Hədəf:

1. Antiderivativin tərifini, əks törəmənin əsas xassəsini, əks törəmənin tapılma qaydalarını bilmək;
2. Əks törəmənin ümumi formasını tapa bilmək;
3. Özünü idarə etmə bacarıqlarını və mövzuya marağı inkişaf etdirmək;
4. Tapşırıqları yerinə yetirərkən son nəticələrə nail olmaq üçün iradə və əzmkarlıq inkişaf etdirin.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

II. Öyrənilən materialın mənimsənilməsinin yoxlanılması.

1. Kartlardan istifadə edərək sorğu:

A) Antiderivativin tərifini tərtib edin?
B) Funksiya sabitliyinin əlamətini tərtib edin?
S) Antiderivativlərin əsas xassəsini formalaşdırın?
D) “Fərqlənmə ....” ifadəsini davam etdirin.
D) İnteqrasiya ......
E) f funksiyası üçün hər hansı iki əks törəmənin qrafikləri bir-birindən alınır.......
G) Bu nədir?...

2. Funksiya üçün əks törəmələrin ümumi formasını tapın:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Verilmiş funksiyalar arasında y = - 7x ³ funksiyaları üçün əks törəməni seçin.

III. Qrup işi

1-ci qrup - solitaire oynayır. Stollarda kəsilmiş kartlar var. Bildiyiniz bütün düsturları düzəldin. Neçə dəfə bəxtiniz gətirdi?

2-ci və 3-cü qruplar - loto ilə işləmək. Yaranan açar sözü yazın.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(açar söz – antiderivativ)

4-cü qrup – krossvordla işləyir.

Krossvord.

Suallar:

2. y = ax + b funksiyasının qrafiki hansıdır.

4. Testdən əvvəl adətən hansı dərs keçirilir.

5. Dozen sözünün sinonimi.

6. Hər sözdə, tənliklərdə var və tənliklərdə də ola bilər.

7. a b düsturu ilə nəyi hesablamaq olar.

8. Riyaziyyatda ən vacib anlayışlardan biri.

9. Bilik yoxlamasının keçirildiyi dərsin forması.

10. İnteqral hesablamanı tətbiq edən alman alimi.

11. (x; y) koordinatlı müstəvi nöqtələrinin çoxluğu, burada x f funksiyasının təyinetmə oblastından keçir.

12. X çoxluğunun hər bir dəyərinin Y çoxluğundan bir qiymətlə əlaqələndirildiyi X və Y çoxluqları arasındakı uyğunluqlar... adlanır.

Şaquli 1 rəqəminin altındakı krossvordu düzgün həll edərkən açar sözü oxuyun.

IV. Əvvəlki illərdən bu mövzuda Vahid Dövlət İmtahanının tapşırıqlarının təhlili.

F(P) = 1 olduğu məlumdursa, f(x) = 3sin x funksiyasının F əks törəməsini göstərin.

V. Müstəqil iş.

Qrup 1 və 2 - testi yerinə yetirin.

Hissə A

A1. Bu funksiyalar arasında törəməsi f(x) = 20x4-ə bərabər olanı seçin.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. f(x) = 4x3 – 6 funksiyası üçün əks törəmələrin ümumi formasını tapın

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.f(x) =8x – 3 funksiyası üçün qrafiki M (1; 4) nöqtəsindən keçən əks törəməni tapın.

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. f(x) = 2/x3 funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını tapın

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. f(x) = sin x + 3x2 funksiyasının əks törəməsi funksiyadır

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. f(x) = 3sin x funksiyasının əks törəməsi funksiyadır

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. f(x) = cos 2x funksiyasının əks törəməsi funksiyadır

1) F(x) = 0,5sin 2x
2) F(x) = 0,5sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. f(x) = 2 sinx cosx funksiyası üçün əks törəmə

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0.5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. f(x) = 6/cos23x + 1 funksiyası üçün qrafiki M (P/3; P/3) nöqtəsindən keçən əks törəməni tapın.

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tq 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

B hissəsi

1-də. F(x) funksiyası f(x) = x5 – 3x2 – 2 funksiyasının əks törəməsidir. F(- 1) = 0 olarsa, F(1)-i tapın.

3-cü və 4-cü qruplar - səhvi düzəldin.

a) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
c) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
d) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 on (0 ; +)
g) f(x) = 10 sin 2x funksiyası üçün qrafiki M (-3/2P; 0) nöqtəsindən keçən əks törəməni tapın.

VI. Dərsin xülasəsi.

D/Z No 348, fərdi tapşırıq: Mövzu ilə bağlı təqdimat hazırlayın.

Antitörəmə funksiyası f(x) arasında (a; b) bu funksiya adlanır F(x), bu bərabərlik hər kəs üçün keçərlidir X verilmiş intervaldan.

Bir sabitin törəməsi olduğunu nəzərə alsaq İLƏ sıfıra bərabərdir, onda bərabərlik doğrudur. Beləliklə, funksiya f(x)çoxlu primitivlərə malikdir F(x)+C, ixtiyari sabit üçün İLƏ, və bu antiderivativlər bir-birindən ixtiyari sabit qiymətlə fərqlənir.

Qeyri-müəyyən inteqralın tərifi.

Antiderivativ funksiyaların bütün dəsti f(x) bu funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı adlanır və işarə olunur .

ifadə deyilir inteqral, A f(x) – inteqral funksiyası. İnteqran funksiyanın diferensialını təmsil edir f(x).

Naməlum funksiyanın diferensialını tapmaq hərəkətinə deyilir qeyri-müəyyən inteqrasiya, çünki inteqrasiyanın nəticəsi birdən çox funksiyadır F(x), və onun primitivlərinin çoxluğu F(x)+C.

Qeyri-müəyyən inteqralın həndəsi mənası. D(x) antiderivativinin qrafiki inteqral əyri adlanır. x0y koordinat sistemində verilmiş funksiyanın bütün əks törəmələrinin qrafikləri C sabitinin qiymətindən asılı olan və bir-birindən 0y oxu boyunca paralel sürüşmə yolu ilə alınan əyrilər ailəsini təmsil edir. Yuxarıda müzakirə edilən nümunə üçün əlimizdə:

J 2 x^x = x2 + C.

Antiderivativlər ailəsi (x + C) həndəsi olaraq parabolalar çoxluğu ilə şərh olunur.

Əgər antiderivativlər ailəsindən birini tapmaq lazımdırsa, onda C sabitini təyin etməyə imkan verən əlavə şərtlər qoyulur. Adətən bu məqsədlə ilkin şərtlər qoyulur: x = x0 arqumenti olduqda funksiya D dəyərinə malikdir. (x0) = y0.

Misal. Tapmaq tələb olunur ki, y = 2 x funksiyasının x0 = 1-də 3 qiymətini alan əks törəmələrindən biri.

Tələb olunan antiderivativ: D(x) = x2 + 2.

Həll. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Qeyri-müəyyən inteqralın əsas xassələri

1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqral funksiyasına bərabərdir:

2. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqral ifadəsinə bərabərdir:

3. Müəyyən funksiyanın diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı bu funksiyanın özünün və ixtiyari sabitin cəminə bərabərdir:

4. Sabit amili inteqral işarəsindən çıxarmaq olar:

5. Cəminin (fərqinin) inteqralı inteqralların cəminə (fərqinə) bərabərdir:

6. Mülk 4 və 5-ci xassələrin birləşməsidir:

7. Qeyri-müəyyən inteqralın dəyişməzlik xassəsi:

Əgər , Bu

8. Əmlak:

Əgər , Bu

Əslində, bu xassə, növbəti bölmədə daha ətraflı müzakirə olunan dəyişən dəyişdirmə metodundan istifadə edərək inteqrasiyanın xüsusi bir halıdır.

Bir misala baxaq:

3. İnteqrasiya üsulu verilmiş inteqralın inteqralın (və ya ifadənin) eyni çevrilmələri və qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinin tətbiqi yolu ilə bir və ya bir neçə cədvəl inteqralına endirilməsi adlanır. birbaşa inteqrasiya. Bu inteqralı cədvələ endirərkən tez-tez aşağıdakı diferensial çevrilmələrdən istifadə olunur (əməliyyat " diferensial işarəyə abunə»):

Bütün, f’(u)du = d(f(u)). Bu (düstur çox vaxt inteqralları hesablayarkən istifadə olunur.

İnteqralı tapın

Həll.İnteqralın xassələrindən istifadə edək və bu inteqralı bir neçə cədvələ endirək.

4. Əvəzetmə üsulu ilə inteqrasiya.

Metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, biz yeni dəyişən təqdim edirik, bu dəyişən vasitəsilə inteqranı ifadə edirik və nəticədə inteqralın cədvəlli (və ya daha sadə) formasına çatırıq.

Çox vaxt əvəzetmə üsulu triqonometrik funksiyaları və funksiyaları radikallarla birləşdirərkən köməyə gəlir.

Misal.

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın .

Həll.

Gəlin yeni dəyişən təqdim edək. ifadə edək X vasitəsilə z:

Yaranan ifadələri orijinal inteqralla əvəz edirik:

Antiderivativlər cədvəlindən bizdə var .

Orijinal dəyişənə qayıtmaq qalır X:

Cavab:

İnteqralların həlli asan məsələdir, lakin yalnız seçilmiş bir neçə nəfər üçün. Bu məqalə inteqralları başa düşməyi öyrənmək istəyən, lakin onlar haqqında heç nə və ya demək olar ki, heç nə bilməyənlər üçündür. İnteqral... Niyə lazımdır? Onu necə hesablamaq olar? Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar hansılardır? Əgər inteqral üçün bildiyiniz yeganə istifadə əlçatmaz yerlərdən faydalı bir şey əldə etmək üçün inteqral simvol kimi formalı qarmaqdan istifadə etməkdirsə, xoş gəlmisiniz! İnteqralları necə həll edəcəyinizi və niyə onsuz edə bilməyəcəyinizi öyrənin.

Biz "inteqral" anlayışını öyrənirik

İnteqrasiya hələ Qədim Misirdə məlum idi. Təbii ki, müasir formada deyil, amma yenə də. O vaxtdan bəri riyaziyyatçılar bu mövzuda çoxlu kitablar yazmışlar. Xüsusilə özlərini fərqləndirdilər Nyuton Və Leybniz , lakin şeylərin mahiyyəti dəyişməyib. İnteqralları sıfırdan necə başa düşmək olar? Heç bir şəkildə! Bu mövzunu başa düşmək üçün hələ də riyazi analizin əsasları haqqında əsas biliklərə ehtiyacınız olacaq. Bloqumuzda artıq inteqralları anlamaq üçün lazım olan haqqında məlumat var.

Qeyri-müəyyən inteqral

Gəlin bəzi funksiyalarımız olsun f(x) .

Qeyri-müəyyən inteqral funksiya f(x) bu funksiya deyilir F(x) törəməsi funksiyasına bərabər olan f(x) .

Başqa sözlə, inteqral tərs törəmə və ya antitörəmədir. Yeri gəlmişkən, məqaləmizdə necə olduğunu oxuyun.

Bütün davamlı funksiyalar üçün antitörəmə mövcuddur. Həm də antitörəmə tez-tez sabit işarə əlavə olunur, çünki sabit ilə fərqlənən funksiyaların törəmələri üst-üstə düşür. İnteqralın tapılması prosesi inteqrasiya adlanır.

Sadə misal:

Elementar funksiyaların antitörəmələrini daim hesablamamaq üçün onları cədvələ qoymaq və hazır qiymətlərdən istifadə etmək rahatdır.

Tələbələr üçün inteqralların tam cədvəli

Müəyyən inteqral

İnteqral anlayışı ilə məşğul olanda biz sonsuz kiçik kəmiyyətlərlə məşğul oluruq. İnteqral bir fiqurun sahəsini, qeyri-bərabər bir cismin kütləsini, qeyri-bərabər hərəkət zamanı qət edilən məsafəni və daha çoxunu hesablamağa kömək edəcəkdir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, inteqral sonsuz sayda sonsuz kiçik şərtlərin cəmidir.

Nümunə olaraq hansısa funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapmaq olar?

İnteqraldan istifadə edin! Koordinat oxları və funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiyanı sonsuz kiçik seqmentlərə ayıraq. Bu şəkildə rəqəm nazik sütunlara bölünəcəkdir. Sütunların sahələrinin cəmi trapezoidin sahəsi olacaqdır. Ancaq unutmayın ki, belə bir hesablama təxmini nəticə verəcəkdir. Lakin seqmentlər nə qədər kiçik və dar olarsa, hesablama bir o qədər dəqiq olacaqdır. Onları uzunluq sıfıra enəcək qədər azaltsaq, seqmentlərin sahələrinin cəmi rəqəmin sahəsinə meyl edəcəkdir. Bu, müəyyən inteqraldır və belə yazılır:

a və b nöqtələrinə inteqrasiyanın hədləri deyilir.

Bari Alibasov və "İnteqral" qrupu

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var

Dummiyalar üçün inteqralların hesablanması qaydaları

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Qeyri-müəyyən inteqralı necə həll etmək olar? Burada qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinə baxacağıq ki, bu da misalların həlli zamanı faydalı olacaq.

• İnteqralın törəməsi inteqrana bərabərdir:

• Sabit inteqral işarəsi altından çıxarıla bilər:

• Cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir. Bu fərq üçün də doğrudur:

Müəyyən inteqralın xassələri

• Xəttilik:

• İnteqrasiya hədləri dəyişdirildikdə inteqralın işarəsi dəyişir:

• At hər hansı xal a, b Və ilə:

Artıq müəyyən inteqralın cəminin həddi olduğunu öyrəndik. Bəs nümunəni həll edərkən konkret dəyəri necə əldə etmək olar? Bunun üçün Nyuton-Leybniz düsturu var:

İnteqralların həlli nümunələri

Aşağıda qeyri-müəyyən inteqralların tapılmasına dair bir neçə nümunəni nəzərdən keçirəcəyik. Həllin incəliklərini özünüz anlamanızı təklif edirik və bir şey aydın deyilsə, şərhlərdə suallar verin.

Materialı möhkəmləndirmək üçün inteqralların praktikada necə həll edildiyi haqqında videoya baxın. İnteqral dərhal verilməzsə, ümidsiz olmayın. Tələbələr üçün peşəkar xidmətlə əlaqə saxlayın və qapalı səth üzərində istənilən üçlü və ya əyri inteqral sizin səlahiyyətinizdə olacaq.

Mövzu: Bir dəyişənin funksiyalarının inteqrasiyası

MÜHAZİRƏ № 1

Plan:

1. Antitörəmə funksiyası.

2. Təriflər və ən sadə xassələr.

Tərif. F(x) funksiyası verilmiş J intervalında f(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır, əgər bu intervaldan bütün x üçün F`(x)= f(x). Beləliklə, (- ∞ ; ∞) üzərində f(x)=3x 2 üçün F(x)=x 3 funksiyası antitörəmədir.
Çünki bütün x ~R üçün bərabərlik doğrudur: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Misal 1. Funksiyanı bütün say xəttində - intervalda nəzərdən keçirək. Onda funksiya on üçün antitörəmədir.

Bunu sübut etmək üçün aşağıdakı törəməni tapaq:

Bərabərlik hamı üçün doğru olduğundan, on üçün əks törəmədir.

Misal 2. F(x)=x funksiyası (0; +) intervalında bütün f(x)= 1/x üçün antitörəmədir, çünki bu intervaldan bütün x üçün bərabərlik qorunur.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Misal 3. F(x)=tg3x funksiyası (-n/) intervalında f(x)=3/cos3x üçün əks törəmədir. 2; P/ 2),
çünki F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Misal 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 funksiyası (0;∞) intervalında f(x)=12cos4x-1/x 2 üçün əks törəmədir.
çünki F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. Funksiyalar üçün antiderivativlər olsun və müvafiq olaraq, a, b,k- daimi, . Sonra: - funksiya üçün antitörəmə; - funksiyanın əks törəməsi; -funksiya üçün antitörəmə.

2. Sabit əmsalı inteqrasiya işarəsindən çıxarmaq olar:

funksiya antiderivativə uyğundur.

3. Funksiyaların cəminin əks törəməsi bu funksiyaların əks törəmələrinin cəminə bərabərdir:

Funksiyaların cəmi antiderivativlərin cəminə uyğundur.

Teorem: (Əks törəmə funksiyasının əsas xassəsi)

Əgər F(x) f(x) funksiyasının J intervalında əks törəmələrindən biridirsə, bu funksiyanın bütün əks törəmələri çoxluğu aşağıdakı formaya malikdir: F(x)+C, burada C istənilən həqiqi ədəddir.

Sübut:

F`(x) = f (x), sonra (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J üçün olsun.
Fərz edək ki, J intervalında Φ(x) - f (x) üçün başqa antitörəmə mövcuddur, yəni. Φ`(x) = f (x),
onda (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J üçün.
Bu o deməkdir ki, Φ(x) - F(x) J intervalında sabitdir.
Buna görə də Φ(x) - F(x) = C.
Φ(x)= F(x)+C olduğu yerdən.
Bu o deməkdir ki, əgər F(x) J intervalında f (x) funksiyası üçün antitörəmədirsə, bu funksiyanın bütün əks törəmələri çoxluğu aşağıdakı formaya malikdir: F(x)+C, burada C istənilən həqiqi ədəddir.
Nəticə etibarı ilə, verilmiş funksiyanın hər hansı iki əks törəməsi bir-birindən sabit bir həddi ilə fərqlənir.

Misal 6: f (x) = cos x funksiyasının əks törəmələri çoxluğunu tapın. İlk üçünün qrafiklərini çəkin.

Həll: Sin x f (x) = cos x funksiyasının əks törəmələrindən biridir
F(х) = Sinх+С – bütün əks törəmələrin çoxluğu.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Həndəsi illüstrasiya:İstənilən antitörəmə F(x)+C-nin qrafiki r (0;c)-nin paralel ötürülməsindən istifadə etməklə antitörəmə F(x) qrafikindən əldə edilə bilər.

Misal 7: f (x) = 2x funksiyası üçün qrafiki t.M (1;4)-dən keçən əks törəməni tapın.

Həll: F(x)=x 2 +C – bütün əks törəmələrin çoxluğu, F(1)=4 - məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq.
Buna görə də 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Teorem 1. İnterval üzrə bəzi antitörəmə olsun və ixtiyari sabit olsun. Onda funksiya on üçün də antitörəmədir.

Sübut. Göstərək ki, törəmə verir:

hamının qarşısında. Beləliklə, üçün antitörəmədir.

Beləliklə, əgər on üçün antitörəmədirsə, onda bütün antitörəmələr çoxluğu istənilən halda formanın bütün funksiyalarını ehtiva edir. Göstərək ki, bütün antitörəmələrin çoxluğunda başqa funksiyalar yoxdur, yəni sabit funksiya üçün bütün antitörəmələrdən yalnız sabit hədlə fərqlənir.

Teorem 2 On üçün antiderivativ olsun və başqa bir antiderivativ olsun. Sonra

müəyyən bir sabitdə.

Sübut. Fərqi nəzərdən keçirək. O vaxtdan və sonra. Göstərək ki, elə bir funksiya hamı üçün sabitdir. Bunu etmək üçün, iki ixtiyari nöqtəni nəzərdən keçirin və arasında və (buna icazə verin) tətbiq olunan seqmentə aid olan və sonlu artım düsturu

Harada. (Xatırladaq ki, bu düsturun nəticəsidir Laqranj teoremləri, birinci semestrdə baxdığımız). Bütün nöqtələrdə, o cümlədən və, sonra. Nəticə etibarilə, ixtiyari bir nöqtədə funksiya nöqtədəki kimi eyni dəyəri alır, yəni.

Antiderivativ üçün bu o deməkdir ki, hər hansı bir üçün, yəni

Əvvəllər, müxtəlif düsturlar və qaydaları rəhbər tutaraq, verilmiş bir funksiyanı nəzərə alaraq, onun törəməsini tapdıq. Törəmənin çoxsaylı istifadəsi var: bu, hərəkət sürətidir (və ya daha çox, hər hansı bir prosesin sürətidir); funksiyanın qrafikinə toxunanın bucaq əmsalı; törəmədən istifadə edərək, bir funksiyanı monotonluq və ekstremallıq üçün yoxlaya bilərsiniz; optimallaşdırma problemlərini həll etməyə kömək edir.

Amma məlum hərəkət qanununa görə sürətin tapılması problemi ilə yanaşı, tərs məsələ də var - məlum sürətə görə hərəkət qanununun bərpası məsələsi. Bu problemlərdən birini nəzərdən keçirək.

Misal 1. Maddi nöqtə düz xətt üzrə hərəkət edir, onun t zamanındakı hərəkət sürəti v=gt düsturu ilə verilir. Hərəkət qanununu tapın.
Həll. İstənilən hərəkət qanunu s = s(t) olsun. Məlumdur ki, s"(t) = v(t). Bu o deməkdir ki, məsələni həll etmək üçün törəməsi gt-ə bərabər olan s = s(t) funksiyasını seçmək lazımdır. Bunu təxmin etmək çətin deyil. ki \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \sol(\frac(gt^2)(2) \sağ)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Cavab: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Dərhal qeyd edək ki, misal düzgün, lakin natamam həll olunub. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) aldıq. Əslində, problemin sonsuz sayda həlli var: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) formasının istənilən funksiyası, burada C ixtiyari sabitdir, qanun kimi çıxış edə bilər. hərəkət, çünki \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Problemi daha konkretləşdirmək üçün biz ilkin vəziyyəti düzəltməli olduq: hansısa zaman nöqtəsində, məsələn, t = 0-da hərəkət edən nöqtənin koordinatını göstərin. Əgər, deyək ki, s(0) = s 0, onda bərabərliyi s(t) = (gt 2)/2 + C alırıq: s(0) = 0 + C, yəni C = s 0. İndi hərəkət qanunu unikal şəkildə müəyyən edilmişdir: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Riyaziyyatda qarşılıqlı tərs əməllərə müxtəlif adlar verilir, xüsusi qeydlər icad edilir, məsələn: kvadratlaşdırma (x 2) və kvadrat kök (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) və arcsin (arcsin x) və s.Verilmiş funksiyanın törəməsinin tapılması prosesi adlanır fərqləndirmə, və tərs əməliyyat, yəni verilmiş törəmədən funksiyanın tapılması prosesidir. inteqrasiya.

"Törəmə" termininin özünü "gündəlik şərtlərlə" əsaslandırmaq olar: y = f(x) funksiyası yeni y" = f"(x) funksiyasını "doğur". y = f(x) funksiyası “ana” funksiyasını yerinə yetirir, lakin riyaziyyatçılar, təbii olaraq, onu “ana” və ya “istehsalçı” adlandırmırlar, y" = f"() funksiyasına münasibətdə bunun olduğunu deyirlər; x) , əsas şəkil və ya primitiv.

Tərif. F"(x) = f(x) bərabərliyi \(x \in X\) üçün yerinə yetirilirsə, y = F(x) funksiyası X intervalında y = f(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır.

Təcrübədə X intervalı adətən göstərilmir, lakin nəzərdə tutulur (funksiyanın tərifinin təbii sahəsi kimi).

Nümunələr verək.
1) y = x 2 funksiyası y = 2x funksiyası üçün əks törəmədir, çünki istənilən x üçün (x 2)" = 2x bərabərliyi doğrudur.
2) y = x 3 funksiyası y = 3x 2 funksiyası üçün əks törəmədir, çünki istənilən x üçün (x 3)" = 3x 2 bərabərliyi doğrudur.
3) y = sin(x) funksiyası y = cos(x) funksiyası üçün əks törəmədir, çünki istənilən x üçün (sin(x))" = cos(x) bərabərliyi doğrudur.

Antiderivativləri, eləcə də törəmələri taparkən təkcə düsturlardan deyil, bəzi qaydalardan da istifadə olunur. Onlar birbaşa törəmələrin hesablanması üçün müvafiq qaydalarla bağlıdır.

Biz bilirik ki, cəminin törəməsi onun törəmələrinin cəminə bərabərdir. Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.

Qayda 1. Cəmin əks törəməsi antitörəmələrin cəminə bərabərdir.

Bilirik ki, daimi amil törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər. Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.

Qayda 2.Əgər F(x) f(x) üçün antitörəmədirsə, kF(x) kf(x) üçün antitörəmədir.

Teorem 1.Əgər y = F(x) y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədirsə, y = f(kx + m) funksiyasının əks törəməsi \(y=\frac(1)(k)F funksiyasıdır. (kx+m) \)

Teorem 2.Əgər y = F(x) X intervalında y = f(x) funksiyası üçün antitörəmədirsə, y = f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var və onların hamısı y = F(x) formasına malikdir. + C.

İnteqrasiya üsulları

Dəyişən əvəzetmə üsulu (əvəzetmə üsulu)

Əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya üsulu yeni inteqrasiya dəyişəninin (yəni əvəzetmə) tətbiqini nəzərdə tutur. Bu halda, verilmiş inteqral cədvəl şəklində olan və ya ona reduksiya olunan yeni inteqrala endirilir. Əvəzedicilərin seçilməsi üçün ümumi üsullar yoxdur. Əvəzetməni düzgün müəyyən etmək bacarığı təcrübə vasitəsilə əldə edilir.
\(\textstyle \int F(x)dx \) inteqralını hesablamaq lazım olsun. Əvəz etməni edək \(x= \varphi(t) \) burada \(\varphi(t) \) fasiləsiz törəmə olan funksiyadır.
Sonra \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) və qeyri-müəyyən inteqral üçün inteqrasiya düsturunun dəyişməzlik xassəsinə əsaslanaraq, əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya düsturunu alırıq:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) formasının ifadələrinin inteqrasiyası

Əgər m təkdirsə, m > 0, onda əvəzetməni sin x = t etmək daha əlverişlidir.
Əgər n təkdirsə, n > 0 olarsa, o zaman əvəzetməni cos x = t etmək daha əlverişlidir.
Əgər n və m cütdürsə, onda tg x = t əvəzlənməsini etmək daha əlverişlidir.

Parçalar üzrə inteqrasiya

Parçalar üzrə inteqrasiya - inteqrasiya üçün aşağıdakı düsturun tətbiqi:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
və ya:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Bəzi funksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının (antiderivativlərinin) cədvəli

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$