Cilj:

1. Znati definiciju antiderivata, glavno svojstvo antiderivata, pravila za pronalaženje antiderivata;
2. Biti u stanju pronaći opći oblik antiderivata;
3. Razviti vještine samokontrole i interesovanje za predmet;
4. Negujte volju i upornost za postizanje konačnih rezultata prilikom izvršavanja zadataka.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

II. Provjera asimilacije proučenog gradiva.

1. Anketirajte pomoću kartica:

A) Formulirajte definiciju antiderivata?
B) Formulirati znak konstantnosti funkcije?
P) Formulirati glavno svojstvo antiderivata?
D) Nastavite frazu "Diferencijacija je ...."
D) Integracija je....
E) Grafovi bilo koja dva antiderivata za funkciju f dobijaju se jedan od drugog…….
G) Da li je ovo ono što je?...

2. Pronađite opći oblik antiderivata za funkciju:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) f (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = sin x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Među datim funkcijama odaberite antiderivativ za funkcije y = - 7x ³

III. Grupni rad

1. grupa - igra pasijans. Na stolovima su izrezane karte. Izmislite sve formule koje znate. Koliko puta ste imali sreće?

2. i 3. grupa - rad sa loto. Zapišite rezultirajuću ključnu riječ.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(ključna riječ – antiderivat)

4. grupa – radi sa ukrštenicom.

Ukrštenica.

pitanja:

2. Kakav je grafik funkcije y = ax + b.

4. Koja se lekcija obično održava prije testa.

5. Sinonim za riječ tuce.

6. Nalazi se u svakoj riječi, u jednačinama i može biti u jednačinama.

7. Šta se može izračunati pomoću formule a b.

8. Jedan od najvažnijih pojmova u matematici.

9. Oblik časa na kojem se provodi provjera znanja.

10. Njemački naučnik koji je uveo integralni račun.

11. Skup tačaka ravni sa koordinatama (x; y), pri čemu x prolazi kroz domen definicije funkcije f.

12. Korespondencije između skupova X i Y, u kojima je svaka vrijednost skupa X povezana s jednom vrijednošću iz skupa Y, naziva se...

Prilikom pravilnog rješavanja ukrštenice pod brojem 1 po vertikali, pročitajte ključnu riječ.

IV. Analiza zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita na ovu temu iz prethodnih godina.

Navedite antiderivat F funkcije f(x) = 3sin x ako je poznato da je F(P) = 1.

V. Samostalni rad.

Grupe 1 i 2 – izvode test.

dio A

A1. Među ovim funkcijama izaberite onu čiji je izvod jednak f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. Naći opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3. Za funkciju f(x) =8x – 3, pronaći antiderivat čiji graf prolazi kroz tačku M (1; 4).

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. Naći opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. Antiderivat za funkciju f(x) = sin x + 3x2 je funkcija

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. Antiderivat za funkciju f(x) = 3sin x je funkcija

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. Antiderivat za funkciju f(x) = cos 2x je funkcija

1) F(x) = 0,5 sin 2x
2) F(x) = 0,5 sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Antiderivat za funkciju f(x) = 2 sinx cosx za funkciju

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. Za funkciju f(x) = 6/cos23x + 1, pronaći antiderivat čiji graf prolazi kroz tačku M (P/3; P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

dio B

U 1. Funkcija F(x) je antiderivat funkcije f(x) = x5 – 3x2 – 2. Pronađite F(1) ako je F(- 1) = 0.

3. i 4. grupa - ispravite grešku.

a) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
c) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
d) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 na (0 ; +)
g) Za funkciju f(x) = 10 sin 2x, pronađite antiderivat čiji graf prolazi kroz tačku M (-3/2P; 0)

VI. Sažetak lekcije.

D/Z br. 348, individualni zadatak: Izlaganje na temu.

Antiderivativna funkcija f(x) između (a; b) ova funkcija se poziva F(x), ta jednakost vrijedi za bilo koje X iz datog intervala.

Ako uzmemo u obzir činjenicu da je derivacija konstante WITH je jednako nuli, onda je jednakost tačna. Dakle, funkcija f(x) ima mnogo primitiva F(x)+C, za proizvoljnu konstantu WITH, a ovi antiderivati ​​se međusobno razlikuju po proizvoljnoj konstantnoj vrijednosti.

Definicija neodređenog integrala.

Čitav skup antiderivativnih funkcija f(x) naziva se neodređenim integralom ove funkcije i označava se .

Izraz se zove integrand, A f(x) – integrand funkcija. Integrand predstavlja diferencijal funkcije f(x).

Akcija pronalaženja nepoznate funkcije s obzirom na njen diferencijal se zove neizvjesno integracija, jer je rezultat integracije više od jedne funkcije F(x), i skup njegovih primitiva F(x)+C.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala. Graf antiderivata D(x) naziva se integralna kriva. U x0y koordinatnom sistemu, grafovi svih antiderivata date funkcije predstavljaju familiju krivulja koje zavise od vrednosti konstante C i dobijaju se jedna od druge paralelnim pomeranjem duž ose 0y. Za primjer o kojem se gore govori, imamo:

J 2 x^x = x2 + C.

Familija antiderivata (x + C) se geometrijski tumači skupom parabola.

Ako treba da pronađete neki iz porodice antiderivata, tada se postavljaju dodatni uslovi koji vam omogućavaju da odredite konstantu C. Obično se u tu svrhu postavljaju početni uslovi: kada je argument x = x0, funkcija ima vrednost D (x0) = y0.

Primjer. Potrebno je pronaći da je jedan od antiderivata funkcije y = 2 x koji uzima vrijednost 3 na x0 = 1.

Traženi antiderivat: D(x) = x2 + 2.

Rješenje. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Osnovna svojstva neodređenog integrala

1. Derivat neodređenog integrala jednak je funkciji integranda:

2. Diferencijal neodređenog integrala jednak je izrazu integranda:

3. Neodređeni integral diferencijala određene funkcije jednak je zbiru same ove funkcije i proizvoljne konstante:

4. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

5. Integral zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) integrala:

6. Nekretnina je kombinacija svojstava 4 i 5:

7. Svojstvo invarijantnosti neodređenog integrala:

Ako , To

8. Nekretnina:

Ako , To

U stvari, ovo svojstvo je poseban slučaj integracije pomoću metode promjene promjenljive, o čemu se detaljnije govori u sljedećem odjeljku.

Pogledajmo primjer:

3. Metoda integracije u kojem se dati integral svodi na jedan ili više tabličnih integrala pomoću identičnih transformacija integranda (ili izraza) i primjene svojstava neodređenog integrala, naziva se direktnu integraciju. Kada se ovaj integral svodi na tabelarni, često se koriste sljedeće diferencijalne transformacije (operacija " pretplati se na diferencijalni znak»):

Uopšte, f’(u)du = d(f(u)). Ovo (formula se vrlo često koristi pri izračunavanju integrala.

Pronađite integral

Rješenje. Iskoristimo svojstva integrala i svedemo ovaj integral na nekoliko tabelarnih.

4. Integracija metodom supstitucije.

Suština metode je da uvodimo novu varijablu, izražavamo integrand kroz ovu varijablu i kao rezultat dolazimo do tabelarnog (ili jednostavnijeg) oblika integrala.

Vrlo često metoda zamjene dolazi u pomoć pri integraciji trigonometrijskih funkcija i funkcija s radikalima.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Hajde da uvedemo novu varijablu. Hajde da se izrazimo X kroz z:

Dobivene izraze zamjenjujemo u originalni integral:

Iz tabele antiderivata imamo .

Ostaje da se vratimo na originalnu varijablu X:

odgovor:

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, a ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina upotreba za koju znate za integral da koristite heklanje u obliku ikone integrala kako biste izvukli nešto korisno sa teško dostupnih mjesta, dobrodošli! Saznajte kako riješiti integrale i zašto ne možete bez toga.

Proučavamo koncept "integralnog"

Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u svom modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnoge knjige na ovu temu. Posebno istaknut Newton I Leibniz , ali suština stvari se nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Na našem blogu već imamo informacije o , neophodne za razumijevanje integrala.

Neodređeni integral

Hajde da imamo neku funkciju f(x) .

Neodređena integralna funkcija f(x) ova funkcija se poziva F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je izvod u obrnutom ili antiderivatu. Usput, o tome pročitajte u našem članku.

Antiderivat postoji za sve kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces nalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne bi stalno izračunavali antiderivate elementarnih funkcija, prikladno ih je staviti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tabela integrala za studente

Definitivni integral

Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će vam pomoći da izračunate površinu figure, masu neujednačenog tijela, udaljenost prijeđenu tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbir beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije?

Koristeći integral! Podijelimo krivolinijski trapez, ograničen koordinatnim osama i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na ovaj način figura će biti podijeljena u tanke kolone. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral, koji se piše ovako:

Tačke a i b nazivaju se granice integracije.

Bari Alibasov i grupa "Integral"

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo pogledati svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna pri rješavanju primjera.

• Izvod integrala je jednak integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:

• Integral zbira jednak je zbiru integrala. Ovo važi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• At bilo koji bodova a, b I With:

Već smo saznali da je određeni integral granica sume. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Da biste pojačali gradivo, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral na zatvorenoj površini bit će u vašoj moći.

Tema: Integracija funkcija jedne varijable

PREDAVANJE br. 1

Plan:

1. Antiderivativna funkcija.

2. Definicije i najjednostavnija svojstva.

Definicija. Funkcija F(x) se naziva antiderivativna za funkciju f(x) na datom intervalu J ako je za sve x iz ovog intervala F`(x)= f(x). Dakle, funkcija F(x)=x 3 je antiderivativna za f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞).
Pošto je za sve x ~R jednakost tačna: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Primjer 1. Razmotrimo funkciju na cijeloj brojevnoj pravoj - na intervalu. Tada je funkcija antiderivat za on.

Da bismo to dokazali, pronađimo derivat od:

Pošto je jednakost istinita za sve, onda je ona antiderivat za on.

Primjer 2. Funkcija F(x)=x je antiderivativna za sve f(x)= 1/x na intervalu (0; +), jer za sve x iz ovog intervala vrijedi jednakost.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Primjer 3. Funkcija F(x)=tg3x je antiderivat za f(x)=3/cos3x na intervalu (-n/ 2; P/ 2),
jer F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Primjer 4. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 je antiderivativna za f(x)=12cos4x-1/x 2 na intervalu (0;∞)
jer F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

1. Neka su antiderivati ​​za funkcije i, prema tome, a, b,k– trajno, . Zatim: - antiderivat za funkciju; - antiderivat funkcije; -antiderivat za funkciju.

2. Konstantni koeficijent se može izvaditi iz predznaka integracije:

funkcija odgovara antiderivatu.

3. Antiderivat zbira funkcija jednak je zbroju antiderivata ovih funkcija:

Zbir funkcija odgovara zbiru antiderivata.

Teorema: (Glavno svojstvo antiderivativne funkcije)

Ako je F(x) jedan od antiderivata za funkciju f(x) na intervalu J, tada skup svih antiderivata ove funkcije ima oblik: F(x)+C, gdje je C bilo koji realan broj.

dokaz:

Neka je F`(x) = f (x), tada (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), za xÊ J.
Pretpostavimo da postoji Φ(x) - drugi antiderivat za f (x) na intervalu J, tj. Φ`(x) = f (x),
onda je (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, za x Ê J.
To znači da je Φ(x) - F(x) konstantan na intervalu J.
Dakle, Φ(x) - F(x) = C.
Odakle je Φ(x)= F(x)+C.
To znači da ako je F(x) antiderivat za funkciju f (x) na intervalu J, tada skup svih antiderivata ove funkcije ima oblik: F(x)+C, gdje je C bilo koji realan broj.
Prema tome, bilo koja dva antiderivata date funkcije razlikuju se jedan od drugog konstantnim članom.

Primjer 6: Naći skup antiderivata funkcije f (x) = cos x. Nacrtajte grafikone prva tri.

Rješenje: Sin x je jedan od antiderivata za funkciju f (x) = cos x
F(h) = Sinh+S – skup svih antiderivata.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrijska ilustracija: Graf bilo kojeg antiderivata F(x)+C može se dobiti iz grafa antiderivata F(x) korištenjem paralelnog prijenosa r (0;c).

Primjer 7: Za funkciju f (x) = 2x, pronađite antiderivat čiji graf prolazi kroz t.M (1;4)

Rješenje: F(x)=x 2 +C – skup svih antiderivata, F(1)=4 - prema uslovima zadatka.
Dakle, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Teorema 1. Neka je neki antiderivat za na intervalu i neka je proizvoljna konstanta. Tada je funkcija također antiderivativna za on.

Dokaz. Pokažimo da derivacija od daje:

pred svima. Dakle, je antiderivat za.

Dakle, ako je antiderivat za on, onda skup svih antiderivata za, u svakom slučaju, sadrži sve funkcije oblika. Pokažimo da skup svih antiderivata ne sadrži nijednu drugu funkciju, odnosno da se svi antiderivati ​​za fiksnu funkciju razlikuju samo po konstantnom članu.

Teorema 2 Neka biti antiderivat za on i biti neki drugi antiderivat. Onda

na nekoj konstanti.

Dokaz. Hajde da razmotrimo razliku. Od i tada. Pokažimo da je funkcija takva da je za sve konstantna. Da biste to učinili, razmotrite dvije proizvoljne tačke i, koje pripadaju i segmentu između i (neka ovo) važi formula konačnog priraštaja

Gdje. (Podsjetimo da je ova formula posljedica Lagrangeove teoreme, koju smo pogledali u prvom semestru). Pošto u svim tačkama, uključujući i, onda. Posljedično, u proizvoljnoj tački funkcija poprima istu vrijednost kao u toj tački, tj.

Za antiderivativ, to znači da za bilo koji, tj.

Prethodno smo, za datu funkciju, vođeni raznim formulama i pravilima, pronašli njen derivat. Izvod ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju monotonosti i ekstrema; pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i inverzni problem - problem vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, njena brzina u trenutku t je data formulom v=gt. Pronađite zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da je za rješavanje problema potrebno odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \levo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da je \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakost s(t) = (gt 2)/2 + C dobijamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena, izmišljaju se posebne oznake, na primjer: kvadrat (x 2) i kvadratni korijen (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x) i sl. Proces nalaženja derivacije date funkcije se zove diferencijaciju, a inverzna operacija, odnosno proces nalaženja funkcije iz date derivacije, je integracija.

Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnim terminima“: funkcija y = f(x) „rađa“ novu funkciju y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali matematičari je, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač” oni kažu da jeste, u odnosu na funkciju y" = f"(; x) , primarna slika ili primitivna.

Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \in X\)

U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer je za bilo koje x tačna jednakost (sin(x))" = cos(x)

Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.

Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivat za f(x), onda je kF(x) antiderivat za kf(x).

Teorema 1. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X, onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuirani izvod.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je zgodnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparno, n > 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabela neodređenih integrala (antiderivata) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$