle formen for antiderivater for funksjonen f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. Antideriverten for funksjonen f(x) = sin x + 3x2 er funksjonen

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. Antideriverten for funksjonen f(x) = 3sin x er funksjonen

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. Antideriverten for funksjonen f(x) = cos 2x er funksjonen

1) F(x) = 0,5sin 2x
2) F(x) = 0,5sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Antideriverte for funksjonen f(x) = 2 sinx cosx for funksjonen

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. For funksjonen f(x) = 6/cos23x + 1, finn en antiderivert hvis graf går gjennom punktet M (P/3; P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

Del B

I 1. Funksjonen F(x) er en antiderivert av funksjonen f(x) = x5 – 3x2 – 2. Finn F(1) hvis F(- 1) = 0.

3. og 4. gruppe – rett feilen.

a) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
c) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
d) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 på (0 ; +)
g) For funksjonen f(x) = 10 sin 2x, finn antideriverten hvis graf går gjennom punktet M (-3/2P; 0)

VI. Leksjonssammendrag.

D/Z.nr 348, individuell oppgave: Lag en presentasjon om temaet.

Antiderivatfunksjon f(x) imellom (a; b) denne funksjonen kalles F(x), at likestilling gjelder for evt X fra et gitt intervall.

Hvis vi tar hensyn til det faktum at den deriverte av en konstant MED er lik null, så er likheten sann. Så funksjonen f(x) har mange primitiver F(x)+C, for en vilkårlig konstant MED, og disse antiderivatene skiller seg fra hverandre med en vilkårlig konstant verdi.

Definisjon av en ubestemt integral.

Hele settet med antiderivative funksjoner f(x) kalles det ubestemte integralet av denne funksjonen og betegnes .

Uttrykket heter integrand, A f(x) – integrand funksjon. Integranden representerer funksjonens differensial f(x).

Handlingen med å finne en ukjent funksjon gitt dens differensial kalles usikker integrasjon, fordi resultatet av integrasjon er mer enn én funksjon F(x), og settet av dets primitiver F(x)+C.

Geometrisk betydning av det ubestemte integralet. Grafen til antideriverten D(x) kalles integralkurven. I x0y-koordinatsystemet representerer grafene til alle antideriverte av en gitt funksjon en familie av kurver som avhenger av verdien av konstanten C og oppnås fra hverandre ved et parallellskift langs 0y-aksen. For eksemplet diskutert ovenfor har vi:

J 2 x^x = x2 + C.

Familien av antiderivater (x + C) tolkes geometrisk av et sett med parabler.

Hvis du trenger å finne en fra en familie av antiderivater, settes det ytterligere betingelser som lar deg bestemme konstanten C. Vanligvis, for dette formålet, settes startbetingelser: når argumentet x = x0, har funksjonen verdien D (x0) = y0.

Eksempel. Det er nødvendig å finne at en av antiderivertene til funksjonen y = 2 x som tar verdien 3 ved x0 = 1.

Den nødvendige antideriverten: D(x) = x2 + 2.

Løsning. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Grunnleggende egenskaper til det ubestemte integralet

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integrandfunksjonen:

2. Differensialet til det ubestemte integralet er lik integranduttrykket:

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen selv og en vilkårlig konstant:

4. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:

5. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene:

6. Eiendom er en kombinasjon av eiendom 4 og 5:

7. Invariansegenskapen til det ubestemte integralet:

Hvis , Det

8. Eiendom:

Hvis , Det

Faktisk er denne egenskapen et spesielt tilfelle av integrasjon ved bruk av variabel endringsmetoden, som diskuteres mer detaljert i neste avsnitt.

La oss se på et eksempel:

3. Integrasjonsmetode der et gitt integral reduseres til ett eller flere tabellintegraler ved hjelp av identiske transformasjoner av integraden (eller uttrykket) og anvendelsen av egenskapene til det ubestemte integralet, kalles direkte integrasjon. Når du reduserer dette integralet til en tabellform, brukes ofte følgende differensialtransformasjoner (operasjon " abonnere på differensialtegnet»):

I det hele tatt, f’(u)du = d(f(u)). Denne (formelen brukes veldig ofte ved beregning av integraler.

Finn integralet

Løsning. La oss bruke egenskapene til integralet og redusere dette integralet til flere tabellformede.

4. Integrasjon ved substitusjonsmetode.

Essensen av metoden er at vi introduserer en ny variabel, uttrykker integranden gjennom denne variabelen, og som et resultat kommer vi til en tabellform (eller enklere) form av integralet.

Svært ofte kommer substitusjonsmetoden til unnsetning når man integrerer trigonometriske funksjoner og funksjoner med radikaler.

Eksempel.

Finn det ubestemte integralet .

Løsning.

La oss introdusere en ny variabel. La oss uttrykke X gjennom z:

Vi erstatter de resulterende uttrykkene i det opprinnelige integralet:

Fra tabellen over antiderivater har vi .

Det gjenstår å gå tilbake til den opprinnelige variabelen X:

Svar:

Å løse integraler er en enkel oppgave, men bare for noen få utvalgte. Denne artikkelen er for de som ønsker å lære å forstå integraler, men vet ingenting eller nesten ingenting om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendig? Hvordan beregne det? Hva er bestemte og ubestemte integraler? Hvis den eneste bruken du vet om for en integral er å bruke en heklenål formet som et integrert ikon for å få noe nyttig ut av vanskelig tilgjengelige steder, så velkommen! Finn ut hvordan du løser integraler og hvorfor du ikke kan klare deg uten dem.

Vi studerer konseptet "integral"

Integrering var kjent tilbake i det gamle Egypt. Selvfølgelig ikke i sin moderne form, men likevel. Siden den gang har matematikere skrevet mange bøker om dette emnet. Spesielt utmerket seg Newton Og Leibniz , men essensen av ting har ikke endret seg. Hvordan forstå integraler fra bunnen av? Aldri! For å forstå dette emnet, vil du fortsatt trenge en grunnleggende kunnskap om det grunnleggende om matematisk analyse. Vi har allerede informasjon om , nødvendig for å forstå integraler, på bloggen vår.

Ubestemt integral

La oss ha en funksjon f(x) .

Ubestemt integrert funksjon f(x) denne funksjonen kalles F(x) , hvis deriverte er lik funksjonen f(x) .

Med andre ord, en integral er en derivat i revers eller en antiderivat. Les forresten om hvordan i artikkelen vår.

En antiderivativ eksisterer for alle kontinuerlige funksjoner. Også et konstant tegn legges ofte til antiderivatet, siden derivatene av funksjoner som avviker med en konstant sammenfaller. Prosessen med å finne integralet kalles integrasjon.

Enkelt eksempel:

For ikke å hele tiden beregne antiderivater av elementære funksjoner, er det praktisk å sette dem i en tabell og bruke ferdige verdier.

Komplett tabell over integraler for studenter

Sikker integral

Når vi har å gjøre med begrepet et integral, har vi å gjøre med uendelig små mengder. Integralet vil bidra til å beregne arealet til en figur, massen til en ujevn kropp, avstanden tilbakelagt under ujevn bevegelse og mye mer. Det bør huskes at et integral er summen av et uendelig stort antall infinitesimale ledd.

Som et eksempel, se for deg en graf for en funksjon. Hvordan finne arealet til en figur avgrenset av grafen til en funksjon?

Ved hjelp av en integral! La oss dele den kurvelinjeformede trapesen, begrenset av koordinataksene og grafen til funksjonen, i uendelig små segmenter. På denne måten vil figuren deles inn i tynne kolonner. Summen av arealene til kolonnene vil være arealet av trapesen. Men husk at en slik beregning vil gi et omtrentlig resultat. Men jo mindre og smalere segmentene er, jo mer nøyaktig blir beregningen. Hvis vi reduserer dem i en slik grad at lengden har en tendens til null, vil summen av arealene til segmentene tendere til området til figuren. Dette er en bestemt integral, som er skrevet slik:

Punktene a og b kalles integrasjonsgrenser.

Bari Alibasov og gruppen "Integral"

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på

Regler for beregning av integraler for dummies

Egenskaper til det ubestemte integralet

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her skal vi se på egenskapene til det ubestemte integralet, noe som vil være nyttig når du skal løse eksempler.

• Den deriverte av integralet er lik integranden:

• Konstanten kan tas ut under integrertegnet:

• Integralet av summen er lik summen av integralene. Dette gjelder også for forskjellen:

Egenskaper til en bestemt integral

• Linearitet:

• Tegnet på integralet endres hvis grensene for integrasjon byttes:

• På noen poeng en, b Og Med:

Vi har allerede funnet ut at et bestemt integral er grensen for en sum. Men hvordan få en bestemt verdi når man løser et eksempel? For dette er det Newton-Leibniz-formelen:

Eksempler på løsning av integraler

Nedenfor skal vi vurdere flere eksempler på å finne ubestemte integraler. Vi foreslår at du finner ut vanskelighetene med løsningen selv, og hvis noe er uklart, still spørsmål i kommentarene.

For å forsterke materialet, se en video om hvordan integraler løses i praksis. Fortvil ikke hvis integralen ikke gis med en gang. Kontakt en profesjonell tjeneste for studenter, og enhver trippel eller buet integral over en lukket overflate vil være innenfor din makt.

Emne: Integrering av funksjoner til én variabel

FOREDRAG nr. 1

Plan:

1. Antiderivativ funksjon.

2. Definisjoner og enkleste egenskaper.

Definisjon. En funksjon F(x) kalles antiderivert for en funksjon f(x) på et gitt intervall J hvis for alle x fra dette intervallet F`(x)= f(x). Så funksjonen F(x)=x 3 er antiderivert for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Siden for alle x ~R er likheten sann: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Eksempel 1. La oss vurdere funksjonen på hele tallinjen - på intervallet. Da er funksjonen et antiderivat for på.

For å bevise det, la oss finne den deriverte av:

Siden likheten gjelder for alle, så er den et antiderivat for på.

Eksempel 2. Funksjonen F(x)=x er antiderivert for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette intervallet gjelder likhet.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Eksempel 3. Funksjonen F(x)=tg3x er en antiderivert for f(x)=3/cos3x på intervallet (-n/ 2; P/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Eksempel 4. Funksjonen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivert for f(x)=12cos4x-1/x 2 på intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. La være antiderivater for funksjonene og følgelig, en, b,k– permanent, . Deretter: - antiderivat for funksjonen; - antiderivat av en funksjon; -et antiderivat for en funksjon.

2. Konstantkoeffisienten kan tas ut av integreringstegnet:

funksjonen tilsvarer et antiderivat.

3. Antideriverten av summen av funksjoner er lik summen av antiderivatene til disse funksjonene:

Summen av funksjoner tilsvarer summen av antiderivater.

Teorem: (Hovedegenskapen til den antiderivative funksjonen)

Hvis F(x) er en av antiderivertene for funksjonen f(x) på intervallet J, så har settet av alle antiderivertene av denne funksjonen formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tall.

Bevis:

La F`(x) = f (x), deretter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Anta at det finnes Φ(x) - et annet antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
deretter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Dette betyr at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Dette betyr at hvis F(x) er en antiderivert for en funksjon f (x) på intervallet J, så har settet av alle antideriverte av denne funksjonen formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tall.
Følgelig skiller to antiderivater av en gitt funksjon seg fra hverandre med et konstant ledd.

Eksempel 6: Finn settet med antideriverte av funksjonen f (x) = cos x. Tegn grafer over de tre første.

Løsning: Sin x er en av antiderivatene for funksjonen f (x) = cos x
F(х) = Sinх+С – settet av alle antiderivater.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrisk illustrasjon: Grafen til et hvilket som helst antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen til antiderivatet F(x) ved bruk av parallell overføring av r (0;c).

Eksempel 7: For funksjonen f (x) = 2x, finn en antiderivert hvis graf går gjennom t.M (1;4)

Løsning: F(x)=x 2 +C – settet av alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til betingelsene for problemet.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Teorem 1. La være noen antideriverte for på intervallet og la være en vilkårlig konstant. Da er funksjonen også antiderivativ for på.

Bevis. La oss vise at den deriverte av gir:

foran alle. Dermed er et antiderivat for.

Så hvis er et antiderivat for på, så inneholder settet med alle antiderivater for i alle fall alle funksjonene til skjemaet. La oss vise at settet av alle antiderivater ikke inneholder noen andre funksjoner, det vil si at alle antiderivater for en fast funksjon skiller seg fra bare med en konstant term.

Teorem 2 La være et antiderivat for på og være et annet antiderivat. Deretter

på en eller annen konstant.

Bevis. La oss vurdere forskjellen. Siden og da. La oss vise at en funksjon slik som for alle er konstant. For å gjøre dette, vurdere to vilkårlige punkter og, som tilhører og til segmentet mellom og (la dette) gjelde formel med endelig inkrement

Hvor. (Husk at denne formelen er en konsekvens av Lagranges teoremer, som vi så på i første semester). Siden på alle punkter, inkludert og, da. Følgelig, på et vilkårlig punkt får funksjonen samme verdi som ved punktet, det vil si.

For et antiderivat betyr dette at for alle, dvs.

Tidligere, gitt en gitt funksjon, styrt av forskjellige formler og regler, fant vi dens deriverte. Derivatet har mange bruksområder: det er bevegelseshastigheten (eller mer generelt hastigheten til enhver prosess); vinkelkoeffisienten til tangenten til grafen til funksjonen; ved å bruke den deriverte kan du undersøke en funksjon for monotonisitet og ekstrema; det hjelper med å løse optimaliseringsproblemer.

Men sammen med problemet med å finne hastigheten i henhold til en kjent bevegelseslov, er det også et omvendt problem - problemet med å gjenopprette bevegelsesloven i henhold til en kjent hastighet. La oss vurdere ett av disse problemene.

Eksempel 1. Et materialpunkt beveger seg i en rett linje, hastigheten på tidspunktet t er gitt av formelen v=gt. Finn bevegelsesloven.
Løsning. La s = s(t) være den ønskede bevegelsesloven. Det er kjent at s"(t) = v(t). Dette betyr at for å løse problemet må du velge en funksjon s = s(t), hvis deriverte er lik gt. Det er ikke vanskelig å gjette at \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Faktisk
\(s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Svar: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

La oss umiddelbart merke at eksemplet er løst riktig, men ufullstendig. Vi fikk \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktisk har problemet uendelig mange løsninger: enhver funksjon av formen \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), der C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevegelse, siden \(\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \høyre)" = gt \)

For å gjøre problemet mer spesifikt, måtte vi fikse startsituasjonen: angi koordinaten til et bevegelig punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis for eksempel s(0) = s 0, så fra likhet s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nå er bevegelsesloven unikt definert: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

I matematikk får gjensidig inverse operasjoner forskjellige navn, spesielle notasjoner er oppfunnet, for eksempel: kvadratur (x 2) og kvadratrot (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) og arcsinus (arcsin x) og osv. Prosessen med å finne den deriverte av en gitt funksjon kalles differensiering, og den inverse operasjonen, dvs. prosessen med å finne en funksjon fra en gitt derivert, er integrering.

Selve begrepet "derivert" kan rettferdiggjøres "i dagligdagse termer": funksjonen y = f(x) "føder" en ny funksjon y" = f"(x). Funksjonen y = f(x) fungerer som en "forelder", men matematikere kaller den naturligvis ikke en "forelder" eller "produsent"; de sier at den er det i forhold til funksjonen y" = f"( x) , primærbilde eller primitiv.

Definisjon. Funksjonen y = F(x) kalles antiderivert for funksjonen y = f(x) på intervallet X hvis likheten F"(x) = f(x) gjelder for \(x \i X\)

I praksis er intervallet X vanligvis ikke spesifisert, men antydet (som det naturlige domene for definisjon av funksjonen).

La oss gi eksempler.
1) Funksjonen y = x 2 er antiderivert for funksjonen y = 2x, siden for enhver x er likheten (x 2)" = 2x sann
2) Funksjonen y = x 3 er antiderivert for funksjonen y = 3x 2, siden for enhver x er likheten (x 3)" = 3x 2 sann
3) Funksjonen y = sin(x) er antiderivert for funksjonen y = cos(x), siden for enhver x er likheten (sin(x))" = cos(x) sann

Når du finner antiderivater, så vel som derivater, brukes ikke bare formler, men også noen regler. De er direkte relatert til de tilsvarende reglene for beregning av derivater.

Vi vet at den deriverte av en sum er lik summen av dens deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.

Regel 1. Antideriverten til en sum er lik summen av antiderivatene.

Vi vet at konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.

Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).

Teorem 1. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x), så er antideriverten for funksjonen y = f(kx + m) funksjonen \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x) på intervallet X, så har funksjonen y = f(x) uendelig mange antideriverte, og de har alle formen y = F(x) + C.

Integreringsmetoder

Variabel erstatningsmetode (substitusjonsmetode)

Metoden for integrasjon ved substitusjon innebærer å introdusere en ny integrasjonsvariabel (det vil si substitusjon). I dette tilfellet reduseres det gitte integralet til et nytt integral, som er tabellformet eller reduserbart til det. Det finnes ingen generelle metoder for å velge erstatninger. Evnen til riktig å bestemme substitusjon oppnås gjennom praksis.
La det være nødvendig å beregne integralet \(\tekststil \int F(x)dx \). La oss gjøre substitusjonen \(x= \varphi(t) \) der \(\varphi(t) \) er en funksjon som har en kontinuerlig derivert.
Så \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) og basert på invariansegenskapen til integrasjonsformelen for det ubestemte integralet, får vi integrasjonsformelen ved substitusjon:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrasjon av uttrykk av formen \(\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Hvis m er oddetall, m > 0, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen sin x = t.
Hvis n er oddetall, n > 0, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen cos x = t.
Hvis n og m er like, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen tg x = t.

Integrasjon av deler

Integrasjon etter deler - bruk følgende formel for integrasjon:
\(\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
eller:
\(\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabell over ubestemte integraler (antiderivater) av noen funksjoner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \nev -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$