Ιδιότητες πολυγώνων

Ένα πολύγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, που συνήθως ορίζεται ως μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή χωρίς αυτοτομές (ένα απλό πολύγωνο (Εικ. 1α)), αλλά μερικές φορές επιτρέπονται αυτοτομές (τότε το πολύγωνο δεν είναι απλό).

Οι κορυφές του πολυγώνου ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου και τα τμήματα ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου. Οι κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται γειτονικές αν είναι τα άκρα μιας από τις πλευρές του. Τα τμήματα που συνδέουν τις μη γειτονικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες.

Η γωνία (ή η εσωτερική γωνία) ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή και η γωνία υπολογίζεται από την πλευρά του πολυγώνου. Συγκεκριμένα, η γωνία μπορεί να ξεπεράσει τις 180° εάν το πολύγωνο είναι μη κυρτό.

Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτή την κορυφή. Γενικά, μια εξωτερική γωνία είναι η διαφορά μεταξύ 180° και εσωτερικής γωνίας. Για > 3, κάθε κορυφή του -gon έχει 3 διαγώνιους, άρα ο συνολικός αριθμός των διαγωνίων του -gon είναι ίσος.

Ένα πολύγωνο με τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, με τέσσερα - ένα τετράπλευρο, με πέντε - ένα πεντάγωνο κ.λπ.

Πολύγωνο με nπου ονομάζονται κορυφές n-πλατεία.

Ένα επίπεδο πολύγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και ένα πεπερασμένο τμήμα της περιοχής που περιορίζεται από αυτό.

Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες (ισοδύναμες) συνθήκες:

• 1. βρίσκεται στη μία πλευρά οποιασδήποτε ευθείας γραμμής που συνδέει τις γειτονικές κορυφές του. (δηλαδή, οι προεκτάσεις των πλευρών του πολυγώνου δεν τέμνουν τις άλλες πλευρές του).
• 2. είναι η τομή (δηλαδή το κοινό μέρος) πολλών ημιεπιπέδων.
• 3. κάθε τμήμα με άκρα σε σημεία που ανήκουν στο πολύγωνο ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό.

Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό εάν όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες είναι ίσες, για παράδειγμα, ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τετράγωνο και πεντάγωνο.

Ένα κυρτό πολύγωνο λέγεται ότι περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο εάν όλες οι πλευρές του αγγίζουν κάποιον κύκλο

Κανονικό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο στο οποίο όλες οι γωνίες και όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ιδιότητες πολυγώνων:

1 Κάθε διαγώνιος ενός κυρτού -γώνου, όπου >3, το αποσυνθέτει σε δύο κυρτά πολύγωνα.

2 Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός κυρτού τριγώνου είναι ίσο.

D-vo: Θα αποδείξουμε το θεώρημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Στο = 3 είναι προφανές. Ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για ένα -gon, όπου <, και να το αποδείξει για -gon.

Έστω το δεδομένο πολύγωνο. Ας σχεδιάσουμε τη διαγώνιο αυτού του πολυγώνου. Σύμφωνα με το Θεώρημα 3, το πολύγωνο αποσυντίθεται σε τρίγωνο και κυρτό τρίγωνο (Εικ. 5). Με την υπόθεση της επαγωγής. Από την άλλη πλευρά,. Προσθέτοντας αυτές τις ισότητες και λαμβάνοντας υπόψη ότι (- εσωτερική γωνιακή δέσμη ) Και (- εσωτερική γωνιακή δέσμη ), παίρνουμε Όταν παίρνουμε: .

3 Γύρω από οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο και μόνο έναν.

D-vo: Έστω κανονικό πολύγωνο, και και είναι οι διχοτόμοι των γωνιών, και (Εικ. 150). Από τότε, λοιπόν, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ΓΙΑ.Ας το αποδείξουμε Ο = ΟΑ 2 = ΓΙΑ =… = ΟΑ n . Τρίγωνο ΓΙΑισοσκελές λοιπόν ΓΙΑ= ΓΙΑ. Σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων, επομένως, ΓΙΑ = ΓΙΑ. Ομοίως, αποδεικνύεται ότι ΓΙΑ = ΓΙΑκαι τα λοιπά. Το θέμα λοιπόν ΓΙΑείναι ίση απόσταση από όλες τις κορυφές του πολυγώνου, άρα ένας κύκλος με κέντρο ΓΙΑακτίνα ΓΙΑπεριγράφεται γύρω από το πολύγωνο.

Ας αποδείξουμε τώρα ότι υπάρχει μόνο ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Εξετάστε περίπου τρεις κορυφές ενός πολυγώνου, για παράδειγμα, ΕΝΑ 2 , . Δεδομένου ότι μόνο ένας κύκλος διέρχεται από αυτά τα σημεία, τότε γύρω από το πολύγωνο … Δεν μπορείτε να περιγράψετε περισσότερους από έναν κύκλους.

• 4 Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, και μόνο σε ένα.
• 5 Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο αγγίζει τις πλευρές του πολυγώνου στα μέσα τους.
• 6 Το κέντρο ενός κύκλου που περιγράφεται γύρω από ένα κανονικό πολύγωνο συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου που εγγράφεται στο ίδιο πολύγωνο.
• 7 Συμμετρία:

Λένε ότι μια φιγούρα έχει συμμετρία (συμμετρική) εάν υπάρχει μια τέτοια κίνηση (όχι πανομοιότυπη) που μεταφράζει αυτό το σχήμα στον εαυτό της.

• 7.1. Ένα γενικό τρίγωνο δεν έχει άξονες ή κέντρα συμμετρίας, είναι ασύμμετρο. Ένα ισοσκελές (αλλά όχι ισόπλευρο) τρίγωνο έχει έναν άξονα συμμετρίας: τη διχοτόμο στη βάση.
• 7.2. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας (κάθετες διχοτόμους στις πλευρές) και περιστροφική συμμετρία γύρω από το κέντρο με γωνία περιστροφής 120°.

7.3 Κάθε κανονικό n-gon έχει n άξονες συμμετρίας, όλοι αυτοί διέρχονται από το κέντρο του. Έχει επίσης περιστροφική συμμετρία γύρω από το κέντρο με γωνία περιστροφής.

Όταν ακόμη nΜερικοί άξονες συμμετρίας διέρχονται από αντίθετες κορυφές, άλλοι από τα μέσα των απέναντι πλευρών.

Για περίεργο nκάθε άξονας διέρχεται από την κορυφή και τη μέση της απέναντι πλευράς.

Το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου με ζυγό αριθμό πλευρών είναι το κέντρο συμμετρίας του. Ένα κανονικό πολύγωνο με περιττό αριθμό πλευρών δεν έχει κέντρο συμμετρίας.

8 Ομοιότητα:

Με ομοιότητα και -gon πηγαίνει σε -gon, μισό επίπεδο σε μισό επίπεδο, επομένως κυρτό n-Το gon γίνεται κυρτό n-γκον.

Θεώρημα: Αν οι πλευρές και οι γωνίες των κυρτών πολυγώνων ικανοποιούν τις ισότητες:

πού είναι ο συντελεστής του βάθρου

τότε αυτά τα πολύγωνα είναι παρόμοια.

• 8.1 Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον συντελεστή ομοιότητας.
• 8.2. Ο λόγος των εμβαδών δύο κυρτών όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του συντελεστή ομοιότητας.

Θεώρημα περιμέτρου πολυγώνου τριγώνου

Ενότητες: Μαθηματικά

Θέμα, ηλικία μαθητή: γεωμετρία, 9η τάξη

Σκοπός του μαθήματος: μελέτη τύπων πολυγώνων.

Εκπαιδευτικό έργο: ενημέρωση, επέκταση και γενίκευση των γνώσεων των μαθητών σχετικά με τα πολύγωνα. σχηματίστε μια ιδέα για τα "συστατικά μέρη" ενός πολυγώνου. διεξαγωγή μελέτης του αριθμού των συστατικών στοιχείων κανονικών πολυγώνων (από τρίγωνο σε n-γώνο).

Αναπτυξιακό έργο: ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης, σύγκρισης, εξαγωγής συμπερασμάτων, ανάπτυξης υπολογιστικών δεξιοτήτων, προφορικού και γραπτού μαθηματικού λόγου, μνήμης, καθώς και ανεξαρτησίας στη σκέψη και τις μαθησιακές δραστηριότητες, την ικανότητα εργασίας σε ζευγάρια και ομάδες. ανάπτυξη ερευνητικών και εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων·

Εκπαιδευτικό έργο: καλλιέργεια ανεξαρτησίας, δραστηριότητας, ευθύνης για την εργασία που έχει ανατεθεί, επιμονή στην επίτευξη του στόχου.

Πρόοδος μαθήματος:απόσπασμα γραμμένο στον πίνακα

"Η φύση μιλάει τη γλώσσα των μαθηματικών, τα γράμματα αυτής της γλώσσας ... μαθηματικά σχήματα." G.Galliley

Στην αρχή του μαθήματος, η τάξη χωρίζεται σε ομάδες εργασίας (στην περίπτωσή μας, χωρίζεται σε ομάδες των 4 ατόμων η καθεμία - ο αριθμός των μελών της ομάδας είναι ίσος με τον αριθμό των ομάδων ερωτήσεων).

1.Στάδιο κλήσης-

Στόχοι:

α) ενημέρωση των γνώσεων των μαθητών σχετικά με το θέμα·

β) αφύπνιση ενδιαφέροντος για το θέμα που μελετάται, παρακινώντας κάθε μαθητή για εκπαιδευτικές δραστηριότητες.

Τεχνική: Παιχνίδι «Πιστεύεις ότι...», οργάνωση εργασίας με κείμενο.

Μορφές εργασίας: μετωπική, ομαδική.

«Το πιστεύεις…»

1. ... η λέξη «πολύγωνο» υποδηλώνει ότι όλες οι μορφές αυτής της οικογένειας έχουν «πολλές γωνίες»;

2. ... ανήκει ένα τρίγωνο σε μια μεγάλη οικογένεια πολυγώνων, που διακρίνονται ανάμεσα σε πολλά διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα σε ένα επίπεδο;

3. ... είναι ένα τετράγωνο κανονικό οκτάγωνο (τέσσερις πλευρές + τέσσερις γωνίες);

Σήμερα στο μάθημα θα μιλήσουμε για πολύγωνα. Μαθαίνουμε ότι αυτός ο αριθμός περιορίζεται από μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή, η οποία με τη σειρά της μπορεί να είναι απλή, κλειστή. Ας μιλήσουμε για το γεγονός ότι τα πολύγωνα μπορεί να είναι επίπεδα, κανονικά ή κυρτά. Ένα από τα επίπεδα πολύγωνα είναι ένα τρίγωνο, με το οποίο είστε εξοικειωμένοι από καιρό (μπορείτε να δείξετε στους μαθητές αφίσες που απεικονίζουν πολύγωνα, μια διακεκομμένη γραμμή, να δείξετε τους διαφορετικούς τύπους τους, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το TSO).

2. Στάδιο σύλληψης

Στόχος: η απόκτηση νέων πληροφοριών, η κατανόησή τους, η επιλογή τους.

Τεχνική: ζιγκ-ζαγκ.

Μορφές εργασίας: ατομική->ζευγάρι->ομαδική.

Σε κάθε μέλος της ομάδας δίνεται ένα κείμενο για το θέμα του μαθήματος και το κείμενο συντάσσεται με τέτοιο τρόπο ώστε να περιλαμβάνει τόσο πληροφορίες που είναι ήδη γνωστές στους μαθητές όσο και πληροφορίες που είναι εντελώς νέες. Μαζί με το κείμενο, οι μαθητές δέχονται ερωτήσεις, οι απαντήσεις των οποίων πρέπει να βρεθούν σε αυτό το κείμενο.

Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων.

Ποιος δεν έχει ακούσει για το μυστηριώδες Τρίγωνο των Βερμούδων, στο οποίο πλοία και αεροπλάνα εξαφανίζονται χωρίς ίχνος; Αλλά το τρίγωνο, γνωστό σε εμάς από την παιδική ηλικία, είναι γεμάτο με πολλά ενδιαφέροντα και μυστηριώδη πράγματα.

Εκτός από τους τύπους τριγώνων που είναι ήδη γνωστοί σε εμάς, χωρισμένους κατά πλευρές (σκαλόνιο, ισοσκελές, ισόπλευρο) και γωνίες (οξεία, αμβλεία, ορθογώνια), το τρίγωνο ανήκει σε μια μεγάλη οικογένεια πολυγώνων, που διακρίνονται μεταξύ πολλών διαφορετικών γεωμετρικών σχημάτων στο επίπεδο.

Η λέξη «πολύγωνο» υποδηλώνει ότι όλες οι μορφές αυτής της οικογένειας έχουν «πολλές γωνίες». Αυτό όμως δεν αρκεί για να χαρακτηρίσει τη φιγούρα.

Μια διακεκομμένη γραμμή A 1 A 2 ...A n είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τα σημεία A 1, A 2, ...A n και τα τμήματα που τα συνδέουν A 1 A 2, A 2 A 3,.... Τα σημεία ονομάζονται κορυφές της πολύγραμμης και τα τμήματα ονομάζονται σύνδεσμοι της πολύγραμμης. (Εικ.1)

Μια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται απλή αν δεν έχει αυτοτομές (Εικ. 2, 3).

Μια πολύγραμμη ονομάζεται κλειστή αν τα άκρα της συμπίπτουν. Το μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής είναι το άθροισμα των μηκών των συνδέσμων της (Εικ. 4).

Μια απλή κλειστή διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται πολύγωνο εάν οι γειτονικοί της σύνδεσμοι δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία (Εικ. 5).

Αντικαταστήστε έναν συγκεκριμένο αριθμό, για παράδειγμα 3, στη λέξη «πολύγωνο» αντί για το μέρος «πολλά» Θα λάβετε ένα τρίγωνο. Ή 5. Στη συνέχεια - ένα πεντάγωνο. Σημειώστε ότι, όσες γωνίες υπάρχουν, υπάρχουν τόσες πλευρές, επομένως αυτά τα σχήματα θα μπορούσαν κάλλιστα να ονομαστούν πολύπλευρα.

Οι κορυφές της διακεκομμένης γραμμής ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου και οι σύνδεσμοι της διακεκομμένης γραμμής ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου.

Το πολύγωνο χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές: εσωτερική και εξωτερική (Εικ. 6).

Επίπεδο πολύγωνο ή πολυγωνικό εμβαδόν είναι το πεπερασμένο τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από ένα πολύγωνο.

Δύο κορυφές ενός πολυγώνου που είναι τα άκρα μιας πλευράς λέγονται γειτονικές. Οι κορυφές που δεν είναι άκρα μιας πλευράς είναι μη γειτονικές.

Ένα πολύγωνο με n κορυφές, και επομένως n πλευρές, ονομάζεται n-γώνιο.

Αν και ο μικρότερος αριθμός πλευρών ενός πολυγώνου είναι 3. Όμως τα τρίγωνα, όταν συνδέονται μεταξύ τους, μπορούν να σχηματίσουν άλλα σχήματα, τα οποία με τη σειρά τους είναι επίσης πολύγωνα.

Τα τμήματα που συνδέουν τις μη γειτονικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες.

Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει την πλευρά του. Στην περίπτωση αυτή, η ίδια η ευθεία θεωρείται ότι ανήκει στο ημιεπίπεδο.

Η γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα (σχετικά με το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου): Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου είναι ίσο με 180 0 *(n - 2).

Απόδειξη. Στην περίπτωση n=3 ισχύει το θεώρημα. Έστω A 1 A 2 ...A n δεδομένο κυρτό πολύγωνο και n>3. Ας σχεδιάσουμε διαγώνιες σε αυτό (από μια κορυφή). Δεδομένου ότι το πολύγωνο είναι κυρτό, αυτές οι διαγώνιοι το χωρίζουν σε n – 2 τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου είναι το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με 180 0 και ο αριθμός αυτών των τριγώνων n είναι 2. Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου A 1 A 2 ...A n είναι ίσο με 180 0 * (n - 2). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτή την κορυφή.

Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του ίσες.

Έτσι το τετράγωνο μπορεί να ονομαστεί διαφορετικά - ένα κανονικό τετράπλευρο. Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι επίσης κανονικά. Τέτοιες φιγούρες έχουν από καιρό ενδιαφέρον για τους τεχνίτες που διακοσμούσαν κτίρια. Έκαναν όμορφα σχέδια, για παράδειγμα σε παρκέ. Αλλά δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν όλα τα κανονικά πολύγωνα για την κατασκευή παρκέ. Το παρκέ δεν μπορεί να κατασκευαστεί από κανονικά οκτάγωνα. Το γεγονός είναι ότι κάθε γωνία είναι ίση με 135 0. Και αν κάποιο σημείο είναι η κορυφή δύο τέτοιων οκτάγωνων, τότε θα αντιστοιχούν στο 270 0, και δεν υπάρχει πουθενά να χωρέσει το τρίτο οκτάγωνο εκεί: 360 0 - 270 0 = 90 0. Αλλά για ένα τετράγωνο αυτό είναι αρκετό. Επομένως, μπορείτε να φτιάξετε παρκέ από κανονικά οκτάγωνα και τετράγωνα.

Σωστά είναι και τα αστέρια. Το πεντάκτινο αστέρι μας είναι ένα κανονικό πεντάγωνο αστέρι. Και αν περιστρέψετε το τετράγωνο γύρω από το κέντρο κατά 45 0, θα έχετε ένα κανονικό οκταγωνικό αστέρι.

1 ομάδα

Τι είναι μια διακεκομμένη γραμμή; Εξηγήστε τι είναι οι κορυφές και οι σύνδεσμοι μιας πολύγραμμης.

Ποια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται απλή;

Ποια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή;

Τι ονομάζεται πολύγωνο; Πώς ονομάζονται οι κορυφές ενός πολυγώνου; Πώς ονομάζονται οι πλευρές ενός πολυγώνου;

2η ομάδα

Ποιο πολύγωνο ονομάζεται επίπεδο; Δώστε παραδείγματα πολυγώνων.

Τι είναι το n – τετράγωνο;

Εξηγήστε ποιες κορυφές ενός πολυγώνου είναι γειτονικές και ποιες όχι.

Ποια είναι η διαγώνιος ενός πολυγώνου;

3 ομάδα

Ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό;

Εξηγήστε ποιες γωνίες ενός πολυγώνου είναι εξωτερικές και ποιες εσωτερικές;

Ποιο πολύγωνο ονομάζεται κανονικό; Δώστε παραδείγματα κανονικών πολυγώνων.

4 ομάδα

Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου; Αποδείξτε το.

Οι μαθητές εργάζονται με το κείμενο, αναζητούν απαντήσεις στις ερωτήσεις που τίθενται, μετά από τις οποίες σχηματίζονται ομάδες εμπειρογνωμόνων, στις οποίες διεξάγεται εργασία για τα ίδια θέματα: οι μαθητές επισημαίνουν τα κύρια σημεία, συντάσσουν μια υποστηρικτική περίληψη και παρουσιάζουν πληροφορίες σε ένα από τα τις γραφικές φόρμες. Με την ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές επιστρέφουν στις ομάδες εργασίας τους.

3. Στάδιο προβληματισμού -

α) αξιολόγηση της γνώσης κάποιου, πρόκληση στο επόμενο βήμα της γνώσης·

β) κατανόηση και οικειοποίηση των πληροφοριών που λαμβάνονται.

Υποδοχή: ερευνητική εργασία.

Μορφές εργασίας: ατομική->ζευγάρι->ομαδική.

Οι ομάδες εργασίας περιλαμβάνουν ειδικούς που απαντούν σε κάθε ενότητα των προτεινόμενων ερωτήσεων.

Επιστρέφοντας στην ομάδα εργασίας, ο ειδικός παρουσιάζει τις απαντήσεις στις ερωτήσεις του σε άλλα μέλη της ομάδας. Η ομάδα ανταλλάσσει πληροφορίες μεταξύ όλων των μελών της ομάδας εργασίας. Έτσι, σε κάθε ομάδα εργασίας, χάρη στην εργασία των ειδικών, διαμορφώνεται μια γενική κατανόηση του θέματος που μελετάται.

Ερευνητική εργασία των μαθητών - συμπλήρωση του πίνακα.

Επίλυση ενδιαφέροντων προβλημάτων σχετικά με το θέμα του μαθήματος.

• Σε ένα τετράπλευρο, σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή έτσι ώστε να το χωρίσει σε τρία τρίγωνα.
• Πόσες πλευρές έχει ένα κανονικό πολύγωνο, καθεμία από τις εσωτερικές του γωνίες 135 0;
• Σε ένα συγκεκριμένο πολύγωνο, όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Μπορεί το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών αυτού του πολυγώνου να είναι ίσο με: 360 0, 380 0;

Συνοψίζοντας το μάθημα. Καταγραφή εργασιών για το σπίτι.

§ 1 Η έννοια του τριγώνου

Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθείτε με σχήματα όπως τρίγωνα και πολύγωνα.

Εάν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία συνδέονται με τμήματα, παίρνετε ένα τρίγωνο. Ένα τρίγωνο έχει τρεις κορυφές και τρεις πλευρές.

Πριν είναι ένα τρίγωνο ABC, έχει τρεις κορυφές (σημείο A, σημείο B και σημείο C) και τρεις πλευρές (AB, AC και CB).

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι ίδιες πλευρές μπορούν να ονομαστούν διαφορετικά:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Οι πλευρές του τριγώνου σχηματίζουν τρεις γωνίες στις κορυφές του τριγώνου. Στο σχήμα βλέπετε γωνία Α, γωνία Β, γωνία Γ.

Έτσι, ένα τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

§ 2 Η έννοια του πολυγώνου και οι τύποι του

Εκτός από τα τρίγωνα, υπάρχουν τετράγωνα, πεντάγωνα, εξάγωνα κ.λπ. Με μια λέξη, μπορούν να ονομαστούν πολύγωνα.

Στην εικόνα βλέπετε το τετράπλευρο ΔΜΚΕ.

Τα σημεία Δ, Μ, Κ και Ε είναι οι κορυφές του τετράπλευρου.

Τα τμήματα DM, MK, KE, ED είναι οι πλευρές αυτού του τετράπλευρου. Όπως ακριβώς και στην περίπτωση ενός τριγώνου, οι πλευρές ενός τετράπλευρου σχηματίζουν τέσσερις γωνίες στις κορυφές, όπως μαντέψατε, εξ ου και το όνομα - τετράπλευρο. Για αυτό το τετράπλευρο βλέπετε στο σχήμα γωνία D, γωνία M, γωνία K και γωνία E.

Ποια τετράπλευρα γνωρίζετε ήδη;

Τετράγωνο και παραλληλόγραμμο! Κάθε ένα από αυτά έχει τέσσερις γωνίες και τέσσερις πλευρές.

Ένας άλλος τύπος πολυγώνου είναι το πεντάγωνο.

Τα σημεία O, P, X, Y, T είναι οι κορυφές του πενταγώνου και τα τμήματα TO, OP, PX, XY, YT είναι οι πλευρές αυτού του πενταγώνου. Ένα πεντάγωνο έχει, αντίστοιχα, πέντε γωνίες και πέντε πλευρές.

Πόσες γωνίες και πόσες πλευρές πιστεύετε ότι έχει ένα εξάγωνο; Σωστά, έξι! Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να πούμε πόσες πλευρές, κορυφές ή γωνίες έχει ένα συγκεκριμένο πολύγωνο. Και μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ένα τρίγωνο είναι επίσης ένα πολύγωνο, το οποίο έχει ακριβώς τρεις γωνίες, τρεις πλευρές και τρεις κορυφές.

Έτσι, σε αυτό το μάθημα εξοικειωθείτε με έννοιες όπως το τρίγωνο και το πολύγωνο. Μάθαμε ότι ένα τρίγωνο έχει 3 κορυφές, 3 πλευρές και 3 γωνίες, ένα τετράπλευρο έχει 4 κορυφές, 4 πλευρές και 4 γωνίες, ένα πεντάγωνο έχει 5 πλευρές, 5 κορυφές, 5 γωνίες κ.ο.κ.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. Μαθηματικά Ε' τάξη. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. και άλλα 31η έκδ., σβησμένα. - Μ: 2013.
2. Διδακτικό υλικό για τα μαθηματικά τάξη 5. Συγγραφέας - Popov M.A. - 2013
3. Υπολογίζουμε χωρίς λάθη. Εργασία με αυτοδιαγνωστικό έλεγχο στα μαθηματικά τάξεις 5-6. Συγγραφέας - Minaeva S.S. - 2014
4. Διδακτικό υλικό για τα μαθηματικά τάξη 5. Συγγραφείς: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Τεστ και ανεξάρτητη εργασία στα μαθηματικά τάξη 5. Συγγραφείς - Popov M.A. - 2012
6. Μαθηματικά. Ε' τάξη: εκπαιδευτικά. για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. ιδρύματα / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009

Σε αυτό το μάθημα θα ξεκινήσουμε ένα νέο θέμα και θα εισαγάγουμε μια νέα έννοια για εμάς: «πολύγωνο». Θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τα πολύγωνα: πλευρές, γωνίες κορυφής, κυρτότητα και μη κυρτότητα. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε τα πιο σημαντικά γεγονότα, όπως το θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου, το θεώρημα για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου. Ως αποτέλεσμα, θα πλησιάσουμε στη μελέτη ειδικών περιπτώσεων πολυγώνων, οι οποίες θα εξεταστούν σε επόμενα μαθήματα.

Θέμα: Τετράπλευρα

Μάθημα: Πολύγωνα

Στο μάθημα της γεωμετρίας, μελετάμε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και έχουμε ήδη εξετάσει τις απλούστερες από αυτές: τρίγωνα και κύκλους. Παράλληλα, συζητήσαμε και συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις αυτών των μορφών, όπως ορθογώνια, ισοσκελή και κανονικά τρίγωνα. Τώρα ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για πιο γενικά και σύνθετα στοιχεία - πολύγωνα.

Με ειδική θήκη πολύγωναείμαστε ήδη εξοικειωμένοι - αυτό είναι ένα τρίγωνο (βλ. Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Τρίγωνο

Το ίδιο το όνομα τονίζει ήδη ότι πρόκειται για μια φιγούρα με τρεις γωνίες. Επομένως, σε πολύγωνομπορεί να υπάρχουν πολλά από αυτά, δηλ. περισσότερα από τρία. Για παράδειγμα, ας σχεδιάσουμε ένα πεντάγωνο (βλ. Εικ. 2), δηλ. φιγούρα με πέντε γωνίες.

Ρύζι. 2. Πεντάγωνο. Κυρτό πολύγωνο

Ορισμός.Πολύγωνο- ένα σχήμα που αποτελείται από πολλά σημεία (περισσότερα από δύο) και έναν αντίστοιχο αριθμό τμημάτων που τα συνδέουν διαδοχικά. Αυτά τα σημεία ονομάζονται κορυφέςπολύγωνο, και τα τμήματα είναι κόμματα. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχουν δύο γειτονικές πλευρές στην ίδια ευθεία και δεν τέμνονται δύο μη γειτονικές πλευρές.

Ορισμός.Κανονικό πολύγωνοείναι ένα κυρτό πολύγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές και οι γωνίες είναι ίσες.

Κάθε πολύγωνοχωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές: εσωτερική και εξωτερική. Η εσωτερική περιοχή αναφέρεται επίσης ως πολύγωνο.

Με άλλα λόγια, για παράδειγμα, όταν μιλούν για ένα πεντάγωνο, εννοούν και ολόκληρη την εσωτερική του περιοχή και τα σύνορά του. Και η εσωτερική περιοχή περιλαμβάνει όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο, δηλ. το σημείο αναφέρεται και στο πεντάγωνο (βλ. Εικ. 2).

Τα πολύγωνα ονομάζονται επίσης μερικές φορές n-gons για να τονιστεί ότι εξετάζεται η γενική περίπτωση της παρουσίας κάποιου άγνωστου αριθμού γωνιών (n κομμάτια).

Ορισμός. Περίμετρος πολυγώνου- το άθροισμα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου.

Τώρα πρέπει να εξοικειωθούμε με τους τύπους των πολυγώνων. Χωρίζονται σε κυρτόςΚαι μη κυρτό. Για παράδειγμα, το πολύγωνο που φαίνεται στο Σχ. 2 είναι κυρτό και στο Σχ. 3 μη κυρτό.

Ρύζι. 3. Μη κυρτό πολύγωνο

Ορισμός 1. Πολύγωνοκάλεσε κυρτός, εάν όταν σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή μέσω κάποιας από τις πλευρές του, ολόκληρο πολύγωνοβρίσκεται μόνο στη μία πλευρά αυτής της ευθείας γραμμής. Μη κυρτόείναι όλοι οι άλλοι πολύγωνα.

Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς ότι όταν εκτείνεται οποιαδήποτε πλευρά του πενταγώνου στο Σχ. 2 θα είναι όλα στη μία πλευρά αυτής της ευθείας γραμμής, δηλ. είναι κυρτό. Αλλά όταν σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα τετράπλευρο στο Σχ. 3 βλέπουμε ήδη ότι το χωρίζει σε δύο μέρη, δηλ. δεν είναι κυρτό.

Υπάρχει όμως ένας άλλος ορισμός της κυρτότητας ενός πολυγώνου.

Ορισμός 2. Πολύγωνοκάλεσε κυρτός, εάν όταν επιλέγουμε δύο από τα εσωτερικά του σημεία και τα συνδέουμε με ένα τμήμα, όλα τα σημεία του τμήματος είναι και εσωτερικά σημεία του πολυγώνου.

Μια επίδειξη της χρήσης αυτού του ορισμού μπορεί να φανεί στο παράδειγμα κατασκευής τμημάτων στο Σχ. 2 και 3.

Ορισμός. Διαγώνιοςενός πολυγώνου είναι κάθε τμήμα που συνδέει δύο μη γειτονικές κορυφές.

Για να περιγράψουμε τις ιδιότητες των πολυγώνων, υπάρχουν δύο πιο σημαντικά θεωρήματα σχετικά με τις γωνίες τους: Θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνουΚαι Θεώρημα για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου. Ας τους δούμε.

Θεώρημα. Στο άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου (n-gon).

Πού είναι ο αριθμός των γωνιών του (πλευρών).

Απόδειξη 1. Ας απεικονίσουμε στο Σχ. 4 κυρτό n-gon.

Ρύζι. 4. Κυρτό n-gon

Από την κορυφή σχεδιάζουμε όλες τις πιθανές διαγώνιους. Χωρίζουν ένα n-gon σε τρίγωνα, γιατί καθεμία από τις πλευρές του πολυγώνου σχηματίζει ένα τρίγωνο, εκτός από τις πλευρές που γειτνιάζουν με την κορυφή. Είναι εύκολο να δούμε από το σχήμα ότι το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων θα είναι ακριβώς ίσο με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του n-gon. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι , τότε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-γώνου είναι:

Q.E.D.

Απόδειξη 2. Μια άλλη απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι δυνατή. Ας σχεδιάσουμε ένα παρόμοιο n-gon στο Σχ. 5 και συνδέστε οποιοδήποτε από τα εσωτερικά του σημεία με όλες τις κορυφές.

Ρύζι. 5.

Έχουμε λάβει μια διαίρεση του n-gon σε n τρίγωνα (όσες πλευρές υπάρχουν τρίγωνα). Το άθροισμα όλων των γωνιών τους είναι ίσο με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου και το άθροισμα των γωνιών στο εσωτερικό σημείο, και αυτή είναι η γωνία. Έχουμε:

Q.E.D.

Αποδεδειγμένος.

Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, είναι σαφές ότι το άθροισμα των γωνιών ενός n-γωνίου εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του (στο n). Για παράδειγμα, σε ένα τρίγωνο, και το άθροισμα των γωνιών είναι . Σε ένα τετράπλευρο, και το άθροισμα των γωνιών είναι κ.λπ.

Θεώρημα. Στο άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου (n-gon).

Πού είναι ο αριθμός των γωνιών του (πλευρές), και , … είναι οι εξωτερικές γωνίες.

Απόδειξη. Ας απεικονίσουμε ένα κυρτό n-gon στο Σχ. 6 και προσδιορίστε τις εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες του.

Ρύζι. 6. Κυρτό n-gon με καθορισμένες εξωτερικές γωνίες

Επειδή Η εξωτερική γωνία συνδέεται με την εσωτερική ως γειτονική, λοιπόν και ομοίως για τις υπόλοιπες εξωτερικές γωνίες. Τότε:

Κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών χρησιμοποιήσαμε το ήδη αποδεδειγμένο θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-gon.

Αποδεδειγμένος.

Ένα ενδιαφέρον γεγονός προκύπτει από το αποδεδειγμένο θεώρημα ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι ίσο με στον αριθμό των γωνιών του (πλευρών). Παρεμπιπτόντως, σε αντίθεση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών.

Αναφορές

1. Alexandrov A.D. και άλλα Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: Εκπαίδευση, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Σχολική εργασία στο σπίτι

Η γνώση της ορολογίας, καθώς και η γνώση των ιδιοτήτων διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων θα βοηθήσει στην επίλυση πολλών προβλημάτων στη γεωμετρία. Κατά τη μελέτη μιας ενότητας όπως η επιπεδομετρία, ένας μαθητής συναντά συχνά τον όρο «πολύγωνο». Ποια φιγούρα χαρακτηρίζει αυτή η έννοια;

Πολύγωνο - ορισμός γεωμετρικού σχήματος

Μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή, της οποίας όλα τα τμήματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν τμήματα αυτοτομής, σχηματίζει ένα γεωμετρικό σχήμα που ονομάζεται πολύγωνο. Ο αριθμός των συνδέσμων της διακεκομμένης γραμμής πρέπει να είναι τουλάχιστον 3. Με άλλα λόγια, ένα πολύγωνο ορίζεται ως ένα μέρος ενός επιπέδου του οποίου το όριο είναι μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή.

Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ένα πολύγωνο, έννοιες όπως:

• Πλευρά πολυγώνου. Αυτός ο όρος χαρακτηρίζει ένα τμήμα (κρίκο) μιας σπασμένης αλυσίδας του επιθυμητού σχήματος.
• Γωνία πολυγώνου (εσωτερική) – μια γωνία που σχηματίζεται από 2 παρακείμενους συνδέσμους μιας διακεκομμένης γραμμής.
• Η κορυφή ενός πολυγώνου ορίζεται ως η κορυφή μιας πολύγραμμης.
• Η διαγώνιος πολυγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει οποιεσδήποτε 2 κορυφές (εκτός από τις γειτονικές) ενός πολυγωνικού σχήματος.

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των συνδέσμων και ο αριθμός των κορυφών της διακεκομμένης γραμμής εντός ενός πολυγώνου συμπίπτουν. Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών (ή των πολυγραμμικών τμημάτων, αντίστοιχα), προσδιορίζεται ο τύπος του πολυγώνου:

• 3 γωνίες - τρίγωνο.
• 4 γωνίες - ένα τετράπλευρο.
• 5 γωνίες - πεντάγωνο κ.λπ.

Αν ένα πολυγωνικό σχήμα έχει ίσες γωνίες και πλευρές, τότε το πολύγωνο λέγεται κανονικό.

Τύποι πολυγώνων

Όλα τα πολυγωνικά γεωμετρικά σχήματα χωρίζονται σε 2 τύπους - κυρτά και κοίλα.

• Εάν κάποια από τις πλευρές του πολυγώνου, αφού συνεχίσει σε μια ευθεία γραμμή, δεν σχηματίζει σημεία τομής με το ίδιο το σχήμα, έχετε ένα κυρτό πολυγωνικό σχήμα.
• Αν, αφού συνεχίσουμε την πλευρά (οποιαδήποτε), η ευθεία που προκύπτει τέμνει το πολύγωνο, μιλάμε για κοίλο πολύγωνο.

Ιδιότητες πολυγώνου

Ανεξάρτητα από το αν το πολυγωνικό σχήμα που μελετάται είναι κανονικό ή όχι, έχει τις ακόλουθες ιδιότητες. Ετσι:

• Οι εσωτερικές του γωνίες σχηματίζουν συνολικά (p – 2)*π, όπου

π – ακτινικό μέτρο της γωνίας περιστροφής, αντιστοιχεί σε 180°,

p – ο αριθμός των γωνιών (κορυφών) ενός πολυγωνικού σχήματος (p-gon).

• Ο αριθμός των διαγωνίων οποιουδήποτε πολυγωνικού σχήματος καθορίζεται από τον λόγο p*(p – 3) / 2, όπου

p – αριθμός πλευρών ενός p-gon.