Target:

1. Alamin ang kahulugan ng isang antiderivative, ang pangunahing katangian ng isang antiderivative, ang mga patakaran para sa paghahanap ng isang antiderivative;
2. Magagawang mahanap ang pangkalahatang anyo ng antiderivative;
3. Bumuo ng mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili at interes sa paksa;
4. Linangin ang kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta kapag tinatapos ang mga gawain.

Pag-unlad ng aralin

I. Pansamahang sandali.

II. Sinusuri ang asimilasyon ng pinag-aralan na materyal.

1. Survey gamit ang mga card:

A) Bumuo ng kahulugan ng isang antiderivative?
B) Bumuo ng isang tanda ng pagiging matatag ng function?
Q) Bumuo ng pangunahing katangian ng mga antiderivatives?
D) Ipagpatuloy ang pariralang "Ang pagkakaiba ay ...."
D) Ang pagsasama ay....
E) Ang mga graph ng alinmang dalawang antiderivatives para sa function na f ay nakuha mula sa isa't isa…….
G) Ano ito?...

2. Hanapin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Sa mga ibinigay na function, piliin ang antiderivative para sa mga function na y = - 7x ³

III. Pangkatang gawain

1st group - naglalaro ng solitaryo. May mga cut card sa mga mesa. Gawin ang lahat ng mga formula na alam mo. Ilang beses ka na bang sinuwerte?

2nd at 3rd group - magtrabaho sa lotto. Isulat ang resultang keyword.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(pangunahing salita – antiderivative)

Ika-4 na pangkat - gumagana sa isang crossword puzzle.

Crossword.

Mga Tanong:

2. Ano ang graph ng function na y = ax + b.

4. Anong aralin ang karaniwang nagaganap bago ang pagsusulit.

5. Kasingkahulugan para sa salitang dosena.

6. Ito ay nasa bawat salita, sa mga equation at maaaring nasa mga equation.

7. Ano ang maaaring kalkulahin gamit ang formula a b.

8. Isa sa pinakamahalagang konsepto sa matematika.

9. Anyo ng aralin kung saan isinasagawa ang pagsusulit sa kaalaman.

10. German scientist na nagpakilala ng integral calculus.

11. Ang hanay ng mga punto ng eroplano na may mga coordinate (x; y), kung saan ang x ay tumatakbo sa domain ng kahulugan ng function na f.

12. Ang mga korespondensiya sa pagitan ng mga set X at Y, kung saan ang bawat halaga ng set X ay nauugnay sa isang solong halaga mula sa set Y, ay tinatawag na...

Kapag wastong nilutas ang crossword puzzle sa ilalim ng numero 1 patayo, basahin ang keyword.

IV. Pagsusuri ng mga gawain mula sa Unified State Exam sa paksang ito mula sa mga nakaraang taon.

Ipahiwatig ang antiderivative F ng function na f(x) = 3sin x kung alam na F(П) = 1.

V. Malayang gawain.

Pangkat 1 at 2 – isagawa ang pagsusulit.

Bahagi A

A1. Sa mga function na ito, piliin ang isa na ang derivative ay katumbas ng f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. Hanapin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function na f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3. Para sa function na f(x) =8x – 3, hanapin ang antiderivative na ang graph ay dumadaan sa point M (1; 4).

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. Hanapin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function na f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. Ang antiderivative para sa function na f(x) = sin x + 3x2 ay ang function

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. Ang antiderivative para sa function na f(x) = 3sin x ay ang function

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. Ang antiderivative para sa function na f(x) = cos 2x ay ang function

1) F(x) = 0.5sin 2x
2) F(x) = 0.5sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Antiderivative para sa function na f(x) = 2 sinx cosx para sa function

1) F(x) = 0.5 sin2x
2) F(x) = 0.5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. Para sa function na f(x) = 6/cos23x + 1, maghanap ng antiderivative na ang graph ay dumadaan sa puntong M (P/3; P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

Bahagi B

B1. Ang function na F(x) ay isang antiderivative ng function na f(x) = x5 – 3x2 – 2. Hanapin ang F(1) kung F(- 1) = 0.

3rd at 4th group - itama ang pagkakamali.

a) F(x) = x5, isang f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, isang f(x) = 1/6x6
c) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
d) F(x) = 15 cos x, isang f(x) = - 15 cos x
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, isang f(x) = 1/3 – 6/x2 sa (0 ; +)
g) Para sa function na f(x) = 10 sin 2x, hanapin ang antiderivative na ang graph ay dumadaan sa puntong M (-3/2P; 0)

VI. Buod ng aralin.

D/Z No. 348, indibidwal na takdang-aralin: Gumawa ng isang presentasyon sa paksa.

Antiderivative function f(x) sa pagitan (a; b) ang function na ito ay tinatawag F(x), na ang pagkakapantay-pantay ay taglay para sa alinman X mula sa isang ibinigay na pagitan.

Kung isasaalang-alang natin ang katotohanan na ang derivative ng isang pare-pareho SA ay katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Kaya ang function f(x) ay maraming primitives F(x)+C, para sa isang arbitrary na pare-pareho SA, at ang mga antiderivative na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang arbitrary na pare-parehong halaga.

Kahulugan ng isang hindi tiyak na integral.

Ang buong hanay ng mga antiderivative function f(x) ay tinatawag na indefinite integral ng function na ito at denoted .

Ang ekspresyon ay tinatawag integrand, A f(x) – pagsasama at pag-andar. Ang integrand ay kumakatawan sa pagkakaiba ng function f(x).

Ang aksyon ng paghahanap ng isang hindi kilalang function na ibinigay sa pagkakaiba nito ay tinatawag hindi sigurado integration, dahil ang resulta ng integration ay higit sa isang function F(x), at ang hanay ng mga primitive nito F(x)+C.

Geometric na kahulugan ng hindi tiyak na integral. Ang graph ng antiderivative D(x) ay tinatawag na integral curve. Sa x0y coordinate system, ang mga graph ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function ay kumakatawan sa isang pamilya ng mga curve na nakadepende sa halaga ng constant C at nakukuha mula sa isa't isa sa pamamagitan ng parallel shift kasama ang 0y axis. Para sa halimbawang tinalakay sa itaas, mayroon kaming:

J 2 x^x = x2 + C.

Ang pamilya ng mga antiderivatives (x + C) ay geometriko na binibigyang kahulugan ng isang hanay ng mga parabola.

Kung kailangan mong maghanap ng isa mula sa isang pamilya ng mga antiderivative, pagkatapos ay itinakda ang mga karagdagang kundisyon na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang pare-parehong C. Karaniwan, para sa layuning ito, ang mga paunang kundisyon ay itinakda: kapag ang argumento x = x0, ang function ay may halaga D (x0) = y0.

Halimbawa. Kinakailangang hanapin na ang isa sa mga antiderivatives ng function na y = 2 x na kumukuha ng value na 3 sa x0 = 1.

Ang kinakailangang antiderivative: D(x) = x2 + 2.

Solusyon. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Mga pangunahing katangian ng di-tiyak na integral

1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand function:

2. Ang differential ng hindi tiyak na integral ay katumbas ng integrand expression:

3. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng isang tiyak na function ay katumbas ng kabuuan ng mismong function na ito at isang arbitrary na pare-pareho:

4. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa integral sign:

5. Ang integral ng kabuuan (difference) ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga integral:

6. Ang ari-arian ay isang kumbinasyon ng mga katangian 4 at 5:

7. Invariance na pag-aari ng hindi tiyak na integral:

Kung , Iyon

8. Ari-arian:

Kung , Iyon

Sa katunayan, ang property na ito ay isang espesyal na kaso ng integration gamit ang variable change method, na tinatalakay nang mas detalyado sa susunod na seksyon.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

3. Paraan ng pagsasama kung saan ang isang ibinigay na integral ay nabawasan sa isa o higit pang mga integral ng talahanayan sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago ng integrand (o expression) at ang paggamit ng mga katangian ng hindi tiyak na integral, ay tinatawag direktang pagsasama. Kapag binabawasan ang integral na ito sa isang tabular, ang mga sumusunod na pagbabagong pagkakaiba ay kadalasang ginagamit (operasyon " pag-subscribe sa differential sign»):

sa lahat, f’(u)du = d(f(u)). Ito (madalas na ginagamit ang formula kapag kinakalkula ang mga integral.

Hanapin ang integral

Solusyon. Gamitin natin ang mga katangian ng integral at bawasan ang integral na ito sa ilang mga tabular.

4. Pagsasama sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagpapakilala natin ng bagong variable, pagpapahayag ng integrand sa pamamagitan ng variable na ito, at bilang resulta ay nakarating tayo sa isang tabular (o mas simple) na anyo ng integral.

Kadalasan, ang paraan ng pagpapalit ay dumating sa pagsagip kapag isinasama ang mga function at function ng trigonometriko sa mga radical.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral .

Solusyon.

Magpakilala tayo ng bagong variable. Ipahayag natin X sa pamamagitan ng z:

Pinapalitan namin ang mga resultang expression sa orihinal na integral:

Mula sa talahanayan ng mga antiderivatives na mayroon kami .

Ito ay nananatiling bumalik sa orihinal na variable X:

Sagot:

Ang paglutas ng mga integral ay isang madaling gawain, ngunit para lamang sa ilang piling. Ang artikulong ito ay para sa mga gustong matutong maunawaan ang mga integral, ngunit wala o halos walang alam tungkol sa mga ito. Integral... Bakit kailangan? Paano ito kalkulahin? Ano ang tiyak at di-tiyak na integral? Kung ang tanging alam mong gamit para sa isang integral ay ang paggamit ng isang gantsilyo na hugis tulad ng isang integral na icon upang makakuha ng isang bagay na kapaki-pakinabang mula sa mga lugar na mahirap maabot, pagkatapos ay maligayang pagdating! Alamin kung paano lutasin ang mga integral at kung bakit hindi mo magagawa nang wala ito.

Pinag-aaralan namin ang konsepto ng "integral"

Ang pagsasama ay kilala noong sinaunang Ehipto. Siyempre, hindi sa modernong anyo nito, ngunit pa rin. Simula noon, ang mga mathematician ay nagsulat ng maraming mga libro sa paksang ito. Lalo na nakilala ang kanilang sarili Newton At Leibniz , ngunit ang kakanyahan ng mga bagay ay hindi nagbago. Paano maunawaan ang mga integral mula sa simula? Hindi pwede! Upang maunawaan ang paksang ito, kakailanganin mo pa rin ng pangunahing kaalaman sa mga pangunahing kaalaman sa pagsusuri sa matematika. Mayroon na kaming impormasyon tungkol sa , kinakailangan para sa pag-unawa sa mga integral, sa aming blog.

Indefinite integral

Magkaroon tayo ng ilang function f(x) .

Indefinite integral function f(x) ang function na ito ay tinatawag F(x) , na ang derivative ay katumbas ng function f(x) .

Sa madaling salita, ang integral ay isang derivative sa kabaligtaran o isang antiderivative. Sa pamamagitan ng paraan, basahin ang tungkol sa kung paano sa aming artikulo.

Ang isang antiderivative ay umiiral para sa lahat ng tuluy-tuloy na pag-andar. Gayundin, ang isang palaging tanda ay madalas na idinagdag sa antiderivative, dahil ang mga derivatives ng mga pag-andar na naiiba sa pamamagitan ng isang pare-parehong nag-tutugma. Ang proseso ng paghahanap ng integral ay tinatawag na integration.

Simpleng halimbawa:

Upang hindi patuloy na kalkulahin ang mga antiderivatives ng elementarya na mga pag-andar, ito ay maginhawa upang ilagay ang mga ito sa isang talahanayan at gumamit ng mga yari na halaga.

Kumpletong talahanayan ng mga integral para sa mga mag-aaral

Tiyak na integral

Kapag nakikitungo sa konsepto ng isang integral, tayo ay nakikitungo sa mga infinitesimal na dami. Ang integral ay makakatulong upang makalkula ang lugar ng isang figure, ang masa ng isang hindi pare-parehong katawan, ang distansya na nilakbay sa panahon ng hindi pantay na paggalaw, at marami pa. Dapat alalahanin na ang isang integral ay ang kabuuan ng isang walang katapusang malaking bilang ng mga infinitesimal na termino.

Bilang halimbawa, isipin ang isang graph ng ilang function. Paano mahahanap ang lugar ng isang figure na nakatali ng graph ng isang function?

Paggamit ng integral! Hatiin natin ang curvilinear trapezoid, na nililimitahan ng mga coordinate axes at ang graph ng function, sa infinitesimal na mga segment. Sa ganitong paraan ang figure ay mahahati sa manipis na mga haligi. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga haligi ay ang lugar ng trapezoid. Ngunit tandaan na ang gayong pagkalkula ay magbibigay ng tinatayang resulta. Gayunpaman, mas maliit at mas makitid ang mga segment, magiging mas tumpak ang pagkalkula. Kung bawasan natin ang mga ito sa isang lawak na ang haba ay may posibilidad na zero, kung gayon ang kabuuan ng mga lugar ng mga segment ay may posibilidad sa lugar ng figure. Ito ay isang tiyak na integral, na nakasulat tulad nito:

Ang mga puntos a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama.

Bari Alibasov at ang pangkat na "Integral"

Oo nga pala! Para sa aming mga mambabasa mayroon na ngayong 10% na diskwento sa

Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga integral para sa mga dummies

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Paano malutas ang isang hindi tiyak na integral? Dito ay titingnan natin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral, na magiging kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga halimbawa.

• Ang derivative ng integral ay katumbas ng integrand:

• Ang pare-pareho ay maaaring alisin mula sa ilalim ng integral sign:

• Ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral. Totoo rin ito para sa pagkakaiba:

Mga katangian ng isang tiyak na integral

• Linearity:

• Ang tanda ng integral ay nagbabago kung ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinalitan:

• Sa anuman puntos a, b At Sa:

Nalaman na natin na ang isang tiyak na integral ay ang limitasyon ng isang kabuuan. Ngunit paano makakuha ng isang tiyak na halaga kapag nilulutas ang isang halimbawa? Para dito mayroong formula ng Newton-Leibniz:

Mga halimbawa ng paglutas ng mga integral

Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng paghahanap ng mga hindi tiyak na integral. Iminumungkahi namin na alamin mo ang mga intricacies ng solusyon sa iyong sarili, at kung may hindi malinaw, magtanong sa mga komento.

Upang palakasin ang materyal, manood ng video tungkol sa kung paano niresolba ang mga integral sa pagsasanay. Huwag mawalan ng pag-asa kung ang integral ay hindi naibigay kaagad. Makipag-ugnayan sa isang propesyonal na serbisyo para sa mga mag-aaral, at anumang triple o curved integral sa ibabaw ng isang saradong ibabaw ay nasa iyong kapangyarihan.

Paksa: Pagsasama-sama ng mga function ng isang variable

LECTURE Blg. 1

Plano:

1. Antiderivative function.

2. Mga kahulugan at pinakasimpleng katangian.

Kahulugan. Ang isang function na F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa isang function na f(x) sa isang ibinigay na interval J kung para sa lahat ng x mula sa interval na ito F`(x)= f(x). Kaya ang function na F(x)=x 3 ay antiderivative para sa f(x)=3x 2 sa (- ∞ ; ∞).
Dahil para sa lahat ng x ~R ang pagkakapantay-pantay ay totoo: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Halimbawa 1. Isaalang-alang natin ang function sa buong linya ng numero - sa pagitan. Pagkatapos ang function ay isang antiderivative para sa on.

Para patunayan ito, hanapin natin ang derivative ng:

Dahil ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat, kung gayon ito ay isang antiderivative para sa on.

Halimbawa 2. Ang function na F(x)=x ay antiderivative para sa lahat ng f(x)= 1/x sa pagitan (0; +), dahil para sa lahat ng x mula sa pagitan na ito, nananatili ang pagkakapantay-pantay.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Halimbawa 3. Ang function na F(x)=tg3x ay isang antiderivative para sa f(x)=3/cos3x sa pagitan (-n/ 2; p/ 2),
kasi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Halimbawa 4. Ang function na F(x)=3sin4x+1/x-2 ay antiderivative para sa f(x)=12cos4x-1/x 2 sa pagitan (0;∞)
kasi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. Hayaang maging antiderivatives para sa mga function at, nang naaayon, a, b,k– permanente, . Pagkatapos: - antiderivative para sa function; - antiderivative ng isang function; -isang antiderivative para sa isang function.

2. Ang pare-parehong koepisyent ay maaaring alisin sa integration sign:

ang function ay tumutugma sa isang antiderivative.

3. Ang antiderivative ng kabuuan ng mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives ng mga function na ito:

Ang kabuuan ng mga function ay tumutugma sa kabuuan ng mga antiderivatives.

Theorem: (Ang pangunahing katangian ng antiderivative function)

Kung ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives para sa function na f(x) sa interval J, kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives ng function na ito ay may anyo: F(x) + C, kung saan ang C ay anumang tunay na numero.

Patunay:

Hayaang F`(x) = f (x), pagkatapos (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), para sa x Є J.
Ipagpalagay na mayroong Φ(x) - isa pang antiderivative para sa f (x) sa pagitan ng J, i.e. Φ`(x) = f (x),
pagkatapos (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, para sa x Є J.
Nangangahulugan ito na ang Φ(x) - F(x) ay pare-pareho sa pagitan ng J.
Samakatuwid, Φ(x) - F(x) = C.
Mula sa kung saan Φ(x)= F(x)+C.
Nangangahulugan ito na kung ang F(x) ay isang antiderivative para sa isang function na f (x) sa interval J, ang set ng lahat ng antiderivatives ng function na ito ay may anyo: F(x)+C, kung saan ang C ay anumang tunay na numero.
Dahil dito, ang anumang dalawang antiderivative ng isang ibinigay na function ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Halimbawa 6: Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na f (x) = cos x. Gumuhit ng mga graph ng unang tatlo.

Solusyon: Ang Sin x ay isa sa mga antiderivatives para sa function na f (x) = cos x
F(х) = Sinх+С – ang hanay ng lahat ng antiderivatives.

F 1 (x) = Kasalanan x-1
F 2 (x) = Kasalanan x
F 3 (x) = Kasalanan x+1

Geometric na paglalarawan: Ang graph ng anumang antiderivative F(x)+C ay maaaring makuha mula sa graph ng antiderivative F(x) gamit ang parallel transfer ng r (0;c).

Halimbawa 7: Para sa function na f (x) = 2x, maghanap ng antiderivative na ang graph ay dumadaan sa t.M (1;4)

Solusyon: F(x)=x 2 +C – ang set ng lahat ng antiderivatives, F(1)=4 - ayon sa mga kondisyon ng problema.
Samakatuwid, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Teorama 1. Hayaan ang ilang antiderivative para sa pagitan at maging isang arbitrary na pare-pareho. Pagkatapos ang function ay antiderivative din para sa on.

Patunay. Ipakita natin na ang derivative ng ay nagbibigay ng:

sa harap ng lahat. Kaya, ay isang antiderivative para sa.

Kaya, kung isang antiderivative para sa on, kung gayon ang hanay ng lahat ng antiderivatives para sa, sa anumang kaso, ay naglalaman ng lahat ng mga function ng form. Ipakita natin na ang hanay ng lahat ng mga antiderivative ay hindi naglalaman ng anumang iba pang mga function, iyon ay, na ang lahat ng mga antiderivatives para sa isang nakapirming function ay naiiba lamang sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Teorama 2 Hayaan ay isang antiderivative para sa at maging ilang iba pang antiderivative. Pagkatapos

sa ilang pare-pareho.

Patunay. Isaalang-alang natin ang pagkakaiba. Simula at, noon. Ipakita natin na ang isang function na para sa lahat ay pare-pareho. Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang punto at, kabilang sa at sa segment sa pagitan ng at (hayaan itong) ilapat may hangganang pormula ng pagtaas

saan. (Tandaan na ang formula na ito ay bunga ng Mga teorema ni Lagrange, na aming tiningnan noong unang semestre). Dahil sa lahat ng mga punto, kabilang ang at, pagkatapos. Dahil dito, sa isang di-makatwirang punto ang function ay tumatagal ng parehong halaga tulad ng sa punto, iyon ay.

Para sa isang antiderivative, nangangahulugan ito na para sa alinman, iyon ay,

Noong nakaraan, binigyan ng isang ibinigay na function, na ginagabayan ng iba't ibang mga formula at panuntunan, nakita namin ang derivative nito. Ang derivative ay maraming gamit: ito ay ang bilis ng paggalaw (o, sa pangkalahatan, ang bilis ng anumang proseso); ang angular coefficient ng tangent sa graph ng function; gamit ang derivative, maaari mong suriin ang function para sa monotonicity at extrema; nakakatulong ito sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize.

Ngunit kasama ang problema sa paghahanap ng bilis ayon sa isang kilalang batas ng paggalaw, mayroon ding isang baligtad na problema - ang problema ng pagpapanumbalik ng batas ng paggalaw ayon sa isang kilalang bilis. Isaalang-alang natin ang isa sa mga problemang ito.

Halimbawa 1. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya, ang bilis nito sa oras t ay ibinibigay ng formula v=gt. Hanapin ang batas ng paggalaw.
Solusyon. Hayaan ang s = s(t) ang nais na batas ng paggalaw. Ito ay kilala na s"(t) = v(t). Nangangahulugan ito na upang malutas ang problema kailangan mong pumili ng isang function na s = s(t), ang derivative nito ay katumbas ng gt. Hindi mahirap hulaan na \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Sagot: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Tandaan natin kaagad na ang halimbawa ay nalutas nang tama, ngunit hindi kumpleto. Nakuha namin ang \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Sa katunayan, ang problema ay may walang katapusang maraming solusyon: anumang function ng form na \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kung saan ang C ay isang arbitrary constant, ay maaaring magsilbing batas ng paggalaw, dahil \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Upang gawing mas tiyak ang problema, kailangan naming ayusin ang unang sitwasyon: ipahiwatig ang coordinate ng isang gumagalaw na punto sa ilang mga punto sa oras, halimbawa sa t = 0. Kung, sabihin nating, s(0) = s 0, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay s(t) = (gt 2)/2 + C nakukuha natin: s(0) = 0 + C, ibig sabihin, C = s 0. Ngayon ang batas ng paggalaw ay natatanging tinukoy: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Sa matematika, binibigyan ng iba't ibang pangalan ang mga operasyong magkabaligtaran sa isa't isa, naimbento ang mga espesyal na notasyon, halimbawa: squaring (x 2) at square root (\(\sqrt(x)\)), sine (sin x) at arcsine (arcsin x) at iba pa. Ang proseso ng paghahanap ng derivative ng isang ibinigay na function ay tinatawag pagkakaiba-iba, at ang inverse operation, i.e. ang proseso ng paghahanap ng function mula sa isang binigay na derivative, ay pagsasama.

Ang terminong "derivative" mismo ay maaaring bigyang-katwiran "sa pang-araw-araw na termino": ang function na y = f(x) "nagsilang" sa isang bagong function na y" = f"(x). Ang function na y = f(x) ay kumikilos na parang ito ay isang "magulang", ngunit ang mga mathematician, natural, ay hindi ito tinatawag na isang "magulang" o "producer" na sinasabi nila na ito ay, na may kaugnayan sa function na y" = f"(x) , pangunahing larawan, o primitive.

Kahulugan. Ang function na y = F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na y = f(x) sa pagitan ng X kung ang pagkakapantay-pantay ng F"(x) = f(x) ay humahawak para sa \(x \in X\)

Sa pagsasagawa, ang interval X ay karaniwang hindi tinukoy, ngunit ipinahiwatig (bilang natural na domain ng kahulugan ng function).

Magbigay tayo ng mga halimbawa.
1) Ang function na y = x 2 ay antiderivative para sa function na y = 2x, dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (x 2)" = 2x ay totoo
2) Ang function na y = x 3 ay antiderivative para sa function na y = 3x 2, dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (x 3)" = 3x 2 ay totoo
3) Ang function na y = sin(x) ay antiderivative para sa function na y = cos(x), dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (sin(x))" = cos(x) ay totoo

Kapag naghahanap ng mga antiderivatives, pati na rin ang mga derivatives, hindi lamang mga formula ang ginagamit, kundi pati na rin ang ilang mga patakaran. Direktang nauugnay ang mga ito sa kaukulang mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga derivatives.

Alam natin na ang derivative ng isang sum ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives nito. Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 1. Ang antiderivative ng isang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives.

Alam natin na ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 2. Kung ang F(x) ay isang antiderivative para sa f(x), kung gayon ang kF(x) ay isang antiderivative para sa kf(x).

Teorama 1. Kung ang y = F(x) ay isang antiderivative para sa function na y = f(x), kung gayon ang antiderivative para sa function na y = f(kx + m) ay ang function na \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorama 2. Kung ang y = F(x) ay isang antiderivative para sa function na y = f(x) sa interval X, kung gayon ang function na y = f(x) ay may walang katapusang maraming antiderivative, at lahat sila ay may anyo na y = F(x) + C.

Mga pamamaraan ng pagsasama

Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang paraan ng integration sa pamamagitan ng substitution ay nagsasangkot ng pagpapakilala ng bagong integration variable (iyon ay, substitution). Sa kasong ito, ang ibinigay na integral ay binabawasan sa isang bagong integral, na kung saan ay tabular o mababawasan dito. Walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa pagpili ng mga pamalit. Ang kakayahang matukoy nang tama ang pagpapalit ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasanay.
Hayaang kailangang kalkulahin ang integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Gawin natin ang pagpapalit na \(x= \varphi(t) \) kung saan ang \(\varphi(t) \) ay isang function na may tuluy-tuloy na derivative.
Pagkatapos ay \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) at batay sa invariance property ng integration formula para sa indefinite integral, nakuha namin ang integration formula sa pamamagitan ng substitution:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Pagsasama-sama ng mga expression ng anyong \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Kung ang m ay kakaiba, m > 0, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit na sin x = t.
Kung ang n ay kakaiba, n > 0, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit ng cos x = t.
Kung ang n at m ay pantay, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit ng tg x = t.

Pagsasama ayon sa mga bahagi

Pagsasama ayon sa mga bahagi - paglalapat ng sumusunod na formula para sa pagsasama:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
o:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Talaan ng mga hindi tiyak na integral (antiderivatives) ng ilang function

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$