Μωσαϊκό Penrose, Πλακάκια Penrose - μη περιοδική χωρίστρα του επιπέδου, απεριοδικές κανονικές κατασκευές, πλακάκια του επιπέδου με δύο τύπους ρόμβων - με γωνίες 72° και 108° («χοντροί ρόμβοι») και 36° και 144° (“ λεπτοί ρόμβοι»), τέτοιοι (οι αναλογίες υπόκεινται σε «Χρυσή αναλογία») ώστε οποιοιδήποτε δύο γειτονικοί (δηλαδή έχουν κοινή πλευρά) ρόμβοι να μην σχηματίζουν παραλληλόγραμμο μαζί.Πήρε το όνομά του από τον Roger Penrose, ο οποίος ενδιαφερόταν για το πρόβλημα της "tesellation", δηλαδή το γέμισμα ενός αεροπλάνου με φιγούρες του ίδιου σχήματος χωρίς κενά ή επικαλύψεις.

Όλα αυτά τα πλακίδια είναι μη περιοδικά και τοπικά ισόμορφα μεταξύ τους (δηλαδή, οποιοδήποτε πεπερασμένο θραύσμα ενός πλακιδίου Penrose εμφανίζεται σε οποιοδήποτε άλλο). "Αυτοομοιότητα" - μπορείτε να συνδυάσετε γειτονικά ψηφιδωτά πλακίδια με τέτοιο τρόπο ώστε να αποκτήσετε ξανά ένα μωσαϊκό Penrose.

Μπορούν να σχεδιαστούν πολλά τμήματα σε καθένα από τα δύο πλακίδια, έτσι ώστε κατά την τοποθέτηση του μωσαϊκού, τα άκρα αυτών των τμημάτων να ευθυγραμμίζονται και να σχηματίζονται πολλές οικογένειες παράλληλων ευθειών (λωρίδες Αμμάν) στο επίπεδο.

Οι αποστάσεις μεταξύ γειτονικών παράλληλων γραμμών παίρνουν ακριβώς δύο διαφορετικές τιμές (και για κάθε οικογένεια παράλληλων γραμμών η ακολουθία αυτών των τιμών είναι ίδια).

Τα πλακάκια Penrose, τα οποία έχουν τρύπες, καλύπτουν ολόκληρο το επίπεδο εκτός από ένα σχήμα πεπερασμένου εμβαδού. Δεν είναι δυνατό να μεγεθύνετε την τρύπα αφαιρώντας μερικά (πεπερασμένος αριθμός) πλακάκια και στη συνέχεια να στρώσετε εντελώς το ακάλυπτο τμήμα.

Το πρόβλημα λύνεται με πλακάκια με φιγούρες που δημιουργούν ένα περιοδικά επαναλαμβανόμενο μοτίβο, αλλά ο Penrose ήθελε να βρει ακριβώς μια τέτοια φιγούρα που, όταν τοποθετηθεί με πλακάκια σε ένα επίπεδο, δεν θα δημιουργούσε επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Θεωρήθηκε ότι δεν υπήρχαν πλακάκια από τα οποία μπορούσαν να κατασκευαστούν μόνο μη περιοδικά ψηφιδωτά. Η Penrose επέλεξε πολλά πλακάκια διαφόρων σχημάτων, στο τέλος υπήρχαν μόνο 2 από αυτά, με τη «χρυσή τομή», η οποία βασίζεται σε όλες τις αρμονικές σχέσεις. Πρόκειται για φιγούρες σε σχήμα ρόμβου με γωνίες 108° και 72°. Αργότερα, οι φιγούρες απλοποιήθηκαν σε ένα απλό σχήμα ρόμβου (36° και 144°), με βάση την αρχή του «χρυσού τριγώνου».

Τα μοτίβα που προκύπτουν έχουν ένα οιονεί κρυσταλλικό σχήμα που έχει αξονική συμμετρία 5ης τάξης. Η δομή του μωσαϊκού σχετίζεται με την ακολουθία Fibonacci.
( Wikipedia)

Μωσαϊκό Penrose. Η λευκή κουκκίδα σηματοδοτεί το κέντρο της περιστροφικής συμμετρίας 5ης τάξης: μια περιστροφή γύρω από αυτό κατά 72° μεταμορφώνει το μωσαϊκό στον εαυτό του.

Αλυσίδες και μωσαϊκά (περιοδικό Science and Life, 2005 No. 10)

Ας εξετάσουμε πρώτα το παρακάτω εξιδανικευμένο μοντέλο. Αφήστε τα σωματίδια σε κατάσταση ισορροπίας να βρίσκονται κατά μήκος του άξονα μεταφοράς z και να σχηματίσουν μια γραμμική αλυσίδα με μεταβλητή περίοδο, που μεταβάλλεται σύμφωνα με το νόμο της γεωμετρικής προόδου:

аn = a1·Dn-1,

όπου a1 είναι η αρχική περίοδος μεταξύ των σωματιδίων, n είναι ο αύξων αριθμός της περιόδου, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… είναι ο αριθμός της χρυσής αναλογίας.

Η κατασκευασμένη αλυσίδα σωματιδίων χρησιμεύει ως παράδειγμα μονοδιάστατου οιονεί κρυστάλλου με τάξη συμμετρίας μεγάλης εμβέλειας. Η δομή είναι απολύτως διατεταγμένη, υπάρχει μια συστηματική διάταξη των σωματιδίων στον άξονα - οι συντεταγμένες τους καθορίζονται από έναν νόμο. Ταυτόχρονα, δεν υπάρχει επαναληψιμότητα - οι περίοδοι μεταξύ των σωματιδίων είναι διαφορετικές και αυξάνονται συνεχώς. Επομένως, η προκύπτουσα μονοδιάστατη δομή δεν έχει μεταγραφική συμμετρία και αυτό προκαλείται όχι από τη χαοτική διάταξη των σωματιδίων (όπως στις άμορφες δομές), αλλά από την παράλογη αναλογία δύο γειτονικών περιόδων (το D είναι ένας άρρητος αριθμός).

Μια λογική συνέχεια της θεωρούμενης μονοδιάστατης δομής ενός οιονεί κρυστάλλου είναι μια δισδιάστατη δομή, η οποία μπορεί να περιγραφεί με τη μέθοδο κατασκευής μη περιοδικών ψηφιδωτών (μοτίβων) που αποτελούνται από δύο διαφορετικά στοιχεία, δύο στοιχειώδη κύτταρα. Ένα τέτοιο μωσαϊκό αναπτύχθηκε το 1974 από έναν θεωρητικό φυσικό από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. R. Penrose.Βρήκε ένα μωσαϊκό από δύο ρόμβους με ίσες πλευρές. Οι εσωτερικές γωνίες ενός στενού ρόμβου είναι 36° και 144°, και ενός πλατιού ρόμβου - 72° και 108°.

Οι γωνίες αυτών των ρόμβων σχετίζονται με τη χρυσή τομή, η οποία εκφράζεται αλγεβρικά με την εξίσωση x2 - x - 1 = 0 ή την εξίσωση y2 + y - 1 = 0. Οι ρίζες αυτών των τετραγωνικών εξισώσεων μπορούν να γραφτούν σε τριγωνομετρική μορφή:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Αυτή η αντισυμβατική μορφή αναπαράστασης των ριζών των εξισώσεων δείχνει ότι αυτοί οι ρόμβοι μπορούν να ονομαστούν στενοί και φαρδιοί χρυσοί ρόμβοι.

Στο μωσαϊκό Penrose, το επίπεδο καλύπτεται με χρυσούς ρόμβους χωρίς κενά ή επικαλύψεις και μπορεί να επεκταθεί άπειρα σε μήκος και πλάτος. Αλλά για να χτιστεί ένα άπειρο μωσαϊκό, πρέπει να ακολουθηθούν ορισμένοι κανόνες, οι οποίοι διαφέρουν σημαντικά από τη μονότονη επανάληψη πανομοιότυπων στοιχειωδών κυψελών που συνθέτουν έναν κρύσταλλο. Εάν παραβιαστεί ο κανόνας για την προσαρμογή των χρυσών διαμαντιών, τότε μετά από κάποιο χρονικό διάστημα η ανάπτυξη του μωσαϊκού θα σταματήσει, καθώς θα εμφανιστούν ανεπανόρθωτες ασυνέπειες.

Στο άπειρο μωσαϊκό του Penrose, οι χρυσοί ρόμβοι είναι διατεταγμένοι χωρίς αυστηρή περιοδικότητα. Ωστόσο, η αναλογία του αριθμού των πλατιών χρυσών διαμαντιών προς τον αριθμό των στενών χρυσών διαμαντιών είναι ακριβώς ίση με τον χρυσό αριθμό D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Δεδομένου ότι ο αριθμός D είναι παράλογος, σε ένα τέτοιο μωσαϊκό είναι αδύνατο να επιλέξετε ένα στοιχειώδες κελί με έναν ακέραιο αριθμό ρόμβων κάθε τύπου, η μετάφραση του οποίου θα μπορούσε να λάβει ολόκληρο το μωσαϊκό.

Το μωσαϊκό Penrose έχει επίσης τη δική του ιδιαίτερη γοητεία ως αντικείμενο ψυχαγωγικών μαθηματικών. Χωρίς να υπεισέλθουμε σε όλες τις πτυχές αυτού του ζητήματος, σημειώνουμε ότι ακόμη και το πρώτο βήμα - η κατασκευή ενός μωσαϊκού - είναι αρκετά ενδιαφέρον, καθώς απαιτεί προσοχή, υπομονή και μια συγκεκριμένη ευφυΐα. Και μπορείτε να δείξετε πολλή δημιουργικότητα και φαντασία αν κάνετε το μωσαϊκό πολύχρωμο. Ο χρωματισμός, ο οποίος μετατρέπεται αμέσως σε παιχνίδι, μπορεί να γίνει με πολλούς πρωτότυπους τρόπους, παραλλαγές των οποίων παρουσιάζονται στις εικόνες (παρακάτω). Η λευκή κουκκίδα σηματοδοτεί το κέντρο του μωσαϊκού, μια περιστροφή γύρω από την οποία κατά 72° το μετατρέπει στον εαυτό του.

Το μωσαϊκό Penrose είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πώς μια όμορφη κατασκευή, που βρίσκεται στη διασταύρωση διαφόρων επιστημονικών κλάδων, βρίσκει αναγκαστικά τη δική της εφαρμογή. Εάν τα κομβικά σημεία αντικατασταθούν από άτομα, το μωσαϊκό Penrose γίνεται καλό ανάλογο ενός δισδιάστατου οιονεί κρυστάλλου, καθώς έχει πολλές ιδιότητες χαρακτηριστικές αυτής της κατάστασης της ύλης. Και να γιατί.

Πρώτον, η κατασκευή του μωσαϊκού υλοποιείται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο, ως αποτέλεσμα του οποίου αποδεικνύεται ότι δεν είναι μια τυχαία, αλλά μια διατεταγμένη δομή. Οποιοδήποτε πεπερασμένο τμήμα του εμφανίζεται αμέτρητες φορές σε όλο το μωσαϊκό.

Δεύτερον, στο μωσαϊκό μπορεί κανείς να διακρίνει πολλά κανονικά δεκάγωνα που έχουν ακριβώς τους ίδιους προσανατολισμούς. Δημιουργούν μια σειρά προσανατολισμού μεγάλης εμβέλειας, που ονομάζεται οιονείπεριοδική. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια αλληλεπίδραση μεταξύ απομακρυσμένων δομών μωσαϊκού που συντονίζει τη θέση και τον σχετικό προσανατολισμό των διαμαντιών με έναν πολύ συγκεκριμένο, αν και διφορούμενο, τρόπο.

Τρίτον, εάν ζωγραφίσετε διαδοχικά όλους τους ρόμβους με πλευρές παράλληλες προς οποιαδήποτε επιλεγμένη κατεύθυνση, θα σχηματίσουν μια σειρά από διακεκομμένες γραμμές. Κατά μήκος αυτών των διακεκομμένων γραμμών, μπορείτε να σχεδιάσετε ευθείες παράλληλες γραμμές που απέχουν μεταξύ τους περίπου στην ίδια απόσταση. Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, μπορούμε να μιλήσουμε για κάποια μεταφραστική συμμετρία στο μωσαϊκό Penrose.

Τέταρτον, τα διαδοχικά σκιασμένα διαμάντια σχηματίζουν πέντε οικογένειες παρόμοιων παράλληλων γραμμών που τέμνονται σε γωνίες που είναι πολλαπλάσιες των 72°. Οι κατευθύνσεις αυτών των διακεκομμένων γραμμών αντιστοιχούν στις κατευθύνσεις των πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου. Επομένως, το μωσαϊκό Penrose έχει, σε κάποιο βαθμό, περιστροφική συμμετρία 5ης τάξης και από αυτή την άποψη είναι παρόμοιο με έναν οιονεί κρύσταλλο.

Αλγόριθμος για την κατασκευή ψηφιδωτών Penrose – μοντέλων και οιονεί κρυστάλλων

Φοιτητής
Βλαντιμίρ Κρατικό Πανεπιστήμιο που πήρε το όνομά του

A. G. και, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο,
Σχολή Φυσικής και Μαθηματικών, Βλαντιμίρ, Ρωσία
E-mail:*****@****com

Οι οιονεί κρύσταλλοι είναι ένας τύπος στερεού που ανακαλύφθηκε σχετικά πρόσφατα, ενδιάμεσος μεταξύ κρυστάλλων και άμορφων στερεών. Η εμφάνισή τους σχετίζεται με ουσίες που ανακαλύφθηκαν πειραματικά το 1982 που δίνουν ένα μοτίβο περίθλασης με λειτουργικές κορυφές Bragg και συμμετρία ασύμβατη με το μεταφραστικό πλέγμα. Για την ανακάλυψή τους, ο Ισραηλινός φυσικός και χημικός Dan Shechtman έλαβε το βραβείο Νόμπελ το 2011.

Τα μη περιοδικά σημειακά συστήματα με τάξη μεγάλης εμβέλειας χρησιμοποιούνται συνήθως ως μαθηματικά μοντέλα οιονεί κρυστάλλων. Τέτοιοι μαθηματικοί οιονεί κρύσταλλοι, σε αντίθεση με τους φυσικούς, μπορούν να οριστούν σε οποιαδήποτε διάσταση.

Ένα δισδιάστατο μοντέλο οιονεί κρυστάλλου είναι το μωσαϊκό Penrose, το οποίο μελετήθηκε από μαθηματικούς ακόμη και πριν από την ανακάλυψη των οιονεί κρυστάλλων. Το μωσαϊκό Penrose δεν είναι περιοδικό διαμέρισμα, αφού δεν μεταμορφώνεται στον εαυτό του με παράλληλες μεταφορές - μεταφράσεις. Ωστόσο, υπάρχει μια αυστηρή σειρά σε αυτό, που καθορίζεται από τον αλγόριθμο για την κατασκευή αυτού του διαμερίσματος.

Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για τον ορισμό των μαθηματικών οιονεί κρυστάλλων. Η πιο γνωστή προσέγγιση βασίζεται στην προβολή δικτυωμάτων από χώρους υψηλότερων διαστάσεων σε χώρους χαμηλότερων διαστάσεων, η οποία ονομάζεται "σύνολα μοντέλων". Όταν εφαρμόζεται σε πλακάκια Penrose, αυτή η προσέγγιση ονομάζεται μέθοδος Baaki.

Αυτή η μέθοδος είναι πιο βολική για τη μελέτη και την ανάλυση του σχεδίου περίθλασης των οιονεί κρυστάλλων τόσο από θεωρητική άποψη όσο και από την άποψη αλγορίθμων υπολογιστών. Με βάση αυτή την ανάλυση, μπορούν να εξαχθούν μεταγενέστερα συμπεράσματα σχετικά με τις ιδιότητες των οιονεί κρυστάλλων.

Για να αναλύσουμε τις ιδιότητες του μωσαϊκού Penrose, γράψαμε ένα πρόγραμμα υπολογιστή χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Baaki, σύμφωνα με τον οποίο προσδιορίζεται το παράθυρο https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, όπου .

Ορίζει https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , πού είναι η χρυσή τομή. Στη συνέχεια, οι προβολές των σημείων επάνω το σετ μοντέλων θα είναι ως εξής: και όπου https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23"> Οι κορυφές συνδέονται με μια ακμή όταν η απόσταση μεταξύ τους είναι 1. Έτσι, κατασκευάζεται ένα μωσαϊκό Penrose χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο.

Ανακαλύψαμε ότι η μέθοδος του Baaki δεν είναι απολύτως ακριβής και το διαμέρισμα που προκύπτει δεν είναι ακριβώς ένα διαμέρισμα Penrose, αφού εμφανίζονται «έξτρα» κορυφές και άκρες του διαμερίσματος. Αποδείχθηκε ότι αυτή η κατασκευή είναι σωστή μέχρι τις κορυφές και τα όρια των πενταγώνων.

Χρησιμοποιώντας ένα πείραμα υπολογιστή, ήταν δυνατό να τελειοποιηθεί η μέθοδος Baaki, με αποτέλεσμα ένα μωσαϊκό Penrose (Εικ. 1):

Εικ. 1 Μωσαϊκό Penrose που ελήφθη χρησιμοποιώντας μια τροποποίηση του αλγόριθμου Baaki

Η μέθοδος που περιγράφεται παραπάνω για την κατασκευή ενός πλακιδίου Penrose ονομάζεται αδύναμη παραμετροποίηση του πλακιδίου Penrose.

Υπάρχει μια άλλη μέθοδος κατασκευής - ισχυρή παραμετροποίηση των κορυφών του διαμερίσματος, όπου μπορείτε να λάβετε τις παραμέτρους των γειτονικών κορυφών χρησιμοποιώντας την παράμετρο μιας δεδομένης κορυφής. Ολόκληρο το σύνολο των παραμέτρων χωρίζεται σε πολύγωνα, σε καθένα από τα οποία ορίζεται μοναδικά το πρώτο τοπικό περιβάλλον του σημείου, καθώς και ένα αστέρι που αποτελείται από διανύσματα που συνδέουν το σημείο με γειτονικά σημεία.

Το 1973, ο Άγγλος μαθηματικός Roger Penrose δημιούργησε ένα ειδικό μωσαϊκό γεωμετρικών σχημάτων, το οποίο έγινε γνωστό ως το μωσαϊκό Penrose.
Το μωσαϊκό Penrose είναι ένα σχέδιο συναρμολογημένο από πολυγωνικά πλακίδια δύο συγκεκριμένων σχημάτων (ελαφρώς διαφορετικοί ρόμβοι). Μπορούν να στρώσουν ένα ατελείωτο αεροπλάνο χωρίς κενά.

Μωσαϊκό Penrose σύμφωνα με τον δημιουργό του.
Συναρμολογείται από δύο τύπους ρόμβων,
το ένα με γωνία 72 μοιρών, το άλλο με γωνία 36 μοίρες.
Η εικόνα αποδεικνύεται συμμετρική, αλλά όχι περιοδική.

Η εικόνα που προκύπτει μοιάζει σαν να είναι κάποιο είδος «ρυθμικού» στολίδι - μια εικόνα με μεταφραστική συμμετρία. Αυτός ο τύπος συμμετρίας σημαίνει ότι μπορείτε να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο κομμάτι σε ένα μοτίβο που μπορεί να «αντιγραφεί» σε ένα επίπεδο και στη συνέχεια να συνδυάσετε αυτά τα «διπλότυπα» μεταξύ τους με παράλληλη μεταφορά (με άλλα λόγια, χωρίς περιστροφή και χωρίς μεγέθυνση).

Ωστόσο, αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι το μοτίβο Penrose δεν έχει τέτοιες επαναλαμβανόμενες δομές - είναι απεριοδικό. Αλλά το θέμα δεν είναι μια οπτική ψευδαίσθηση, αλλά το γεγονός ότι το μωσαϊκό δεν είναι χαοτικό: έχει περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης.

Αυτό σημαίνει ότι η εικόνα μπορεί να περιστραφεί κατά ελάχιστη γωνία ίση με 360 / n μοίρες, όπου n είναι η τάξη συμμετρίας, σε αυτήν την περίπτωση n = 5. Επομένως, η γωνία περιστροφής, που δεν αλλάζει τίποτα, πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των 360 / 5 = 72 μοίρες.

Για περίπου μια δεκαετία, η εφεύρεση του Penrose δεν θεωρούνταν τίποτα περισσότερο από μια χαριτωμένη μαθηματική αφαίρεση. Ωστόσο, το 1984, ο Dan Shechtman, καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας του Ισραήλ (Technion), ενώ μελετούσε τη δομή ενός κράματος αλουμινίου-μαγνησίου, ανακάλυψε ότι η περίθλαση συμβαίνει στο ατομικό πλέγμα αυτής της ουσίας.

Προηγούμενες ιδέες που υπήρχαν στη φυσική στερεάς κατάστασης απέκλειαν αυτήν την πιθανότητα: η δομή του σχεδίου περίθλασης έχει συμμετρία πέμπτης τάξης. Τα μέρη του δεν μπορούν να συνδυαστούν με παράλληλη μεταφορά, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι καθόλου κρύσταλλος. Αλλά η περίθλαση είναι χαρακτηριστική ενός κρυσταλλικού πλέγματος! Οι επιστήμονες συμφώνησαν ότι αυτή η επιλογή θα ονομαζόταν οιονεί κρύσταλλοι - κάτι σαν μια ειδική κατάσταση της ύλης. Λοιπόν, η ομορφιά της ανακάλυψης είναι ότι ένα μαθηματικό μοντέλο για αυτό ήταν από καιρό έτοιμο - το μωσαϊκό Penrose.

Και πολύ πρόσφατα έγινε σαφές ότι αυτή η μαθηματική κατασκευή είναι πολύ πιο παλιά από ό,τι θα μπορούσε κανείς να φανταστεί. Το 2007, ο Peter J. Lu, ένας φυσικός από το Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, μαζί με έναν άλλο φυσικό, τον Paul J. Steinhardt, αλλά από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, δημοσίευσαν ένα άρθρο στο Science για τα μωσαϊκά Penrose. Φαίνεται ότι υπάρχουν λίγα απροσδόκητα εδώ: η ανακάλυψη οιονεί κρυστάλλων προσέλκυσε έντονο ενδιαφέρον για αυτό το θέμα, το οποίο οδήγησε στην εμφάνιση μιας δέσμης δημοσιεύσεων στον επιστημονικό τύπο.

Ωστόσο, το αποκορύφωμα της εργασίας είναι ότι δεν είναι αφιερωμένο στη σύγχρονη επιστήμη. Και γενικά - όχι επιστήμη. Ο Peter Lu επέστησε την προσοχή στα σχέδια που καλύπτουν τα τζαμιά στην Ασία, που χτίστηκαν τον Μεσαίωνα. Αυτά τα εύκολα αναγνωρίσιμα σχέδια είναι κατασκευασμένα από ψηφιδωτά πλακάκια. Ονομάζονται girihi (από την αραβική λέξη που σημαίνει «κόμπος») και είναι ένα γεωμετρικό σχέδιο χαρακτηριστικό της ισλαμικής τέχνης και αποτελείται από πολυγωνικά σχήματα.

Ένα παράδειγμα διάταξης πλακιδίων που εμφανίζεται σε αραβικό χειρόγραφο του 15ου αιώνα.
Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν χρώματα για να τονίσουν επαναλαμβανόμενες περιοχές.
Όλα τα γεωμετρικά μοτίβα είναι χτισμένα με βάση αυτά τα πέντε στοιχεία.
μεσαιωνικοί Άραβες δάσκαλοι. Επαναλαμβανόμενα στοιχεία
δεν συμπίπτουν απαραίτητα με τα όρια των πλακιδίων.

Υπάρχουν δύο στυλ στο ισλαμικό στολίδι: γεωμετρικό - girikh, και floral - islimi.
Girikh(pers.) - ένα σύνθετο γεωμετρικό σχέδιο που αποτελείται από γραμμές σχηματοποιημένες σε ορθογώνια και πολυγωνικά σχήματα. Στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιείται για την εξωτερική διακόσμηση τζαμιών και βιβλίων σε μεγάλες εκδόσεις.
Ισλίμη(pers.) – ένα είδος στολιδιού που χτίζεται πάνω στο συνδυασμό ζιζανίων και σπείρας. Ενσωματώνει σε στυλιζαρισμένη ή νατουραλιστική μορφή την ιδέα ενός συνεχώς εξελισσόμενου ανθοφόρου φυλλώματος και περιλαμβάνει μια ατελείωτη ποικιλία επιλογών. Είναι πιο διαδεδομένο σε ρούχα, βιβλία, εσωτερική διακόσμηση τζαμιών και πιάτα.

Εξώφυλλο του Κορανίου του 1306-1315 και σχέδιο γεωμετρικών θραυσμάτων,
στο οποίο βασίζεται το μοτίβο. Αυτό και τα ακόλουθα παραδείγματα δεν ταιριάζουν
Πλέγματα Penrose, αλλά έχουν περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης

Πριν από την ανακάλυψη του Peter Lu, πίστευαν ότι οι αρχαίοι αρχιτέκτονες δημιούργησαν μοτίβα giriha χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και μια πυξίδα (αν όχι από έμπνευση). Ωστόσο, πριν από μερικά χρόνια, ενώ ταξίδευε στο Ουζμπεκιστάν, ο Λου άρχισε να ενδιαφέρεται για τα ψηφιδωτά μοτίβα που κοσμούσαν την τοπική μεσαιωνική αρχιτεκτονική και παρατήρησε κάτι οικείο σε αυτά. Επιστρέφοντας στο Χάρβαρντ, ο επιστήμονας άρχισε να εξετάζει παρόμοια μοτίβα σε ψηφιδωτά στους τοίχους μεσαιωνικών κτιρίων στο Αφγανιστάν, το Ιράν, το Ιράκ και την Τουρκία.

Αυτό το παράδειγμα χρονολογείται σε μεταγενέστερη περίοδο - 1622 (ινδικό τζαμί).
Κοιτώντας το και το σχέδιο της δομής του, δεν μπορεί παρά να θαυμάσει κανείς τη σκληρή δουλειά
ερευνητές. Και, φυσικά, οι ίδιοι οι κύριοι.

Ο Peter Lu ανακάλυψε ότι τα γεωμετρικά σχέδια των girikh ήταν σχεδόν πανομοιότυπα και ήταν σε θέση να αναγνωρίσει τα βασικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται σε όλα τα γεωμετρικά σχέδια. Επιπλέον, βρήκε σχέδια αυτών των εικόνων σε αρχαία χειρόγραφα, τα οποία οι αρχαίοι καλλιτέχνες χρησιμοποιούσαν ως ένα είδος φύλλου για τη διακόσμηση των τοίχων.
Για να δημιουργήσουν αυτά τα μοτίβα, χρησιμοποίησαν όχι απλά, τυχαία επινοημένα περιγράμματα, αλλά φιγούρες που ήταν διατεταγμένες με μια συγκεκριμένη σειρά. Τα αρχαία σχέδια αποδείχτηκαν ακριβείς κατασκευές ψηφιδωτών Penrose!

Αυτές οι εικόνες υπογραμμίζουν τις ίδιες περιοχές,
αν και πρόκειται για φωτογραφίες από διάφορα τζαμιά

Στην ισλαμική παράδοση, υπήρχε αυστηρή απαγόρευση στην απεικόνιση ανθρώπων και ζώων, έτσι τα γεωμετρικά σχέδια έγιναν πολύ δημοφιλή στο σχεδιασμό των κτιρίων. Οι μεσαιωνικοί δάσκαλοι κατάφεραν με κάποιο τρόπο να το κάνουν ποικιλόμορφο. Κανείς όμως δεν ήξερε ποιο ήταν το μυστικό της «στρατηγικής» τους. Έτσι, το μυστικό αποδεικνύεται ότι είναι στη χρήση ειδικών μωσαϊκών που μπορούν, ενώ παραμένουν συμμετρικά, να γεμίσουν το αεροπλάνο χωρίς να επαναλαμβάνονται.

Ένα άλλο «κόλπο» αυτών των εικόνων είναι ότι, «αντιγράφοντας» τέτοια σχέδια σε διάφορους ναούς σύμφωνα με σχέδια, οι καλλιτέχνες θα έπρεπε αναπόφευκτα να επιτρέψουν παραμορφώσεις. Αλλά οι παραβιάσεις αυτής της φύσης είναι ελάχιστες. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί μόνο από το γεγονός ότι δεν υπήρχε νόημα σε σχέδια μεγάλης κλίμακας: το κύριο πράγμα είναι η αρχή με την οποία χτίζεται η εικόνα.

Για τη συναρμολόγηση των girikh χρησιμοποιήθηκαν πέντε είδη πλακιδίων (δεκα- και πενταγωνικοί ρόμβοι και «πεταλούδες»), τα οποία συναρμολογήθηκαν σε ένα μωσαϊκό δίπλα στο άλλο χωρίς ελεύθερο χώρο μεταξύ τους. Τα μωσαϊκά που δημιουργήθηκαν από αυτά θα μπορούσαν να έχουν είτε περιστροφική και μεταφορική συμμετρία ταυτόχρονα, είτε μόνο περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης (δηλαδή, ήταν μωσαϊκά Penrose).

Θραύσμα από το στολίδι του ιρανικού μαυσωλείου του 1304. Δεξιά – ανακατασκευή γηρίχων

Αφού εξέτασαν εκατοντάδες φωτογραφίες μεσαιωνικών μουσουλμανικών τοποθεσιών, ο Lu και ο Steinhardt μπόρεσαν να χρονολογήσουν την τάση στον 13ο αιώνα. Σταδιακά αυτή η μέθοδος απέκτησε αυξανόμενη δημοτικότητα και μέχρι τον 15ο αιώνα έγινε ευρέως διαδεδομένη. Η χρονολόγηση συμπίπτει περίπου με την περίοδο ανάπτυξης της τεχνικής της διακόσμησης ανακτόρων, τζαμιών και διαφόρων σημαντικών κτιρίων με εφυαλωμένα έγχρωμα κεραμικά πλακίδια σε σχήμα διαφόρων πολυγώνων. Δηλαδή, κεραμικά πλακίδια ειδικών σχημάτων δημιουργήθηκαν ειδικά για γκίριχ.

Οι ερευνητές θεώρησαν το ιερό του Ιμάμ Darb-i στην ιρανική πόλη Ισφαχάν, που χρονολογείται από το 1453, ως παράδειγμα σχεδόν ιδανικής οιονεί κρυσταλλικής δομής.

Πύλη του ναού του Ιμάμ Darb-i στο Ισφαχάν (Ιράν).
Εδώ δύο συστήματα των girikh επιτίθενται το ένα πάνω στο άλλο.

Στήλη από την αυλή ενός τζαμιού στην Τουρκία (περίπου 1200)
και τα τείχη ενός μεντρεσά στο Ιράν (1219). Αυτά είναι πρώιμα έργα
και χρησιμοποιούν μόνο δύο δομικά στοιχεία που βρέθηκαν από τον Lu

Τώρα μένει να βρούμε απαντήσεις σε μια σειρά από μυστήρια στην ιστορία του Girikh και των ψηφιδωτών Penrose. Πώς και γιατί οι αρχαίοι μαθηματικοί ανακάλυψαν οιονεί κρυσταλλικές δομές; Οι μεσαιωνικοί Άραβες έδιναν στα ψηφιδωτά άλλο νόημα εκτός από καλλιτεχνικό; Γιατί μια τόσο ενδιαφέρουσα μαθηματική έννοια ξεχάστηκε για μισή χιλιετία; Και το πιο ενδιαφέρον είναι ποιες άλλες σύγχρονες ανακαλύψεις είναι νέες, που στην πραγματικότητα είναι ξεχασμένες παλιές;

Προβολές: 367

Στο τεύχος Φεβρουαρίου 2007 του περιοδικού Science, εμφανίστηκε ένα άρθρο των Αμερικανών επιστημόνων Peter Lu και Paul Steinhardt σχετικά με τη μεσαιωνική ισλαμική αρχιτεκτονική, το οποίο έγινε αμέσως επιστημονική αίσθηση. Σύμφωνα με τους συντάκτες του άρθρου, τα ψηφιδωτά μοτίβα που διακοσμούν τους τοίχους των μεσαιωνικών μαυσωλείων, τζαμιών και παλατιών κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας μαθηματικούς νόμους που ανακαλύφθηκαν από Ευρωπαίους επιστήμονες μόλις στη δεκαετία του '70 του εικοστού αιώνα. Από εδώ προκύπτει σαφώς ότι οι μεσαιωνικοί αρχιτέκτονες ήταν αρκετοί αιώνες μπροστά από τους Ευρωπαίους συναδέλφους τους.

Αυτή η ανακάλυψη, όπως πολλά πράγματα στη σύγχρονη επιστήμη, έγινε εντελώς τυχαία. Το 2005, ο μεταπτυχιακός φοιτητής του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ Peter Lu ήρθε στο Ουζμπεκιστάν ως τουρίστας. Θαυμάζοντας τη διακόσμηση τοίχων του μαυσωλείου Abdullakhan στη Μπουχάρα, είδε σε αυτό ένα ανάλογο των περίπλοκων γεωμετρικών δομών που είχε σπουδάσει κάποτε στο πανεπιστήμιο. Οι περίεργες μορφές μοτίβων σε πολλά στολίδια της Σαμαρκάνδης επιβεβαίωσαν μόνο την ορθότητα της εικασίας του. Όταν επέστρεψε στο σπίτι, είπε στον επιβλέποντα της διατριβής του, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, Paul Steinhardt, για την ανακάλυψή του.

Μια διεξοδική μελέτη της δομής των τοιχογραφιών και της διακόσμησης μεσαιωνικών μουσουλμανικών αρχιτεκτονικών μνημείων στο Ουζμπεκιστάν, το Αφγανιστάν, το Ιράν, το Ιράκ, την Τουρκία και την Ινδία επιβεβαίωσε την ορθότητα της εικασίας του Peter Lu και έγινε το αντικείμενο του εντυπωσιακού άρθρου που αναφέρθηκε παραπάνω.

Για να κατανοήσει κανείς το νόημα της ανακάλυψης των Peter Lu και Paul Steinhadt, θα πρέπει να εξοικειωθεί με έννοιες όπως το πρόβλημα του παρκέ, η οιονεί κρυσταλλική δομή, ο χρυσός αριθμός κ.λπ. Επομένως, ας ξεκινήσουμε την παρουσίαση με τη σειρά.

Το πρόβλημα του παρκέ και οι κατασκευές Penrose

Στα μαθηματικά, το πρόβλημα της πλήρους πλήρωσης ενός επιπέδου με πολύγωνα χωρίς κενά ή επικαλύψεις ονομάζεται παρκέ. Ακόμη και οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι αυτό το πρόβλημα λύθηκε εύκολα καλύπτοντας το επίπεδο με κανονικά τρίγωνα, τετράγωνα και εξάγωνα.

Ταυτόχρονα, τα κανονικά πεντάγωνα δεν μπορούν να χρησιμεύσουν ως στοιχειώδη στοιχεία παρκέ, καθώς δεν μπορούν να τοποθετηθούν σφιχτά μεταξύ τους σε ένα επίπεδο χωρίς κενά. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για επτά-, οκτώ-, εννιά-, δέκα-, κ.λπ. τετράγωνα. Σταδιακά, εφευρέθηκαν τρόποι για να γεμίσει το επίπεδο με κανονικά πολύγωνα διαφορετικών τύπων και μεγεθών. Για παράδειγμα, έτσι μπορείτε να γεμίσετε ένα επίπεδο συνδυάζοντας τετράπλευρα και οκτάγωνα διαφορετικών μεγεθών:

Μια πολύ πιο περίπλοκη εξέλιξη αυτού του προβλήματος ήταν η προϋπόθεση ότι η δομή του παρκέ, που αποτελείται από διάφορους τύπους πολυγώνων και καλύπτει πλήρως το επίπεδο, δεν θα ήταν αρκετά «κανονική» ή «σχεδόν» περιοδική. Για πολύ καιρό πίστευαν ότι αυτό το πρόβλημα δεν είχε λύση. Ωστόσο, στη δεκαετία του '60 του περασμένου αιώνα λύθηκε τελικά, αλλά αυτό απαιτούσε ένα σύνολο χιλιάδων πολυγώνων διαφόρων τύπων. Βήμα προς βήμα, ο αριθμός των ειδών μειώθηκε και τελικά, στα μέσα της δεκαετίας του '70, ο καθηγητής του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Roger Penrose έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μόνο δύο τύπους διαμαντιών. Παρακάτω φαίνεται μια παραλλαγή ημιπεριοδικής (δηλαδή σχεδόν περιοδικής) πλήρωσης του επιπέδου με ρόμβους με οξείες γωνίες 72 και 36°. Ονομάζονται επίσης «παχιά» και «λεπτά» διαμάντια.

Για να αποκτήσετε ένα μη περιοδικό μοτίβο κατά την τακτοποίηση διαμαντιών, θα πρέπει να τηρείτε ορισμένους μη τετριμμένους κανόνες για το συνδυασμό τους. Αποδείχθηκε ότι αυτή η φαινομενικά απλή δομή έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Για παράδειγμα, αν πάρουμε την αναλογία του αριθμού των λεπτών ρόμβων προς τον αριθμό των παχύτερων, τότε αποδεικνύεται ότι είναι πάντα ίση με τη λεγόμενη «χρυσή αναλογία» 1,618... Αφού αυτός ο αριθμός δεν είναι «ακριβής» , και όπως λένε οι μαθηματικοί, παράλογη, η δομή αποδεικνύεται ότι δεν είναι περιοδική, αλλά σχεδόν περιοδική. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός καθορίζει τη σχέση μεταξύ των τμημάτων μέσα στα δεκάγωνα που σχηματίζουν ένα πεντάκτινο αστέρι - ένα πεντάγραμμο, το οποίο θεωρείται ένα γεωμετρικό σχήμα με ιδανικές αναλογίες. Σημειώστε ότι τα επισημασμένα δεκάγωνα έχουν τον ίδιο προσανατολισμό, ο οποίος συντονίζει και καθορίζει τη διάταξη των διαμαντιών που συνθέτουν τα πλακάκια Penrose. Είναι εκπληκτικό ότι αυτή η καθαρά γεωμετρική κατασκευή αποδείχθηκε ότι ήταν το καταλληλότερο μαθηματικό μοντέλο για την περιγραφή των οιονεί κρυστάλλων που ανακαλύφθηκαν το 1984.

Τι είναι οι οιονεί κρύσταλλοι

Συμπεριλάβαμε αυτή την ενότητα στο άρθρο μας για να πούμε μια άλλη ενδιαφέρουσα ιστορία για το πώς μια μαθηματική κατασκευή, που ήταν καρπός της καθαρής φαντασίας των επιστημόνων, βρήκε απροσδόκητα σημαντική πρακτική εφαρμογή.

Όλες οι ουσίες στη φύση μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους: άμορφες, στις οποίες δεν υπάρχει κανονικότητα στην αμοιβαία διάταξη των ατόμων, και κρυσταλλικές, που χαρακτηρίζονται από την αυστηρά διατεταγμένη διάταξή τους. Από τους νόμους της κρυσταλλογραφίας προκύπτει ότι για τους κρυστάλλους είναι δυνατοί μόνο άξονες συμμετρίας πρώτης, δεύτερης, τρίτης, τέταρτης και έκτης τάξης, δηλ. Κατ' αναλογία με το παρκέ, κρύσταλλοι με συμμετρία πέμπτης τάξης δεν μπορούν να υπάρχουν στη φύση. Αυτή η περίσταση αποδείχθηκε αυστηρά με βάση τη μαθηματική θεωρία των ομάδων σε πολυδιάστατους χώρους. Αλλά η φύση, όπως πάντα, αποδείχθηκε πολύ πιο εφευρετική και το 1984 δημοσιεύτηκε η εργασία της ομάδας του Shekhtman, η οποία ανέφερε την ανακάλυψη ενός κράματος αλουμινίου-μαγγανίου με περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης. Στη συνέχεια, συντέθηκαν πολλά παρόμοια κράματα με άγνωστες μέχρι τώρα ιδιότητες. Αυτά τα κράματα ονομάζονταν οιονεί κρύσταλλοι και πλέον θεωρούνται ενδιάμεσα μεταξύ άμορφων και κρυσταλλικών μορφών ύλης.

Χάρη σε αυτήν την ανακάλυψη, η γεωμετρική κατασκευή του Penrose, η οποία αποδείχθηκε ότι ήταν το καταλληλότερο εργαλείο για τη μοντελοποίηση της δομής των οιονεί κρυστάλλων, κέρδισε μεγάλη δημοτικότητα και αναπτύχθηκε περαιτέρω. Και γι' αυτό περιλαμβάνεται στα πανεπιστημιακά μαθήματα. Προς το παρόν, έχει ήδη επιτευχθεί μια τρισδιάστατη γενίκευση του μωσαϊκού Penrose, που αποτελείται από λεπτά και χοντρά ρομβοέδρια - εξαγωνικές φιγούρες, κάθε όψη των οποίων είναι ένας ρόμβος.

Ποια γεωμετρία βρίσκεται κάτω από τα μεσαιωνικά ψηφιδωτά

Αφού ανέλυσαν περίπου 3.700 ψηφιδωτά πλακίδια, οι Lu και Steinhardt κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι στις αρχές του 13ου αιώνα, η τεχνολογία της διακόσμησης μαυσωλείων, τζαμιών και άλλων κτιρίων με περιοδικά ψηφιδωτά που αποτελούνται από ένα σύνολο πέντε πολυγώνων, δηλαδή ένα δεκάγωνο, ένα εξάγωνο, και ένα παπιγιόν, είχαν εξαπλωθεί σε όλες τις μουσουλμανικές χώρες (ορολογία των συντακτών του άρθρου), πεντάγωνο και ρόμβος. Ουσιαστικά, αυτή ήταν μια λύση στο πρόβλημα του παρκέ που περιγράφηκε παραπάνω χρησιμοποιώντας ένα σύνολο πέντε «μουσουλμανικών» πολυγώνων. Τα μοτίβα που αποτελούνται από τέτοια πολύγωνα ονομάζονται "girikh" (από τα περσικά - κόμπος).

Σημειώστε ότι οι όψεις όλων των πολυγώνων έχουν τις ίδιες διαστάσεις, γεγονός που τους επιτρέπει να ενωθούν σε οποιαδήποτε πλευρά. Επιπλέον, κάθε πλακίδιο πολυγώνου έχει διακοσμητικές γραμμές, αλλά σχεδιάζονται σύμφωνα με αυστηρούς γεωμετρικούς κανόνες: οποιεσδήποτε δύο γραμμές σχεδίου συγκλίνουν στο μέσο κάθε πλευράς σε γωνίες 72 ή 108°, δηλ. πολλαπλάσια των 36°. Αυτό διασφαλίζει ότι το σχέδιο παραμένει σταθερό καθώς μετακινείστε από το ένα πλακίδιο στο άλλο.

Για να φτιάξεις ένα τέτοιο μωσαϊκό, αρκούσε να έχεις στη διάθεσή σου μια πυξίδα και έναν χάρακα. Παρεμπιπτόντως, πριν από την ανακάλυψη των Αμερικανών επιστημόνων, πίστευαν ότι οι μεσαιωνικοί δάσκαλοι, όταν δημιουργούσαν τη διακόσμηση των κτιρίων, χρησιμοποιούσαν μόνο τα πιο απλά εργαλεία όπως χάρακα και πυξίδα. Έχει γίνει πλέον προφανές ότι αυτό δεν είναι απολύτως αληθές.

Ο 15ος αιώνας σηματοδοτεί την πιο δημιουργική περίοδο άνθισης της επιστήμης και του πολιτισμού στις χώρες που κυβερνούσαν οι Τιμουρίδες. Ήταν εκείνη τη στιγμή που συνέβη ένα ποιοτικό άλμα στην τέχνη του στολισμού. Αυτό επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι πολλά μελετημένα μνημεία όπως το μαυσωλείο του Darb-e-Imam στο Ιράν, ο τάφος του Haj Abdullah Ansari στο Herat και άλλα ανήκουν στην εποχή των Τιμουρίδων.

Ο συνδυασμός του μωσαϊκού girih, που είχε γίνει παραδοσιακό εκείνη την εποχή, και των γεωμετρικών μορφών «βέλος» και «χαρταετός» (και πάλι με την ορολογία των Lu και Steinhardt) κατέστησε δυνατή τη δημιουργία

μη περιοδικά μοτίβα που θυμίζουν ψηφιδωτά Penrose. Από αυτό προκύπτει ότι μπορεί να χρησιμοποιούσαν πιο εξελιγμένα εργαλεία μέχρι εκείνη την εποχή, αλλά είναι σαφές ότι υπήρξε ένα εννοιολογικό άλμα στις διακοσμητικές τεχνικές τον 15ο αιώνα!

Σε επόμενες συνεντεύξεις μετά τη δημοσίευση του άρθρου, οι Lu και Steinhardt σημείωσαν ότι δεν μπορούσαν να πουν σε ποιο βαθμό οι ίδιοι οι μεσαιωνικοί αρχιτέκτονες κατανοούσαν τις λεπτομέρειες της ανακάλυψής τους, αλλά ότι τη βλέπουν ως ανάλογο των δομών του Penrose. Και είναι απολύτως βέβαιοι ότι αυτό που ανακάλυψαν δεν μπορεί να είναι απλώς κάποια τυχαία σύμπτωση.

Λυρική παρέκβαση

Έγινε. Κατάφερα να κατανοήσω τις περιπλοκές των γεωμετρικών μοτίβων που δίνουν μοναδική ομορφιά στις δημιουργίες των προγόνων μας και ελπίζω σε κάποιο βαθμό να ικανοποιήσω την περιέργεια των συμπατριωτών μας. Φυσικά, κάποιο είδος δυσαρέσκειας παραμένει, γιατί κι εγώ έχω θαυμάσει την ομορφιά και την κομψότητα των στολιδιών της Σαμαρκάνδης εκατοντάδες φορές. Γιατί δεν μου πέρασε ποτέ αυτή η σκέψη; Για να δικαιολογηθώ, μπορώ μόνο να πω ότι όταν η οιονείπεριοδική δομή Penrose συμπεριλήφθηκε στα πανεπιστημιακά μαθήματα, δούλευα ήδη τη διδακτορική μου διατριβή στη στενή μου ειδικότητα. Και ο Peter Lu είναι μόλις 28 ετών και έχει ήδη περάσει από τις δομές Penrose στο πανεπιστήμιο. Φυσικά, το να γνωρίζετε και να αναγνωρίζετε την εκδήλωση κάποιου μοτίβου σε ένα εντελώς απροσδόκητο μέρος είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα, αλλά για να το κάνετε αυτό, πρέπει τουλάχιστον να γνωρίζετε ότι υπάρχει ένας τέτοιος νόμος.

Αλλά δεν είναι αυτό το αντικείμενο αυτής της παρέκκλισης. Μου πήρε δύο μέρες, ή μάλλον δύο άγρυπνες νύχτες, για να καταλάβω την ουσία του άρθρου στο περιοδικό Science, αλλά οι λόγοι για τους οποίους δεν το έκανα νωρίτερα έχουν, μου φαίνεται, ένα βαθύ φιλοσοφικό νόημα. Όταν διάβασα για το άρθρο των Lu και Steinhardt στο Διαδίκτυο, τηλεφώνησα αμέσως στον συνάδελφό μου, ειδικό στον τομέα της γεωμετρίας. Κατάλαβε αμέσως τι συνέβαινε, αλλά με αναστάτωσε λέγοντάς μου ότι τον είχα πιάσει πριν φύγω για το αεροδρόμιο. Έχοντας μάθει ότι επέστρεφε από επαγγελματικό ταξίδι στο εξωτερικό μόνο μετά από τρεις μήνες, του ζήτησα να μου συστήσει τουλάχιστον κάποιο βιβλίο στο οποίο θα μπορούσα να διαβάσω για τις δομές του Penrose. Μου είπε το βιβλίο και πρόσθεσε ότι πρόκειται για πολύ περίπλοκα μαθηματικά και είναι απίθανο να είναι δυνατό να κατανοηθούν γρήγορα τα πάντα, πολύ λιγότερο να τα εξηγήσουμε δημοφιλώς στους απλούς ανθρώπους. Όταν ξεφύλλισα το βιβλίο που μου συνέστησαν, γεμάτο με έννοιες όπως πολυδιάστατοι αμετάβλητοι χώροι, χώρος παράγοντας συζυγούς παράλογου χώρου, ο ενθουσιασμός μου έσβησε γρήγορα.

Μετά το ρεπορτάζ του ειδησεογραφικού πρακτορείου Jahon, το ενδιαφέρον της επιστημονικής μας και όχι μόνο επιστημονικής κοινότητας για το θέμα αυτό άρχισε να μεγαλώνει σαν χιονοστιβάδα. Μεταξύ των λόγιων ανδρών της Ακαδημίας Επιστημών και του Εθνικού Πανεπιστημίου, φυσικά, υπήρχαν ειδικοί που κατανοούσαν πολύπλοκα ζητήματα της άλγεβρας του Ψέματος, της θεωρίας των ομάδων, των πολυδιάστατων συμμετριών κ.λπ. Αλλά ήταν όλοι ομόφωνοι στη γνώμη τους ότι ήταν αδύνατο να εξηγηθούν αυτά τα πράγματα δημοφιλώς. Τις προάλλες μου πέρασε ξαφνικά μια ασήμαντη σκέψη: Περίμενε. Πώς όμως οι μεσαιωνικοί αρχιτέκτονες το σκέφτηκαν αυτό, επειδή δεν είχαν την πιο ισχυρή συσκευή των σύγχρονων μαθηματικών; Αυτή τη φορά αποφάσισα να προσπαθήσω να το καταλάβω αυτό όχι μέσω της περίπλοκης μαθηματικής συσκευής της οιονείπεριοδικής δομής Penrose, που αποδείχτηκε ένα σκοτεινό δάσος για μένα, αλλά για να ακολουθήσω το μονοπάτι των μεσαιωνικών αρχιτεκτόνων. Πρώτα, κατέβασα το αρχικό άρθρο των Lu και Steinhardt από το Διαδίκτυο. Η μέθοδός τους με εξέπληξε. Για να εξηγήσουν την ουσία της ανακάλυψής τους, πήραν και αυτοί ακριβώς αυτό το μονοπάτι, δηλ. χρησιμοποιώντας την εννοιολογική συσκευή μεσαιωνικών αρχιτεκτόνων και λειτουργώντας με απλά πράγματα όπως μωσαϊκό «girikh», πλακάκια «βέλη», «χαρταετός» κ.λπ.

Το φιλοσοφικό όλων αυτών είναι ότι για να κατανοήσουμε τους νόμους της φύσης (και ίσως της κοινωνίας) δεν είναι απαραίτητο να ακολουθούν όλοι τον ίδιο δρόμο. Η ανθρώπινη σκέψη είναι επίσης πολυδιάστατη. Υπάρχει μια ανατολική προσέγγιση και υπάρχει μια δυτική προσέγγιση. Και καθένα από αυτά έχει το δικαίωμα να υπάρχει, και σε μια συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί απροσδόκητα να αποδειχθεί πιο αποτελεσματικό από το αντίθετο. Αυτό συνέβη σε αυτή την περίπτωση: αυτό που η δυτική επιστήμη κατάφερε να ανακαλύψει με βάση μια τεράστια γενίκευση της ακανθώδους εμπειρίας, η ανατολική επιστήμη το έκανε με βάση τη διαίσθηση και την αίσθηση της ομορφιάς. Και τα αποτελέσματα είναι προφανή: στην πρακτική εφαρμογή των νόμων της γεωμετρίας στην πράξη, οι ανατολικοί στοχαστές ήταν πέντε αιώνες μπροστά από τους δυτικούς!

Shukhrat Egamberdiev.
Αστρονομικό Ινστιτούτο της Ακαδημίας Επιστημών της Δημοκρατίας του Ουζμπεκιστάν.

Το πλήρες κείμενο του άρθρου με έγχρωμες απεικονίσεις μπορείτε να το βρείτε στο επόμενο (το άρθρο γράφτηκε το 2008. ΕΕ) τεύχος του περιοδικού "Fan va turmush" - "Science and Life of Uzbekistan".