Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 города Кузнецка

Научно-практическая конференция, посвященная жизни и деятельности Л. Ф. Магницкого

Педагогическое наследие Леонтия Филипповича Магницкого

Морозова Оксана Владимировна

2014 Содержание

Введение

1. Биография Л.Ф.Магницкого

2. Арифметика Магницкого

3. Задачи из Арифметики Магницкого

3.2 Задачи из Арифметики на «Фальшивое правило»

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Первый отечественный учебник по математике является связующим звеном между традициями московской рукописной литературы и влияниями новой, западноевропейской. «Арифметика» Магницкого стала первой русской энциклопедией по разным отраслям математики, по астрономии, геодезии, навигации, кораблевождению, несмотря на то, что в названии упоминалась лишь исходная математическая область. Удовлетворяя тем требованиям, которые могли быть предъявлены к учебнику математики в России в первую половину XVIII столетия, «Арифметика» Магницкого долгое время пользовалась широким распространением и вышла из употребления около середины 50-х годов XVIII столетия. На ней воспитывались целые поколения деятелей физико-математических наук в России. По ее содержанию можно составить понятие о направлении и характере преподавания арифметики в России в первой половине XVIII столетия и о качестве знаний, доставляемых этим преподаванием.

О значимой роли Магницкого в развитии науки говорит надгробная надпись: «“первому в России математики учителю”, личности “без всякого пороку”, “любови к ближнему нелицемерной, благодарения ревностного, жития чистого, смирения глубочайшего, разума зрелого, правдодушия”, “в слугах отечества усерднейшему попечителю, подчиненным отцу любезному, обид от неприятелей терпеливейшему».

1. Биография Л.Ф.Магницкого

19 июня 1669 года, с тех пор уже минуло 3 века, в городе Осташкове, на земле, где берёт начало великая русская река Волга, родился мальчик. Родился он в небольшом деревянном доме, расположенном у стен Знаменского монастыря, на берегу озера Селигер. Родился он в большой крестьянской семье Теляшиных, славившейся своей религиозностью. Родился он в то время, когда на Селигерской земле расцветал монастырь Нилова пустынь. При крещении ребёнку дали имя Леонтий, что в переводе с греческого означает «львиный».

Время шло. Мальчик рос и креп духом. Он помогал отцу, «работою своих рук кормившего себя» и свою семью, а в свободное время «был страстный охотник читать в церкви мудрёное и трудное». Обычные крестьянские детишки не имели возможности иметь книги, обучаться грамоте. А отрок Леонтий имел такую возможность. Его двоюродный дед, святитель Нектарий, был вторым настоятелем и строителем Нило-Столобенской пустыни, которая возникла на месте подвигов великого русского святого преподобного Нила. За два года до рождения Леонтия были обретены мощи этого святого, и на остров Столбный, где находится пустынь, много людей стало устремляться на богомолье. Семья Теляшиных тоже ходила в это чудодейственное место. И посещая монастырь, Леонтий подолгу задерживался в монастырской библиотеке. Он читал древние рукописные книги, не замечая времени, чтение поглощало его.

Сын Филиппа Теляшина, человека скромного и религиозного, с детства возлюбил Бога от всей души, готовился к духовной карьере, прислуживал чтецом в церкви, но судьба распорядилась иначе.

Озеро Селигер богато рыбой. Как только устанавливался санный путь, обозы с замороженной рыбой отправлялись в Москву, Тверь и другие города. С этим обозом отправили юношу Леонтия. Ему тогда было около шестнадцати лет.

В монастыре поразились необычными способностями обычного крестьянского сына: он умел читать и писать, чего простые крестьяне в большинстве своём не умели. Монахи решили, что этот юноша станет хорошим чтецом и оставили у себя «для чтения». Затем Теляшина направили в Московский Симонов монастырь. Юноша и там поразил всех своими незаурядными способностями. Настоятель монастыря решил, что такому самородку нужно обучаться дальше и отправил его учиться в Славяно-греко-латинскую академию. Особый интерес у молодого человека вызывали математические задания. А так как математика тогда в академии не преподавалась, и русских математических рукописей было ограниченное количество, он изучил данный предмет, по словам сына Ивана, «дивным и неудобовероятным способом». Для этого он изучил латинский, греческий язык в академии, немецкий, голландский, итальянский самостоятельно. Изучив языки, он перечитал множество иностранных рукописей и овладел математикой настолько, что его стали приглашать в богатые семейства преподавать этот предмет.

Посещая своих учеников, Леонтий Филиппович столкнулся с проблемой. По математике, или как тогда говорили арифметике, не было для детей и юношей ни одного пособия и ни одного учебника. Молодой человек начал сам составлять примеры и интересные задачки. Объяснял он свой предмет с таким жаром, что мог заинтересовать даже самого ленивого и не желающего учиться ученика, каких немало было в богатых семьях.

Слухи о талантливом учителе донеслись до Петра I. Российскому самодержцу нужны были русские образованные люди, потому что почти все грамотные люди были выходцами из других стран. Прибыльщик Петра I, Курбатов А.А., представил царю Теляшина. Императору очень понравился молодой человек. Он был поражён его познаниями в области математики. Пётр I дал же Леонтию Филипповичу новую фамилию. Помня выражение своего духовного наставника Симеона Полоцкого «Христос, как магнит, притягивает к себе души людей», царь Пётр назвал Теляшина Магницким – человеком, который как магнит притягивает к себе знания. Царь Пётр назначил Леонтия Филипповича «российскому благородному юношеству учителем математики» в только что открывшейся Московской Навигацкой школе.

Математико – навигацкую школу Пётр открыл, а учебников не было. Тогда царь, хорошо подумав, поручил Леонтию Филипповичу написать учебник по арифметике.

Магницкий, опираясь на свои задумки для детей, на придуманные для них примеры и задачи, за два года создал самый главный труд в своей жизни – учебник по арифметике. Он его назвал «Арифметика – сиречь наука числительная». Книгу эту выпустили огромным для того времени тиражом – 2400 экземпляров. Данная книга содержала много полезных разделов: арифметику, алгебру, геометрию, весь комплекс знаний для мореплавания. Учебник стал основой преподавания точных наук в Математико – навигацкой школе, а также в открывшейся позднее в Петербурге Морской академии. За «непрестанные и прилежные в навигацких школах во учении труды», Пётр I щедро одарил Магницкого подарками: деревнями во Владимирской и Тамбовской губерниях, домом на Лубянке и «саксонским кафтаном».

В Навигацкой школе Леонтий Филиппович отработал учителем 38 лет – больше чем полжизни. Был он скромным человеком, радел о науке, заботился о своих учениках. Он не только преподавал математику, но и следил за тем, как жили его воспитанники, чем питались, во что одевались, получали ли они жалованье. Главной целью его жизни стало воспитание так необходимых России специалистов и достойных граждан своей страны.

Своим первым учителем Леонтия Магницкого называли морские офицеры, математики, инженеры, геодезисты, картографы, географы, архитекторы и … учителя. Уже через два года после открытия школы, Магницкий отправил в Воронеж двух самых способных учеников для обучения математике солдат Петровской армии. Поэтому Леонтий Филиппович не просто первый учитель первого российского светского учебного заведения, но и « учитель учителей».

Магницкий заботился о судьбе своих учеников, ценил их талант. Зимой 1830 года к Магницкому обратился с просьбой о принятии его в Навигацкую школу молодой человек. Поразило Леонтия Филипповича то, что этот молодой человек сам выучился читать по церковным книгам и сам одолел математику по учебнику «Арифметика – сиречь наука числительная». Поразило Магницкого и то, что этот молодой человек так же, как и он сам, пришёл с рыбным обозом в Москву. Звали этого юношу Михайло Ломоносов. Оценив, какой талант перед ним, Леонтий Филиппович не оставил молодого человека в Навигацкой школе, а направил Ломоносова учиться в Славяно-греко-латинскую академию. Магницкий понимал, что молодому человеку просто необходимо изучение иностранных языков, особенно латыни.

После образования Морской академии в Петербурге (в неё вошла часть преподавателей и учеников из Навигацкой школы) Леонтий Филиппович стал директором и возглавлял данное учебное заведение 24 года. Сотни талантливых выпускников, нужнейших военных и гражданских специалистов, вышли из стен Навигацкой школы за это время.

Магницкий был поразительно талантливым: выдающийся математик, первый русский учитель, богослов, политик, государственный деятель, сподвижник Петра, поэт, автор поэмы «Страшный суд». Скончался Магницкий в 70 лет. Его похоронили в церкви Гребневской иконы Божией Матери у Никольских ворот. Прах Магницкого обрёл покой почти на два века рядом с останками князей и графов (из родов Щербатовых, Урусовых, Толстых, Волынских).

2. Арифметика Магницкого

В рассказах об инженерах Петровской эпохи часто повторяется один сюжет: получив задание от государя-императора Петра Алексеевича, они первым делом брали в руки «Арифметику» Л. Ф. Магницкого, а затем приступали к расчетам. Чтобы определить, что же находили в книге Магницкого выдающиеся русские изобретатели, заглянем в его труд. Прежде всего заметим, что первое печатное руководство по арифметике было издано по инициативе Петра Великого в Голландии. Это было «Краткое и полезное руковедение во аритметыку» (1699) Ильи Фёдоровича Копиевича, или Копиевского, родом из Беларуси. Однако это издание не пользовалось популярностью, поскольку не шло ни в какое сравнение с «Арифметикой» Л. Магницкого, которая под названием «Арифметика сиречь наука числительная» вышла в 1703 г. в Москве. Более полувека этот фундаментальный труд Л. Ф. Магницкого не имел равных в России. Его изучали в школах, к нему обращались самые широкие круги людей, стремившихся к образованию или, как уже было отмечено, работавших над какой-либо технической проблемой. Известно, что М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого наряду с «Грамматикой» Смотрицкого «вратами своей учености».

В самом начале, в предисловии, Магницкий разъяснил значение математики для практической деятельности. Он указал на ее важность для навигации, строительства, военного дела, т. е. подчеркнул ценность этой науки для государства. Кроме того, он отметил пользу математики для купцов, ремесленников, людей всех званий, т. е. общегражданское значение данной науки. Особенность «Арифметики» Магницкого заключалась в том, что автор был уверен, что русские люди имеют большую жажду знания, что многие из них самостоятельно изучают математику. Вот для них, занятых самообразованием, Магницкий каждое правило, каждый тип задач снабдил огромным числом решенных примеров. Более того, учитывая значение математики для практической деятельности, Магницкий включил в свой труд материал по естествознанию и технике. Тем самым значение «Арифметики» вышло за границы собственно математической литературы и приобрело общекультурное влияние, вырабатывая научное мировоззрение широкого круга читателей.

«Арифметика» состоит из двух книг. Первая включает в себя пять частей и посвящена непосредственно арифметике. В этой части излагаются правила нумерации, действия над целыми числами, способы проверки. Затем идут именованные числа, которым предпослан обширный раздел о древних еврейских, греческих, римских деньгах, содержатся сведения о мерах и весах в Голландии, Пруссии, о мерах, весах и деньгах Московского государства. Даны сравнительные таблицы мер, весов, денег. Этот раздел отличается большой точность, ясностью изложения, что свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого.

Вторая часть посвящена дробям, третья и четвертая - «задачам на правило», пятая - основным правилам алгебраических действий, прогрессии и корням. Здесь много примеров приложения алгебры к военному и морскому делу. Заканчивается пятая часть рассмотрением действий с десятичными дробями, что было новостью в математической литературе того времени.

Стоит сказать, что в первой книге «Арифметики» немало материала из старых русских рукописных книг математического характера, что свидетельствует о культурной преемственности и имеет воспитательное значение. Широко использована автором и иностранная математическая литература. В то же время труд Магницкого характеризуется большой оригинальностью. Во-первых, весь материал расположен с систематичностью, не имевшей места в других учебных книгах. Во-вторых, существенно обновлены задачи, многие из них не встречаются в иных математических пособиях. В «Арифметике» современная нумерация окончательно вытеснила алфавитную, а старый счет (на тьмы, легионы и др.) был заменен счетом на миллионы, биллионы и т. д. Здесь же впервые в русской научной литературе утверждается идея бесконечности натурального ряда чисел, причем сделано это в стихотворной форме. Вообще в первой части «Арифметики» силлабические стихи следуют за каждым правилом. Стихи сочинены самим Магницким, что подтверждает мысль о том, что талантливый человек всегда многогранен.

Вторую книгу «Арифметики» Л. Магницкий назвал «Арифметикой астрономской». В предисловии он указал на ее необходимость для России. Без нее, утверждал он, невозможно быть хорошим инженером, геодезистом или воином и мореплавателем. Данная книга «Арифметики» состоит из трех частей. В первой части дается дальнейшее изложение алгебры, включая решение квадратных уравнений. Автор подробно разобрал несколько задач, в которых встречались линейные, квадратные и биквадратные уравнения. Во второй части приводятся решения геометрических задач на измерение площадей. Среди них - вычисление площади параллелограмма, правильных многоугольников, сегмента круга. Кроме того, показан способ вычисления объемов круглых тел. Здесь же указаны диаметр, площадь поверхности и объем Земли. В данном разделе приведены некоторые геометрические теоремы. Далее рассмотрены математические формулы, которые дают возможность вычислять тригонометрические функции различных углов. В третьей части содержатся сведения, необходимые для навигаторов: таблицы магнитных склонений, таблицы широты точек восхода и захода Солнца и Луны, координаты важнейших портов, часы приливов и отливов в них и т. д. В этой части впервые встречается русская морская терминология, не потерявшая значение до настоящего времени. Надо отметить, что в своей «Арифметике» Магницкий проделал огромную работу по совершенствованию русской научной терминологии. Именно благодаря этому выдающемуся ученому в наш математический словарь вошли такие термины, как «множитель», «произведение», «делимое и частное», «квадратное число», «среднее пропорциональное число», «пропорция», «прогрессия» и т. д.

Таким образом, понятно, почему «Арифметика» Л. Магницкого изучалась много и прилежно более полувека, почему она стала основой для ряда курсов, которые создавались и издавались позже. Выдающиеся русские изобретатели обращались к произведению Магницкого не просто как к энциклопедии, справочнику, они среди решений сотен практических задач, данных в книге, находили те, что могли дать аналогию, натолкнуть на новую плодотворную мысль, ведь эти задачи имели практическое значение, демонстрировали возможности математики в поиске хорошего технического решения.

3 . Задачи из Арифметики Магницкого

3.1 Задачи на Тройное правило

Задачи, решаемые тройным правилом, составляли во все времена большую часть задач практической арифметики у всех народов. Величины, находящиеся в прямой или обратной пропорциональной зависимости друг от друга, человек встречает на каждом шагу и он по здравому смыслу решал задачи о значении таких величин.

Строкой называется тройное правило потому, что для механизации вычислений данные писались в строку. Для величин прямо пропорциональных следовало писать данные в одном порядке, для величин обратно пропорциональных – в другом. Примеры:

За 2 рубля можно купить 6 предметов. Сколько их можно купить на 4 рубля?

Данные этой задачи нужно записать в строку так 2 – 6 – 4.

20 рабочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней?

Данные этой задачи нужно записать в строку так 5 – 20 – 30.

В обоих случаях нужно перемножить второе и третье числа и произведение разделить на первое. Это правило и сообщается учащемуся. Поэтому Магницкий в конце раздела говорит:

А смотри всех паче

Разума (смысла) в задаче,

Потому бо знати,

Как сие писати.

В настоящее время такие задачи решаются с помощью пропорции (либо по действиям).

3.2 Задачи из Арифметики на « Фальшивое правило»

Приступая к изложению « фальшивого правила», Магницкий заявляет:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть,

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве

Якоже мудрым есть потреба

Вот пример расположения вычислений при применении фальшивого правила у Магницкого:

Один человек пришёл к учителю в школу и спросил у учителя: "Сколько у тебя учеников? Я просто хочу отдать тебе на обучение своего сына. Не стесню я тебя?". В ответ учитель сказал: "Нет, ваш сын не стеснит мой класс. Если бы ко мне пришло столько же, сколько есть, да полстолька, да четверть того, да ещё и твой сын, у меня бы учащихся стало 100 ". Сколько учеников было у учителя?

Решение с помощью «фальшивого правила». Предположим, что в классе было 24 ученика. Если еще придет столько же учеников и затем полстолько, затем четверть столько и, наконец, еще один ученик, то всего получится 24+24+12+6+1=67 учеников. Не угадали.

Если предположить, что в классе 32 ученика, то, проделав такие же выкладки, получим 32+32+16+8+1=89 учеников. Опять не угадали.

24 32

100 - 67 =33

100 – 89 =11

24×11 =264

33× 32 =1056

1056 – 264 =792

33 – 11 =22

32 11 следовательно, в классе было 792: 22 =36 учеников.

Сегодня мы решаем такие задачи с помощью уравнения

X +X +0,5X +0,25X + 1 =100

2,75X =99

X =99: 2,75

X =36

Ответ: 36 учеников.

На уроках математики или на внеурочных занятиях будет очень интересным, занимательным и полезным использовать данные правила, показывая учащимся нестандартные пути решения, знакомя с новыми методами рассуждений, так необходимыми для успешного решения учебных и жизненных проблем, способствовать развитию мыслительных операций и общему интеллектуальному развитию.

Привлечь внимание к математике также помогут арифметические забавы Магницкого, которые заинтересуют любого ученика. «Магия» чисел и несложные вычисления дают ответы на очень интересные ситуации и загадки, которые можно проделать прямо на уроке. Даже если просто поместить их на математическом уголке в кабинете, они не останутся без внимания, и каждому ученику будет интересно проделать алгоритм и убедиться в верности этих забав. Некоторые из забав представлены ниже в разделе «Приложения».

Заключение

В учебнике Магницкого использованы традиции русских математических рукописей, но его труд не копирует их, в нем значительно улучшена система изложения материала:

• вводится следующая схема изучения правил:

простой пример → общая формулировка нового правила → закрепление большим количеством примеров и задач → проверка,

• осуществляется плавный переход к новому,
• систематическое использование русских названий,
• вводятся определения (множитель, делитель, произведение, извлечение корня),
• заменены устаревшие слова (тьма, легион словами миллион, биллион, триллион, квадриллион),
• появляются новые разделы,
• приводятся задачи и дополнительные сведения,
• используются приемы, способствующие формированию интереса читателя к изучению математики.

Как ни странно, "Арифметика" в познавательно-педагогическом смысле не утратила значения до сих пор. Дело в том, что слабыми сторонами современной соответствующей литературы во всем мире является разностилевость и научная разноуровневость учебников, написанных представителями различных научных и методических школ. Магницкий все учебные разделы свел к одному учебно-методическому и стилистическому "знаменателю", что в современных условиях практически почти недостижимо.

"Ахиллесовой пятой" математического образования является слабая его связь с практикой, жизнью. А "Арифметика" Магницкого первой в русской (а, может быть, и мировой) учебной литературе отражает достаточно положительный опыт в указанном отношении. Исследователей до сих пор в этой книге привлекают педагогические особенности, благодаря которым она в силу системы учебных упражнений приобрела характер текста, пригодного для самообразования, что свидетельствует о ее высоких качествах как практического пособия по основам математических знаний.

Кроме того, содержание "Арифметики" довольно тесно связано с жизнью через кораблевождение. По данным, основанным на долголетних исследованиях российских историков астрономии и навигации, "Арифметика" Магницкого стала действительно практическим пособием для всех путешественников и мореплавателей с 1703 г.

Словом, эта книга действительно является выдающимся памятником нашей национальной культуры, которым Россия может по-настоящему гордиться.

Список литературы

1. Андронов И.К. Первый учитель математики российского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе. 1969. № 6.

2. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. .

3. Гнеденко Б.В. и др. Энциклопедический словарь юного математика.

М.: «Педагогика», 1985

4. Олехник С. Н. и др. Старинные занимательные задачи – 3-е изд. – М.: «Дрофа», 2006.

Приложение

Задача № 1

«Кадь пития»

Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь.

Решение.

Необходимо уравнять срок выпивания. То есть, мы посчитаем, сколько каждый выпьет за одинаковое время.

Получим, что муж за 70дней выпьет 5 кадей, а с женой за то же время - 7 кадей. Вот тут - то и вычтем. Получим, что жена за 70 дней выпьет две кади, то есть одну кадь за 35 дней. Ответ: 35 дней.

Задача №3

«Сукно»

Купил некто трех сукон 106 аршин; единого взял 12-ю больше перед другим, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было.

Решение.

Чтобы решить задачу, нужно найти то сукно, которого взято меньше. Это второе сукно. Возьмем его размер за X.

Тогда первое - X+12, а третье-x+21.

Составим уравнение.

3x+33=108, откуда X=25аршин.

Значит, первого сукна было 37 аршин, а третьего - 46.

Ответ: 25, 37 и 46 аршин

Задача № 4

«Мельница» (1703)

В некоей единой мельнице были трои жерновы, и едины жерновы в сутки могут смолоти 60 четвертей, а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита 81 четверть, желал в скорости оно смолоти, и насыпа на все три жерновы, и ведательно есть, в колико часов оно жито смолотися и колико на всякие жерновы достоит мельнику насыпати.

Решение.

Если первый жёрнов смолотит за сутки 60 четвертей, второй - 54, а третий - 48, то в сутки вместе они смолотят 162 четверти. А если надо смолотить 81 четверть?

Разделим 81 четверть на 162 четверти в сутки. Получим 1/2 суток, то есть 12 часов. А сколько смолотит каждый жёрнов? Перемножим производительность жерновов на время. Получим, что за это время первый жёрнов молотит 30 четвертей, второй -27, а третий-24.

Ответ: 1-й жёрнов - 30 четвертей, 2-й жёрнов - 27 четвертей, 3-й жёрнов - 24 четвертей.

Задача №5

«Жаркий день»

Время-12часов. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

Решение.

Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за один час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.

Ответ: 16 косцов

Арифметические забавы Магницкого

1.Как узнать день недели?

Перенумеровав дни недели, начиная с понедельника, по порядку с 1 до 7, предложите кому-нибудь загадать некоторый день недели. Затем предложите порядковый номер задуманного дня увеличить в 2 раза и к этому произведению прибавить 5. Полученную сумму предложите умножить на 5, а затем то, что получится, умножить на 10. По объявленному результату вы называете день недели, который был загадан. Как узнать загаданный день недели?

2.У кого кольцо?

Перенумеровав присутствующих и отвернувшись от них, предлагаете кому-либо взять кольцо и одеть его на какую-нибудь руку на какой-нибудь палец. Затем попросите удвоить порядковый номер того, кто взял кольцо, и к полученному результату прибавить 5. Полученную сумму попросите умножить на 5 и к ней прибавить номер пальца, считая с мизинца. Полученную сумму попросите опять умножить на 10, к результату прибавить число 1, если кольцо надето на левую руку и число 2, если кольцо надето на правую руку. После объявления результата предложенных вами арифметических действий вы отгадаете, кто из присутствующих, взял кольцо и на какой палец, какой руки надел его. Как по объявленному результату это определить?

3.Отгадать несколько чисел.

Предложите кому-либо задумать несколько (вам известное кол-во) однозначных чисел. Затем предложить первое из задуманных чисел умножить на 2 и к полученному произведению прибавить 5. Получившееся число попросите умножить на 5 и к тому, что получится, попросите прибавить 10 и второе задуманное число. Затем надо столько раз, сколько осталось неиспользованных задуманных чисел, проводить такие операции. Умножать полученное от предыдущих действий число, но 10 и к произведению прибавить очередное задуманное число. После объявления результата предложенных вами действий, вы объявляете, какие числа были задуманы.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Обучающиеся встречаются с процентами на уроках физики, химии, при чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все обучающиеся. Практика показывает, что очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

В последнее же время в контрольно-измерительные материалы экзамена по математике, проводящегося в форме ЕГЭ, включают и задачи на проценты, смеси и сплавы.

ЗАДАНИЯ ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
2. Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
3. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
4. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
5. Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
6. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси?
7. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй - 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

ЗАДАНИЯ ИЗ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МГУ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Имеются три металлических слитка. Первый весит 5 кг, второй – 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержания меди в нём.

ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота. На долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из сосуда выпускают некоторое количество смеси и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как в первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпускалось из сосуда?

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60% – в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект Х может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y – от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможный уровень %-ой ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10 и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y.

СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос: «Что Вы предпочитаете, кашу или компот?» – большая часть ответила: «Кашу», меньшая: «Компот», а один респондент: «Затрудняюсь ответить». Далее выяснили, что среди любителей компота 30% предпочитают абрикосовый, а 70% – грушевый. У любителей каши уточнили, какую именно кашу они предпочитают. Оказалось, что 56,25% выбрали манную кашу, 37,5% – рисовую, и лишь один ответил: «Затрудняюсь ответить». Сколько детей было опрошено?

В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включении в работу с учащимися соответствующих заданий на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций. В процессе подготовки приходится искать различные пути решения таких типов задач как задачи «на движение», «на работу», «процентное содержание», «смеси и сплавы»...

Тема «Проценты» на самом деле достаточно обширна и сегодня я хотела бы остановиться на одном из ее разделов – задачах на смеси и сплавы, тем более что при решении задач на смеси и сплавы очевидны межпредметные связи с химией, физикой и экономикой, знание этого повышает учебную мотивацию учащихся по всем предметам.

Ведь, если человек талантлив в одном, он обычно талантлив во многом.

Но первым делом необходимо вспомнить некоторые теоретические основы решения задач на смеси и сплавы (Слайд 5).

В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 1 . Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента по количеству входящих элементов. Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление. Для этого между первым и вторым прямоугольниками поставим знак «+», а между вторым и третьим прямоугольниками поставим знак «=». Этим мы показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Теперь заполним получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи.

Над каждым прямоугольником укажем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.

Внутри прямоугольников впишем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго равно разности 100% и процентного содержания первого.

Под прямоугольником запишем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели-схемы:

Решение.

1-й способ. Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (800 – х ) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): .

Решив это уравнение, получаем При этом значении х выражение . Это означает, что первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

Рассмотренная модель облегчает учащимся процесс перехода от условия задачи к ее непосредственной реализации стандартными путями: в виде уравнений или систем уравнений.

Особый интерес представляют два других способа, сводящие решение этих задач к тривиальному варианту, опирающемуся на арифметику и понятие пропорции.

Старинный способ решения

Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г). (Лео́нтий Фили́ппович Магни́цкий (при рождении Телятин; 9 (19) июня 1669, Осташков - 19 (30) октября 1739, Москва) - русский математик, педагог. Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике).

Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями.

Решим предыдущую задачу 1 старинным способом.

Друг под другом пишутся процентные содержания меди в имеющихся сплавах, слева от них и примерно посередине – процентное содержание меди в сплаве, который должен получиться после сплавления. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 75 и 72; 75 и 80. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей стрелочки. Получится такая схема:

Из нее делается заключение, что 72%-ного сплава следует взять 5 частей, а 80%-ного – 3 части (800:(5 + 3) = 100 г приходится на одну часть.) Таким образом, для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять 72%-ного сплава 100·5 = 500 г, а 80%-ного – 100·3 = 300 г.

Ответ:500г, 300г.

Задача 2 . В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?

Ответ: Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.

Правило креста или квадрат Пирсона

(Карл (Чарлз) Пирсон (27 марта 1857, Лондон - 27 апреля 1936, там же) - выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, автор свыше 650 опубликованных научных работ).

Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста).

Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m 1 , а второго – через m 2 , то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе –

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

ω 1 , ω 2 – массовые части первого и второго растворов соответственно.

Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.

Задача 3 . Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Ответ: 7 килограммов .

Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной концентрация веществ.

В заключение разговора о решении задач на смеси и сплавы, отмечу, что при внешнем различии сюжета задачи на сплавы, смеси, концентрации, на соединение либо на разделение различных веществ, решаются по общей схеме. (См. примеры решения задач в Презентации).

Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка решения задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов, которые возможно встретятся с такими заданиями на ЕГЭ, но и для всех учащихся, так как современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на проценты.

Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием!
С. Пуассон

Борзенкова Анжела, Сурков Михаил, Соколов Андрей

Авторами, учениками 7Б класса ГБОУ СОШ 134 г. СПб под руководством учителя математики Нечаевой А.Е. выполнена исселдовательская работа по теме "Арифметика Магницкого". Очная защита исследования состоялась 15.04.17 на IV научно-практической конференции учащихся Красногвардейского района Санкт-Петербурга "МИР НАУКИ" (без публикации). Настоящим действием осущетсвлена публикация работы в средствах массововй информации.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Актуальность Актуальность выбранной темы обуславливается: возможностью знакомства с первым российским учебником по математике, историей его создания, выявления исторической значимости его появления и влияния на развитие математической науки в России.

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Гипотеза Арифметика Магницкого, став первым российским учебником по математике, способствовала: формированию единого подхода к изучению математики в России; увеличению числа обучающихся основам математики в России благодаря тому, что она была написана на русском языке и стала основным учебником по математике во вновь созданной Навигацкой школе; а также она стала историческим свидетельством некоторых сторон жизни граждан России начала XVIII века.

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО ЗАДАЧИ и МЕТОДЫ исследования Задачи исследования. Сделать краткий обзор ретроспективы создания Арифметики, биографии Леонтия Филипповича Магницкого, познакомится с историей создания Арифметики и выявить степень влияния Арифметики на распространение математики в России. Методы исследования. В качестве методов исследования использовались такие общенаучные методы, как эмпирический метод, метод сравнения, обобщения.

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО основное содержание Историческая ретроспектива возникновения Арифметики Магницкого О Леонтии Филипповиче Магницком Об учебнике Арифметика Магницкого Заключение

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Историческая ретроспектива возникновения Арифметики Магницкого Северная война 1700-1721 гг. – требуется много квалифицированных специалистов Учебников было мало. Не было учебников на русском языке. Были учебники на латинском, греческом, хранившиеся в «закрытых» библиотека, например, архиерейских училищ, редкие рукописи Сухарева башня – здание Навигацкой школы, созданной в 1701 году

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО О Леонтии Филипповиче Магницком 9 июня 1669 года по старому стилю в семье крестьянина Филиппа по прозвищу Теляшин Осташковской патриархальной слободы Тверской губернии родился будущий математик Леонтий. В 1684 г. в возрасте 14 лет Леонтий был послан в Иосифо -Волоколамский монастырь. Через год игумен благословил Леонтия на учебу в Славяно-греко-латинскую академию, являвшуюся в те годы основным учебным заведением России, в которой он проучился около восьми лет. В 1700 году Петр I повелел Леонтию зваться Леонтием Филипповичем Магницким. После чего, в 1701 году, Магницкий становится государственным служащим, перед которым царь Петр I ставит задачу создания первого русскоязычного учебника математики. С этого же года и до 1739 года жизнь Л.Ф. Магницкого неразрывно связана с деятельностью Навигацкой школы, открытой Петром I в 1701 года. В 1739 году в возрасте 70 лет Л.Ф. Магницкий умер.

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Об учебнике арифметика магницкого Петр I повелел Л.Ф. Магницкому написать учебник математики для навигацкой школы, учрежденной 14 января 1701 года на русском языке

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Об учебнике арифметика магницкого

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО выводы Учебник Арифметика Магницкого способствовал зарождению русской математической традиции преподавания математики в новом для петровских времен формате, выработке единообразного подхода к преподаванию и изучению математики Историческое з начение Арифметики Магницкого, как учебного пособия по математике, в том, что он вводит удобную, схожую с арабской, нумерацию, записывает передовые алгоритмы того времени сложения, вычитания, умножения, деления. Изложение материала опирается на решение практических задач, что позволяет использовать учебник для самообразования. Научная новизна. На каждом временном этапе сравнение современных методов образования, алгоритмов решения математических задач с приведенными в Арифметике Магницкого оправдано с научной точки зрения, так как позволяет оценить уровень эволюции математической научной мысли, уровень эволюции общего образования.

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО источники Арифметика Магницкого. Точное воспроизведение подлинника. С приложением статьи П. Баранова. - М.: Издание П. Баранова, 1914. URL: http://elibrary.orenlib.ru/index.php?dn=down&to=open&id=1261 Беленчук Л.Н., Просвещение в эпоху Петра Первого// Отечественная и зарубежная педагогика. И. Институт стратегии развития образования Российской академии образования. - 2016. - № 3 (30) . - С. 54-68. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_26286817_93418862.pdf Денисов А.П., Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739)// М.: Просвещение. - 1967. - 143 с. Магницкий Леонтий Филиппович// Энциклопедический словарь Брокгауза и Эфрона:В 86 томах (82 т. и 4 доп.), Санкт-Петербург: 1890-1907. Малых А.Е., Данилова В.И, Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739)// Вестник Пермского университета, Математика. Механика. Информатика. – 2010. – Вып. 4 (4). – С. 84-94. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_15624452_71219613.pdf Степаненко Г.А., Арифметика Магницкого и современные учебники математики начальной школы// Таврический научный обозреватель, И. Общество с ограниченной ответственностью «Межрегиональный институт развития территорий », г. Ялта. – 2016. – 1-3 (6) – С. 38-43. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_25473094_94425485.pdf Тихонова О. Ю. Леонтий Филиппович Магницкий – математик и христианин // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – № 3 (март). – С. 71–75. – URL: http://e-koncept.ru/2016/16053.htm Чекин А.Л., Борисова Е.В., Первый отечественный печатный учебник «Арифметика» Л.Ф. Магницкого// Журнал « Начальная школа», И. Общество с ограниченной ответственностью Издательство «Начальная школа и образование », г. Москва. – 2013. - №9. – С.12-15. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_21131169_20173013.pdf 9. http://museum.lomic.ru/trip.html - сайт музея М.В. Ломоносова в селе Ломоносово,

АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО источники СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Первая часть книги - "Арифметика политика", объемом в 218 двойных страниц, посвящена изложению собственно арифметики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубическим). Она состоит из 5 частей:
1. О числах целых.
2. О числах ломаных, или с долями.
3. О правилах подобных, в трех, в пяти и в седми перечнях.
4. О правилах фальшивых, еже есть гадательных.
5. О правилах радиксов, квадратных и кубических, геометрии принадлежащих.

Кратко охарактеризуем каждую из частей первой книги.

В первой части рассмотрены целые числа и 5 действий - нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. В отличие от рукописей XVII в., Магницкий кроме правил их выполнения дает определения действий:
"Что есть нумерацио? Нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию именовати, яже в десяти знаменованиях, или изображениях содержатся и изображаются аще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 , 0, из них же девять назнаменовательны суть: последнее же 0 (еже цифрою или ничем именуется) егда убо едино стоит, тогда само о себе ничтоже значит. Егда же коему оных знаменований приложение будет, тогда умножает в десятеро".

Определения арифметических действий, видимо, заимствованы Магницким из современной ему западноевропейский литературы. "Аддицио, или сложение есть двух или многих числ во едино собрание, или во един перечень совокупление" , - так определяет Магницкий сложение. Вычитание определялось у Магницкого не как действие, обратное сложению, но как самостоятельная операция, что можно считать естественным на первой стадии обучения. "Субстракцио, или вычитание есть имже малое число, из болшего вычитаем и излишнее объявляем" .

Как независимые действия, решающие некоторые задачи, определялись также умножение и деление. "Умножение есть, имже что в числах умножаем, или коликим вещам по множеству иных вещей раздаем: и количество их числом показуем" . Таким образом, Магницкий сводил умножение к повторному сложению совокупностей предметов. "Деление есть имже болшее число, или перечень на равные части меншим разделяем, от них же едину числом же показуем" .

Безусловно, эти определения крайне несовершенны как с содержательной, так и с методической точки зрения. Мы не будем заниматься бесплодной их критикой хотя бы потому, что она является внеисторической. Сам факт попытки определения арифметических действий носит продуктивный характер, так как он положил начало процессу, в результате которого в ходе анализа и совершенствования родились современные определения.

Свойства действий не рассматривались. Основное внимание, естественно, уделялось правилам действий и разбору многочисленных примеров. Причем Магницкий, как и его предшественники, приводил по нескольку способов деления и умножения. Знаки действий не употреблялись (как и в иностранных учебниках того времени). Значительное внимание уделял Магницкий способам проверки арифметических действий. Для проверки вычитания и деления применялись обратные действия, для всех действий - проверка с помощью 9.

Далее идут именованные числа, которым предпосылается обширный трактат о древних греческих, римских и еврейских деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах "Московского государства и окрестных некиих", 3 сравнительных таблицы мер, веса и денег. Этот трактат, отличающийся замечательными подробностями, ясностью и точностью, свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого. Более того, он имеет несомненную историческую значимость, так как дает сведения о системах мер и денежном обращении России. Что касается именованных чисел, то Магницкий знакомит читателя с их сложением и вычитанием, а также с "раздроблением" и "превращением", которые рассматривает как деление и умножение. Действия с именованными числами выполняются обычным способом.

Во второй части "Арифметики политики" подробно излагаются дроби. Магницкий впервые в русской математической литературе дает определение дробей: "Число ломаное ничтоже ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется аще 1/2 рубля, или четь 1/4 или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковая либо часть, объявлена числом: т.е. ломаное число" .

Не случайно изучение дробей следовало за отделом об именованных числах и системах мер: дробь понималась Магницким не как отвлеченное число или доля отвлеченной единицы, но как доли величины, вещи. Дробь при этом мыслилась как некое целое, состоящее из меньших единиц (полтина - 50 копеек, например). Затем Магницкий подробно излагает арифметические действия с дробями - нумерацию, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление.

Третья часть "Арифметики политики" содержит тройные правила, изложенные, в отличие от рукописей XVII в. подробно и расчлененно. Кроме обычного тройного правила в целых и долях различаются "возвратительное", т.е. обратное тройное правило; "правило тройное сократительное", в котором возможно предварительное сокращение членов пропорции, и правила 5, а также 7 величин. Магницкий прямо связал тройное правило с пропорциональностью величин, однако сколько-нибудь развитое учение о пропорциях у него отсутствует. Поэтому даже простое тройное правило описано в "Арифметике политике" недостаточно ясно.

В четвертой части "Арифметики политики" изложены правила ложного положения. Магницкий, в отличие от своих русских и иностранных предшественников, рассмотрел не 2, а 3 случая правила 2 ложных положений: 1) когда оба положения больше искомого; 2) когда оба они меньше; 3) когда одно больше, а другое меньше. У Магницкого имеются также задачи, решаемые по правилу одного ложного положения, которое он тем не менее специально не выделил. Этим заканчивается та часть "Арифметики", которая роднила ее с рукописями XVII в. Остальное ее содержание для русского читателя было новым.

В последней, пятой части "Арифметики политики" Магницкий поместил учение о прогрессиях и об извлечении квадратных и кубических корней. Эти вопросы он справедливо относит к алгебре. Элементы алгебры Магницкий излагает во второй части книги, однако, считая, что изучать ее будут немногие, решает предложить некоторые вопросы "в дополнение многих, в прешедших частях различных правил...". Учитывая потребности практики, он приводит много примеров приложения алгебраического материала к военному и морскому делу.

В пятой части Магницкий возвращается к "подобенствам", или, как он их теперь называет, пропорциям и прогрессиям - арифметическим, геометрическим, лишь упомянув о "гармонических". Он продолжает введенную им в русскую учебную книгу традицию введения определений:
"Прогрессио есть пропорция или подобенство числ к числам в примножении, или во уменшении яковых либо перечнев".
"Арифметическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа коеждо их друг от друга равное разнство, но разные пропорции имать, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 6, 8, 10, 12 или не единаким, яко 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13".
"Геометрическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа, едину и туюжде между собою пропорцию, но разнства различная имут, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, или не единаким, яко 2, 4, 6, 12, 18".

Рассматриваются убывающие и возрастающие прогрессии, свойства арифметических прогрессий и правило для вычисления ее суммы: " Первый предел и последний сложи, и то сложение сумножи с половиною всех пределов" . Формула для общего члена, естественно, не дается, правило формулируется для конкретного (14-го) члена прогрессии: "Разнством сумножи 13 мест, и первый предел к тому приложи, и будет последний предел" . Изложение геометрической прогрессии начинается определением ее знаменателя: "Идеже достоит умствовати яко егда, два числа геометрического прогрессия, и едино другим разделяется, и произведение бывает пропорция, или умноженное число, имже прогрессия возвышается или вознижается" . Формул для нахождения общего члена и суммы членов геометрической прогрессии у Магницкого нет, при решении задач он пользуется описательным способом.

Квадратному корню посвящена статья "О радиксе квадратном". Магницкий дает геометрическое определение квадратного корня, так как использует его в дальнейшем в основном в геометрических приложениях. Определив сторону квадрата по его площади и поместив табличку квадратов от 1 до 12, Магницкий отмечает, что всякое число может быть квадратом и подробно на примере описывает способ извлечения квадратного корня из целых и дробных чисел. Приближенное значение корня он получает приписыванием пар нулей справа.

По аналогии вводится и понятие о кубическом корне, которому посвящена статья "О радиксе кубическом".

Интересны задачи этой статьи, среди которых есть задачи на замену куба несколькими равновеликими между собой кубами: "Некоторый куб имеет сторону 28 вершков. Из него надо сделать 8 одинаковых меньших кубов. Определить сторону куба".

В связи с большим количеством вычислений в пятой части "Арифметики политики" Магницкий впервые в отечественной математической литературе приводит сведения о десятичных дробях: "иной член арифметики... яже децималь или десятная именуется, сиречь в десятных частях, или в сотых, или в тысящных и множайших" . Он рассматривает сложение десятичных дробей, формулирует правила их вычитания и умножения.

Выдающимся деятелем просвещения в петровскую эпоху был видный математик, преподаватель школы математических и навигацких наук в Москве Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739). Он внес огромный вклад в методику светского школьного обучения своего времени и в дело раз­вития профессионального образования. По традиции, шедшей еще от мастеров грамоты Московской Руси, он создал соб­ственный учебник – «Арифметика сиречь наука числитель­ная», опубликовав его после двухлетней практической про­верки в 1703 г. Эта учебная книга знаменовала собой рожде­ние действительно нового учебника, соединявшего в себе отечественную традицию с достижениями западноевропейс­кой методики преподавания точных наук. «Арифметика» Л.Ф. Магницкого являлась основной учебной книгой по математи­ке до середины XVIII в., по ней учился М.В. Ломоносов.

Учебник Л.Ф. Магницкого имел характер прикладного, собственно, даже утилитарного пособия для обучения всем основным математическим действиям, включая алгебраичес­кие, геометрические, тригонометрические и логарифмические. Ученики навигацкой школы на аспидных досках копи­ровали содержание учебника, формулы и чертежи, осваивая практически различные отрасли математики.

Математические знания изучались последовательно по принципу от простого к сложному; математические расчеты были тесно связаны с профессиональной подготовкой спе­циалистов в области фортификации, геодезии, артиллерий­ского дела и др.

Широко применялись Л.Ф. Магницким разнообразные средства наглядности. К учебнику прилагались различные таблицы и макеты. В процессе обучения использовались на­глядные пособия – модели кораблей, гравюры, чертежи, приборы, рисунки и т.п.

Уже титульный лист «Арифметики» был своеобразным символическим наглядным пособием, отображавшим содер­жание учебника. Сама арифметика как наука была изображе­на в виде аллегорической женской фигуры со скипетром – ключом и державой, восседавшей на троне, к которому ве­дут ступени лестницы с последовательным перечислением арифметических действий: «счисление, сложение, вычита­ние, умножение, деление». Трон был помещен в «храме наук», своды которого поддерживают две группы колонн по четыре в каждой. Первая группа колонн имела надписи: «геометрия, стереометрия, астрономия, оптика» и покоилась на фунда­менте, на котором был написан вопрос: «Арифметика что дает?» Вторая группа колонн имела надписи: «меркатория (так именовали в те времена собственно навигацкие науки), география, фортификация, архитектура».

Таким образом, «Арифметика» Магницкого по своей сути являлась своеобразной математической энциклопедией, но­сившей ярко выраженный прикладной характер. Этот учеб­ник положил начало принципиально новому поколению учебных книг. Он не только не уступал западноевропейским образцам, но и был составлен в русле русской традиции, для русских учеников.

Л.Ф. Магницкий осуществлял руководство всей учебной ра­ботой школы начиная с первой ее ступени. Для подготовки учеников к обучению в собственно навигацкой школе при ней были организованы два начальных класса, носивших на­звание «русской школы», где учили чтению и письму по-рус­ски, и «цифирной школы», где детей знакомили с началами арифметики, а для желающих преподавали еще фехтование.

Титульный лист книги Л. Ф. Магницкого «Арифметика»

Все учебные предметы изучались в навигацкой школе по­следовательно, переводных и выпускных экзаменов не было, ученики переводились из класса в класс по мере выучки, а само понятие «класс» означало не элемент классно-урочной системы, которой в России еще не было, а содержание обу­чения: класс навигации, класс геометрии и т.п. Выпускали из школы по мере готовности ученика к конкретной госу­дарственной деятельности или по требованию различных ведомств, остро нуждавшихся в образованных специалистах. На освобождавшиеся места сразу набирали новых учеников.

Учение в навигацкой школе приравнивалось к службе, поэтому ученики получали так называемые «кормовые день­ги». Ученики при поступлении обеспечивались книгами и необходимыми учебными пособиями, которые обязаны были вернуть по окончании класса в сохранности. Ученикам выда­вались таблицы логарифмов, географические карты, для за­писи вычислений – аспидные доски, грифели, карандаши, а также линейки и циркули. По сути дела, школа была пол­ностью на государственном обеспечении.

Жили ученики кто в самой школе, кто на квартирах не­подалеку от школы. В 1711 г. число учеников школы выросло до 400.

Л.Ф. Магницкий ввел в практику выделение из числа луч­ших учеников «десятских», которые в своей десятке следили за поведением.

Выпускники навигацкой школы служили не только на флоте; в указе ПетраI от 1710 г. говорилось, что выпускники этой школы пригодны для службы в артиллерии, в граждан­ских ведомствах, в качестве учителей начальных школ, ар­хитекторов и т.п. Отдельных выпускников навигацкой шко­лы отправляли за границу для продолжения образования.

Одновременно с навигацкой школой, в том же 1701 г., по ее образцу в Москве была открыта артиллерийская, или пушкарская, школа, которая должна была готовить специа­листов для армии и флота. Учащихся в нее набирали в возра­сте от 7 до 25 лет, обучали русской грамоте, счету и сразу же начинали готовить к профессии инженера. Учителей и в на­вигацкой, и в пушкарской школах готовили прямо на месте из наиболее способных и соответствующих этой функции учеников.

Помимо государственных школ, ставивших задачу быст­рого начального образования и профессиональной подготов­ки, в петровскую эпоху стали открываться частные школы, во многом послужившие образцом для последующего разви­тия школьного дела в России.

Еще в XVII в. в Москве на реке Яузе сформировалась Не­мецкая слобода, где переселенцы из Западной Европы орга­низовывали для своих детей школы по европейскому образ­цу. Жители этой слободы оказали определенное образова­тельное воздействие на молодого Петра I и его ближайшее окружение.

В июле 1701 г. пастор и руководитель школы при немец­кой церкви в Ново-Немецкой слободе в Москве Николай Швиммер царским указом был назначен переводчиком ла­тинского, немецкого и голландского языков при Посольском приказе – государственном органе международных отношений. Одновременно ему было вменено в обязанность создать школу, в которой учились бы все желающие незави­симо от чинов. В ноябре 1701 г. Н. Швиммер начал обучение первых шести учеников латинскому и немецкому языкам на основе западноевропейской методики. Сначала он учил их чтению и письму по-немецки, затем разговорной речи, а уже затем – латыни, открывавшей путь в науку.

Учебным пособием была книга самого Н. Швиммера «Вход латинскому языку», свидетельствующая о его знакомстве с известным учебником латинского языка Я.А. Коменского. Однако в 1703 г. эта школа была закрыта, а учеников его передали пастору Эрнсту Глюку.

Э. Глюк был образованным человеком, хорошо знакомым с новейшими педагогическими идеями Западной Европы. Еще в 1684 г. он разработал проект системы обучения на родном языке в среде русских старообрядцев в Лифляндии, где тогда жил и он сам. Для них он перевел на разговорный русский язык славянскую Библию, написал русскую Азбуку и ряд школьных учебников. В ходе русско-шведской войны Э. Глюк был взят в плен и доставлен в Москву, где в начале 1703 г. ему было поручено Петром I обучать русских юношей не­мецкому, латинскому и другим языкам. Несколько позже, в 1705 г., в Москве, на углу улицы Маросейки и Златоустинского переулка, в палатах боярина Василия Федоровича На­рышкина по царскому указу была открыта собственная шко­ла Э. Глюка. В ней должны были учиться дети бояр, чиновни­ков, купцов. Из государственной казны на содержание школы выделялось 300 руб., по тем временам огромная сумма. В школе обучали географии, этике, политике, истории, поэтике, философии; латинскому, французскому и немецкому язы­кам. Уделялось внимание и «светским наукам» – танцам, светским манерам, верховой езде. Кроме перечисленных пред­метов, изучение которых было обязательным, желающие мог­ли изучать шведский и итальянский языки.

Занятия в школе начинались в 8 часов утра и заканчивались в 6 часов вечера для младших классов и в 8 часов вечера для старших. Распорядок дня школы позволяет сделать вывод, что здесь применялись элементы новой для российских школ фор­мы организации обучения – классно-урочной, при которой дети одной возрастной группы объединялись для изучения того или иного предмета; практиковались уроки для повторения и запоминания уже изученного материала, являвшиеся обязатель­ной формой учебной работы для учителей и учеников.